一種TR?OFDM系統(tǒng)的四元數(shù)加密算法

陳善學，杜文正，馮葉青，李方偉

（重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶 400065）

引 言

隨著無線通信技術的迅猛發(fā)展，人們對通信的速率和安全也提出了更高的要求。而根據(jù)通信理論，二進制數(shù)據(jù)傳輸?shù)乃俣仁紫热Q于基帶的調(diào)制方式，通常調(diào)制方式越高數(shù)據(jù)傳輸速率越快，但其調(diào)制的各個參數(shù)（振幅、相位和頻率）之間的相互影響也越嚴重，誤碼率也越高，要保障其傳輸質量只能通過提高信噪比或采用更加復雜的接收技術。而高維信號在信號能量相等的情況下，可以實現(xiàn)更低的誤碼率并且可以在實際環(huán)境中實現(xiàn)更加高效和可靠的通信［1?2］。同時物理層中由于信道固有的開放性與廣播性，使得物理層成了通信系統(tǒng)中最脆弱的一環(huán)，因此物理層安全也引起了學術界的廣泛研究。物理層安全中的星座旋轉是一種調(diào)整信號星座使竊聽者無法正確解碼接收到的信息的技術［3］，目前對于調(diào)制信號的加密方式主要有相位旋轉［4］、幅相變換［5］和星座間跳轉［6］。而文獻［5?6］復雜度較高，實現(xiàn)起來比較困難。文獻［7］對調(diào)制信號進行星座旋轉并添加少許人工噪聲以保證OFDM系統(tǒng)的安全，但人工噪聲會降低信道資源的利用率，文獻［8?9］研究了QPSK信號的三維星座設計并推導了三維星座點的誤碼率。文獻［10?11］設計了高階的三維信號星座，相比于傳統(tǒng)的二維星座，三維星座可以在相同信號能量前提下降低誤碼率。而傳統(tǒng)的調(diào)制方式，隨著調(diào)制階數(shù)的增大，星座信號之間的最小歐式距離（Minimum euclidean distance，MED）逐漸減少，致使信號在信道中的魯棒性受到了損害，信號的誤碼率開始逐漸增大，而三維星座可以在相同誤碼率的前提下實現(xiàn)更高的吞吐量，并且提高了信號的魯棒性。這使得三維信號星座在提高信息傳輸速率方面具有重大的潛力，尤其是對于數(shù)據(jù)較大的文件（如音頻、視頻和壓縮包等）的傳輸具有重大意義。而文獻［12］將三維星座分別繞x軸、y軸和z軸旋轉不同的角度，這種算法每個星座點需要依次乘以3個三維旋轉矩陣，空間復雜度太高。而四元數(shù)可以實現(xiàn)繞任意軸的旋轉［13?14］，且其所需的內(nèi)存遠小于3個三維旋轉矩陣。而時間反演（Time reversal，TR）等效于一個空時匹配濾波器，可以降低OFDM系統(tǒng)的誤碼率，減小循環(huán)前綴長度。故本文針對TR?OFDM系統(tǒng)，提出了一種四元數(shù)加密的物理層加密傳輸算法。

1 系統(tǒng)模型

本文的TR?OFDM系統(tǒng)模型主要有3個節(jié)點，如圖1所示：基站是Alice，合法用戶Bob，而Bob附近有一個潛在的竊聽者Eve，Eve的位置和信道狀態(tài)信息未知。Bob和Eve都只配備一根天線，基站Alice與合法用戶Bob需要實現(xiàn)安全傳輸通信。設Alice到Bob之間的信道為主信道，Alice與Eve之間的信道為竊聽信道。假設Alice和Bob采用時分雙工（Time division duplex，TDD）通信模式，通信雙方Alice和Bob利用估計到的信道狀態(tài)信息生成加密和解密所需的四元數(shù)。根據(jù)本文所采用的安全傳輸模型，采用N個子載波傳輸?shù)膫鬏擮FDM符號。主信道和竊聽信道都是瑞利多徑信道。

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 System model

2 四元數(shù)加密算法

三維TR?OFDM系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 三維TR?OFDM系統(tǒng)方框圖Fig.2 Block diagram of three?dimensional TR?OFDM system

假設Alice需要傳輸一組比特序列，先將二進制序列進行串并變換，然后把每M個比特映射為一個三維的信號si=[xiyizi]T。將每個三維星座點進行四元數(shù)加密后的星座點s'i=[x'iy'iz'i]T表示為

式中：q為四元數(shù)，q=[q0q1q2q3]，s'i等效于三維星座點si繞軸n旋轉θ后的三維星座點。

圖3是加密前4?ary的三維星座點，4個三維星座點均勻分布在一個半徑為1的球面上，并且4個點剛好構成一個正四面體。圖4是加密后4?ary的三維星座點，三維星座點經(jīng)過四元數(shù)加密，隨機地分布在半徑為1的球面上。圖5是加密前16?ary的三維星座點分布，16個點分別在兩個不同半徑的球面上，每個球面上8個點，而且每個球面上的8個點剛好構成一個正方體。圖6是加密后16?ary的三維星座點分布，16?ary的三維星座點經(jīng)過旋轉加密后，隨機地分布在兩個球的球面上。接著對加密過的信號s'i=[x'iy'iz'i]T進行I/Q變換（I：同相分量，Q：正交分量）。加密過的信號s'為

圖3 加密前的三維信號（4?ary）Fig.3 Three?dimensional signal before en?cryption(4?ary)

圖4 加密后的三維信號（4?ary）Fig.4 Three?dimensional signal after encryp?tion(4?ary)

圖5 加密前的三維信號（16?ary）Fig.5 Three?dimensional signal before encryption(16?ary)

圖6 加密后的三維信號（16?ary）Fig.6 Three?dimensional signal after encryption(16?ary)

I/Q轉換后的信號s''為

將信號s''進行快速傅里葉逆變換（Inverse fast fourier transform，IFFT），為了消除載波間的干擾和符號間干擾加入循環(huán)前綴，在并串變換后通過時間反演操作后發(fā)送出去。Bob第k個子載波上接收到的頻域信號為

式中：hr(k)為Alice和Bob之間的信道的第k個子載波的頻域沖激響應；hr(k)H為時間反演鏡，它是主信道在頻域的共軛；nr(k)是均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲。

式中：L為多徑總數(shù)，αl為第l條多徑的幅度值，Δf為子載波間隔，τl為第l條多徑的時延。

Bob接收到信號后對接收到的信號進行一系列處理（串并變換，傅里葉變換（Fast fourier tansform，F(xiàn)FT），去循環(huán)前綴）后進行閾值判決，即可得到聚焦的有用信號

接著將信號s''進行I/Q逆變換，重新映射為N行3列的三維星座點

與發(fā)送端相對應，Bob利用四元數(shù)對接收到的信號進行解密，也就是對三維星座點繞與n對稱的軸旋轉θ，進行旋轉解密后的信號為si。

解密后的三維星座點，利用最小距離檢測器，對接收到的信號進行解調(diào)得到初始的比特信息。

Eve第k個子載波上接收到的頻域信號為

式中：he(k)為Alice和Eve之間的信道的第k個子載波的頻域沖激響應，ne(k)是均值為0方差、為σ2的加性高斯白噪聲。

本文所提出的四元數(shù)加密算法流程如圖7所示。

圖7 四元數(shù)加密算法Fig.7 Quaternion encryption algorithm

3 實驗仿真

3.1 MED對比

最小歐氏距離是衡量星座好壞的一個重要標準，在信號能量相等的條件下，二維星座圖和三維星座圖的MED參數(shù)如表1所示。

表1中三維信號星座和二維信號星座的對應關系為：4?ary?QPSK，16?ary?16QAM，64?ary?64QAM，128?ary?128QAM。從 表1的MED可以看出在信號能量相等的條件下三維星座圖的MED基本上優(yōu)于二維星座圖的MED，尤其對于高階調(diào)制信號，增加比尤其明顯。

表1 最小歐式距離Table 1 MED

3.2 實驗仿真

本節(jié)對三維星座點的四元數(shù)加密的算法利用MATLAB進行了仿真，設一幀為6個OFDM符號，每個OFDM符號有128個子載波，循環(huán)前綴為32，信道為均值為0，方差為1的瑞利多徑信道，信道的多徑長度為9，蒙特卡洛次數(shù)為10 000。

3.2.1 誤符號率對比

從圖8可見，三維星座信號的誤符號率性能相較于二維星座信號都有較大的提升，對于4?ary的信號三維相較于二維在誤符號率為10-6時提升了約2.5個信噪比，而對于16?ary三維星座信號也提升了約2個信噪比。三維星座信號改善誤符號率性能基本上與表1中MED的增加比相符。

圖8 三維星座信號與傳統(tǒng)二維星座信號誤符號率對比圖Fig.8 Comparison of symbol error rate be?tween 3D constellation signal and tradi?tional 2D constellation signal

3.2.2 誤符號率降低比

為了對比二維星座點和三維星座點在相同信噪比下的誤符號率性能，本文定義了一個誤符號率降低比η

式中：e3D為三維星座點對應的誤符號率，e2D為二維星座點對應的誤符號率。

從圖9可知，隨著信噪比的增大，誤符號率降低比也逐漸增大。4?ary的三維星座點對比于QPSK，當信噪比為12 d B時，誤符號率降低比到達下界，而16?ary的三維星座點對比于16QAM，當信噪比為20 d B時，誤符號率降低比到達下界。并且4?ary誤符號率降低比明顯比16?ary的誤符號率降低比下降的快。與表1中4?ary和16?ary的MED增加比相對應。

圖9 誤符號率降低比Fig.9 Symbol error rate reduction ratio

3.2.3 誤符號率

本文所采用的四元數(shù)加密算法和文獻［15］的人工噪聲（Artificial noise，AN）方案誤符號率對比如圖10所示，隨著人工噪聲的能量比例增大，竊聽者的誤符號率明顯增大，但同時合法用戶的誤符號率也會受到損害。且當人工噪聲的能量比例為90%時，盡管竊聽者的誤符號率也保持在較高的水平，但仍低于本文所提的方案。而合法用戶的誤符號率卻受到了較大的影響。

圖10 人工噪聲方案和本文算法的誤符號率性能對比Fig.10 Comparison of symbol error rate perfor?mance of the artificial noise scheme and the proposed algorithm

3.2.4 保密傳輸速率

根據(jù)文獻［16］對于二進制廣播信道的保密傳輸速率為Cs=H(eAE)-H(eAB)=

式中：eAB為合法用戶Bob的誤符號率，eAE為竊聽用戶Eve的誤符號率。本文對4?ary的三維星座點和16?ary的三維星座點所對應的保密傳輸速率進行了仿真。仿真結果如圖11所示。

從圖11可知，文獻［15］的人工噪聲方案的人工噪聲能量比例較小時，其歸一化保密傳輸速率隨著信噪比增大，逐漸減小，但是當人工噪聲的比例為90%時，人工噪聲方案的歸一化保密傳輸速率也開始上升，但由于人工噪聲能量比例過高，對合法用戶的誤符號率也有一定的損害，故其歸一化保密傳輸速率依舊低于本文所提算法。

圖11 保密傳輸速率和人工噪聲方案歸一化保密傳輸速率對比Fig.11 Comparison of secret transmission rate and the normalized secret transmission rate of the artificial noise scheme

4 結束語

為了保障TR?OFDM系統(tǒng)的物理層安全傳輸，本文提出一種四元數(shù)加密算法，首先對TR?OFDM的系統(tǒng)模型進行了描述，其次在該模型下，對本文的四元數(shù)加密算法步驟進行了詳細的說明，最后對四元數(shù)加密算法的誤符號率和保密傳輸速率進行了仿真，并與傳統(tǒng)的二維星座誤符號率進行了對比。通過仿真表明：隨著信噪比的增大，本方案可以使竊聽者難以獲得合法通信雙方通信的任何信息，且具有一定的保密傳輸速率，而合法用戶可以獲得比傳統(tǒng)的二維星座信號更優(yōu)的誤符號率。相較于人工噪聲方案，本文所提算法不會影響合法用戶的誤符號率，這對于提高數(shù)據(jù)傳輸速率具有重要的意義，在下一代通信或者軍事安全通信中具有重大的潛力。