大規(guī)模MIMO通信中基于Jacobi預(yù)迭代的改進Gauss?Seide算法

史傳勝，馮 姣，司 闖，張 銳

（南京信息工程大學電子與信息工程學院，南京 210044）

引 言

大規(guī)模MIMO（Massive MIMO）系統(tǒng)已經(jīng)成為實現(xiàn)5G的一項關(guān)鍵技術(shù)，它可以滿足5G在高數(shù)據(jù)傳輸速率、穩(wěn)定連接和低延遲等各方面的需求［1］。massive MIMO系統(tǒng)指在基站端配置多達幾十乃至數(shù)百根天線陣列同時為多個單一天線客戶端服務(wù)，大大提高了系統(tǒng)的存儲空間和自由度，同時還可以改善和提高數(shù)據(jù)傳輸速率、鏈路可靠性以及網(wǎng)絡(luò)通信容量［2］。在massive MIMO系統(tǒng)中，復(fù)雜程度和天線數(shù)量是密切相關(guān)的，隨著天線數(shù)量增加，算法的復(fù)雜程度隨著變高。所以，在接收端需要一種復(fù)雜程度低、檢測性能高的信號檢測算法。

為了提高MIMO系統(tǒng)的信號檢測性能，學者們提出了多種檢測算法，包括線性檢測算法與非線性檢測算法等。最大似然估計（Maximum likelihood，ML）算法被認為是一個比較經(jīng)典的最優(yōu)檢測算法，其遍歷性能夠保證算法獲得最佳檢測性能［3］，但由于其復(fù)雜度太高，學者們提出了復(fù)雜度低的近似線性最佳檢測算法，如迫零（Zero forcing，ZF）算法、最小均方誤差（Minimum mean square error，MMSE）檢測算法［4］。MMSE和ZF涉及矩陣的求逆問題，當用戶數(shù)量很大時，這些檢測器的復(fù)雜度會變得很高?；诖?，出現(xiàn)了簡化算法，如共軛梯度［5］（Conjugate gradient，CG）、高斯?賽德爾（Gauss?Seide，GS）［6］、雅克比［7］（Jacobi，JA）、超松弛迭代［8］（Successsive over?relaxation，SOR）。其中JA收斂速度最慢，但更容易實現(xiàn)。GS是JA的一種改進，精度比JA高，其復(fù)雜度和JA差不多。文獻［9］提出一種基于雅可比?理查森聯(lián)合算法，其基本原理是先利用雅克比迭代算法迭代一次，然后利用雅克比迭代的結(jié)果作為RI的初始解。雖然該算法在性能上有所提高，但是其收斂速度較慢。文獻［10］提出了一種加入基于雅克比迭代的高斯?賽德爾（Jacobi gauss?seide，JA?GS）方法。JA?GS算法主要利用雅克比迭代算法和高斯?賽德爾迭代算法進行信號檢測，雖然性能較為接近MMSE，但是收斂速度偏慢，復(fù)雜度偏高。

為解決這一問題，本文通過對GS算法進行線性變換，提出了一種適用于大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)檢測算法。該算法通過引入JA預(yù)處理器和設(shè)計了改進后的高斯?賽德爾（Improved Gauss?Seide，IGS）方案，進一步提高了算法的收斂速度和檢測性能。仿真結(jié)果表明，在64個基站天線和16個用戶天線數(shù)的前提下，所提算法檢測性能優(yōu)于傳統(tǒng)的GS迭代方法和JA?GS方法。

1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

為了簡化分析過程，用戶設(shè)備為單天線的單小區(qū)大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)模型。假設(shè)基站接收天線數(shù)量為M根，用戶傳輸天線數(shù)量為N個［11］。通常有M?N，例如M=64和N=16。系統(tǒng)原型如圖1所示。其中，發(fā)射端信號xm經(jīng)過用戶天線N向基站天線傳輸，基站端天線M接收到的信號經(jīng)過解調(diào)后得到y(tǒng)m。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型Fig.1 Massive MIMO system model

基站接收的上行信號為

式中：hm表示用戶n到基站端的信道列矢量，信道矩陣H=[h1，h2，h3，…，hm，…，hN，]T，維度為M×N；x=[x1，x2，x3，…，xm，…，xN]T為發(fā)射信號向量，xm為第m個用戶的傳輸符號，ym代表接收端第m根天線接收的接收信號。在本文中zm是服從均值為0，協(xié)方差矩陣為σ2z I的高斯分布。本文假設(shè)傳輸信號{xm}是平均能量歸一化的發(fā)射向量。

為避免復(fù)數(shù)運算，將模型轉(zhuǎn)換為等效的實值模型為［12］

2 信號檢測算法

2.1 MMSE檢測算法

在massive MIMO系統(tǒng)模型中，MMSE檢測算法檢測性能較為優(yōu)異，即通過簡單的線性操作就可將發(fā)送信號x從接收端接收到的信號y中恢復(fù)出來。為了恢復(fù)發(fā)送的信號，使用加權(quán)濾波矩陣WMMSE來實現(xiàn)信道的逆轉(zhuǎn)［7］。MMSE算法中發(fā)送信號的接收估計值可以表示為［13］

式中：I為單位矩陣，HH為H的對稱轉(zhuǎn)置矩陣，WMMSE為MMSE檢測算法的濾波矩陣，匹配濾波器輸出可以表示為yMF=HHy。算法的復(fù)雜度主要體現(xiàn)在矩陣的求逆方面。因此在實際的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，MMSE檢測算法很少在實際當中應(yīng)用。大部分massive MIMO低復(fù)雜度檢測算法的原理就是通過降低求矩陣的逆的復(fù)雜度來降低MMSE整體算法的復(fù)雜度。

2.2 高斯?賽德爾檢測算法

線性檢測算法如GS等在massive MIMO系統(tǒng)中具有更優(yōu)異的檢測性能，將式（4）寫成-1yMF，通過變換可得yMF=?，這樣可以避免矩陣求逆問題，其中A=HHH+

在massive MIMO系統(tǒng)中，當基站天線數(shù)遠遠超過用戶天線數(shù)量時，信道逐漸趨于正交［14］，MMSE濾波矩陣為對稱正定矩陣，且對角占優(yōu)。因此，可將A分解為

在高斯?賽德爾檢測方法中，信號可以估計為［11］

式中：D、L和U分別為A的對角矩陣、嚴格下三角矩陣和嚴格上三角矩陣。

目前我國學者著力探究大學生不合理信念與學生的生理和心理健康之間存在的聯(lián)系，并獲得了豐富的成果。但是針對不合理信念在學科教育層面中的研究明顯不足，尤其是像酒店管理這樣的潛力學科，在提升人才培養(yǎng)質(zhì)量方面表現(xiàn)出持續(xù)性的疲軟現(xiàn)象。

對于高斯?賽德爾迭代方法，迭代的初始值在收斂過程中很關(guān)鍵。傳統(tǒng)的初始值為零向量，雖然簡單但遠非真正的初始化方案，因此需要一種復(fù)雜程度低且性能高的初始化方法。利用矩陣A正定，且對角占優(yōu)，可由D-1代替A-1，則相比A可以減少濾波矩陣求逆的計算復(fù)雜度。根據(jù)式（3），初始解可以寫成

后續(xù)的高斯?賽德爾迭代遵循式（6）。

2.3 雅克比算法

雅可比迭代是一種求解線性方程組的迭代求解方法。Jacobi迭代算法由于在各常見迭代算法中收斂速度比較慢，相比于GS，JA檢測算法更容易實現(xiàn)，但是檢測速度沒有GS快，雅克比迭代算法的基本原理是通過對濾波矩陣A進行LU分解，每一次的迭代結(jié)果都代入下一次迭代中，通過JA算法進行還原后接收信號的估計值為

式中：雅克比濾波矩陣為D-1(U+L)；k表示迭代次數(shù)。

2.4 基于雅克比預(yù)迭代的高斯?賽德爾方法

文獻［15］利用JA和GS方法設(shè)計了一種低復(fù)雜度的大規(guī)模MIMO上行鏈路檢測器。圖2給出了所提出的基于JA預(yù)迭代的GS的檢測器的一般框圖。檢測器包括初始化和最終估計兩個階段。JA?GS的原理是利用雅克比容易實現(xiàn)的特點，將JA迭代的結(jié)果作為高斯?賽德爾的初始值，這樣可以提高高斯?賽德爾的收斂速度和檢測性能。當JA?GS的檢測性能接近MMSE的檢測性能時，需要迭代4次以上。

圖2 基于JA-GS檢測器Fig.2 Detector based on JA-GS

將式（7）的結(jié)果應(yīng)用到式（8）中：

3 基于雅克比預(yù)迭代的改進高斯?賽德爾方法

3.1 帶狀矩陣

定義1帶狀矩陣表示在矩陣A中，所有的非零元素都集中在以主對角線為中心上下w元素的帶狀區(qū)域中。其中w小于矩陣的維度。

由A=HHH+σ2I可知，A是一個N×N的方陣。那么帶狀矩陣Dw可以寫成

式中Ai，j為A中的元素。那么式（5）可以寫成

式中Lw和Uw為Aw-Dw的嚴格下三角矩陣和嚴格上三角矩陣。當w=1時，D1為

3.2 JA?IGS算法

JA?IGS方法主要利用IGS來進行信號檢測。將第一次雅克比迭代的值作為整個系統(tǒng)的初始解。改進后的JA?IGS方法相比于GS和JA?GS收斂速度更快，檢測性能更優(yōu)異。

通過線性變換，對傳統(tǒng)的GS方法做出改進，利用式（12）來更新yMF=A x?，接收到的信號yMF可以寫成

利用雅可比預(yù)迭代器來優(yōu)化IGS迭代的初始解，其中IGS的初始解是x?1，這樣可以提高IGS的收斂速度。

JA?IGS算法流程圖如圖3所示。綜合上文的描述，所提的JA?IGS的算法如下。

圖3 JA-IGS算法流程圖Fig.3 JA-IGS algorithm flow chart

算法JA?IGS檢測方法

4 復(fù)雜度分析及收斂性分析

4.1 算法復(fù)雜度

本文主要比較了JA?IGS算法的復(fù)雜度和一些線性檢測算法的復(fù)雜度。相比而言，乘法運算的計算復(fù)雜度遠比加法高［16］，所以算法的復(fù)雜度通常是比較乘法運算的次數(shù)和相同迭代次數(shù)時所需要做的乘法次數(shù)。表1列出了JA?IGS算法、傳統(tǒng)的GS、JA和JA?GS算法的復(fù)雜度。其中，N代表用戶天線數(shù)量，M代表基站天線數(shù)量，k代表迭代次數(shù)。

表1 不同檢測方法計算的復(fù)雜度Table 1 Computational complexity of different de?tection methods

4.2 收斂性分析

定理如果A是行嚴格對角占優(yōu)矩陣，那么高斯?塞德爾方法的改進對于初始逼近的任意選擇都是收斂的。

假設(shè)x*為線性系統(tǒng)yMF=?的實解。因為矩陣A是嚴格對角占優(yōu)的矩陣，如果x?k+1是第k+1次近似解，那么，改進高斯?賽德爾算法的收斂性可以表示為

5 性能仿真

為測試算法的檢測性能，本文在MATLAB平臺上仿真了JA?IGS和現(xiàn)有算法的誤碼率（Bit error rate，BER）?信噪比（Signal noise rate，SNR）曲線。本文分析了所提出的JA?IGS算法的檢測性能并和GS算法和JA?GS算法以及MMSE的檢測性能作了對比。設(shè)置仿真時的傳輸信道為不相關(guān)瑞利衰落信道，基帶信號調(diào)制方式為BPSK、QPSK、QAM，天線規(guī)模為64×16。模擬參數(shù)如表2所示。

表2 模擬參數(shù)Table 2 Simulation parameters

圖4對比了不同算法在SNR=12 dB時的計算復(fù)雜度，可以看出JA算法的復(fù)雜程度最低。JA和GS都是迭代3次且復(fù)雜度基本相同，為了平衡檢測性能與計算復(fù)雜度之間的矛盾，本文提到的JA?IGS算法的復(fù)雜度要比GS和JA?GS的復(fù)雜度稍微高一點。MMSE的復(fù)雜度最高，由于MMSE需要矩陣求逆運算，因此MMSE的復(fù)雜度最高。

圖4 天線數(shù)量與算法計算復(fù)雜度的關(guān)系Fig.4 Relationship between the number of antennas and the computational complexity of the algorithm

表3對比了不同算法在SNR=12 d B時，每比特實乘運算次數(shù)。可以看出，MMSE的每比特實乘次數(shù)最高、其次是JA?IGS、JA?GS、GS、JA。表4對比了JA?IGS算法在不同用戶天線數(shù)下的復(fù)雜度。在基站天線數(shù)量不變的前提下，隨著用戶數(shù)量不斷增加，JA?IGS算法的復(fù)雜度不斷升高。

表3 SNR=12 dB時，不同算法在64×16天線數(shù)量前提下的每比特實乘次數(shù)Table 3 Actual multiplication times per bit under the premise of 64×16 antennas for different algorithms when SNR=12 d B

表4 在SNR=12 dB時，不同用戶天線數(shù)JA?IGS算法的實乘次數(shù)Table 4 Actual multiplication times of the JA?IGS algorithm for different user antenna numbers when SNR=12 dB

圖5展示了massive MIMO系統(tǒng)規(guī)模為64×16，在64QAM調(diào)制下，所提算法的檢測性能比較。其中GS、JA、JA?GS都是迭代3次，JA?IGS迭代次數(shù)分別為k=1和k=2，其中k是迭代次數(shù)。根據(jù)仿真結(jié)果表明，JA?IGS算法隨著迭代次數(shù)的增加，算法的檢測性能也在不斷提高。以GS算法BER曲線作為對比參照，由圖5可知，迭代次數(shù)為1時，JA?IGS算法的性能和GS算法的性能相比，傳統(tǒng)的GS算法性能更優(yōu)。當?shù)?次時，本文提出的JA?IGS算法的檢測性能比迭代3次的JA、GS和JA?GS檢測性能有明顯的優(yōu)勢，在BER=10-3時，相比于GS和JA?GS，分別有2 d B和0.9 dB的優(yōu)勢，在BER=10-4時，相比于JA?GS有2 dB的增益。JA?IGS利用了改進后的高斯?賽德爾算法，它的收斂速度和檢測性能是更優(yōu)于JA、GS和JA?GS檢測算法。雖然JA?IGS算法檢測性能較好，但是JA?IGS算法的復(fù)雜度是要比JA、GS和JA?GS要高。

圖5 JA-IGS算法誤碼率性能比較（64×16）Fig.5 Comparison of BER performance of proposed JAIGS algorithm（64×16）

圖6展示了massive MIMO系統(tǒng)規(guī)模為128×16，在64QAM調(diào)制下，所提算法的檢測性能比較。可以看出，MMSE算法的性能最好，其次是迭代2次的JA?IGS算法，最差的是JA算法。迭代3次的JA?IGS算法和MMSE算法的性能較為接近圖7展示了所提JA?IGS算法在不同基站天線數(shù)、16個用戶天線數(shù)和64QAM調(diào)制方式下，且迭代次數(shù)都是2時的檢測性能比較。由圖7可知，在用戶天線數(shù)量都是16的前提下，隨著基站天線數(shù)量增加，JA?IGS算法的檢測性能也隨之提高。當SNR=16 d B時，在128×16的天線配置下，誤碼率達到10-5量級，相比之下，SNR=16 dB時，在64×16的天線配置下，誤碼率只有10-3量級，在32×16的天線配置下，誤碼率只有10-2量級，天線配置為16×16的BER只有10-1量級。由于基站天線數(shù)量變多，空間自由度也隨之提高，并且提高信號的傳輸效率和系統(tǒng)容量。

圖6 JA-IGS算法誤碼率性能比較（128×16）Fig.6 Comparison of BER performance of proposed JA-IGS algorithm（128×16）

圖7 不同基站天線數(shù)，JA-IGS算法的誤碼率性能比較Fig.7 Comparison of BER performance of proposed JAIGS algorithm with different numbers of base sta?tion antenna

圖8展示了在64個基站天線、16個用戶的配置下，不同調(diào)制方式對JA?IGS算法檢測性能的影響。仿真結(jié)果表明，該算法在BPSK調(diào)制下性能表現(xiàn)更優(yōu)異，其他性能表現(xiàn)依次是QPSK，16QAM，64QAM。在抗加性高斯白噪聲方面BPSK性能最好。由于64QAM調(diào)制方法的判決，取樣點比BPSK、QPSK、16QAM都要多，所以增大了其誤碼率，導(dǎo)致它性能最差。

圖8 BPSK、QPSK、16QAM和64QAM調(diào)制下的JA-IGS性能比較Fig.8 Comparison of BER performance of proposed JA-IGS algorithm with different modulation schemes (BPSK, QPSK, 16QAM and 64QAM)

6 結(jié)束語

本文提出了一種新的大規(guī)模多輸入多輸出系統(tǒng)的上行鏈路用戶信號檢測算法。為了提高算法的收斂速度，本文采用具有更快收斂速度的JA?IGS迭代算法。該方法通過改進傳統(tǒng)的GS迭代方法，且引入JA迭代作為IGS的初始值，仿真結(jié)果表明，JA?IGS算法獲得了較優(yōu)的誤碼率性能，和傳統(tǒng)的大規(guī)模多輸入多輸出檢測算法相比有明顯的的優(yōu)勢。隨著基站天線數(shù)量的增加，該算法的性能得到改善，隨著調(diào)制階數(shù)的增加，性能也隨之下降。