基于無跡卡爾曼濾波的無人機(jī)毫米波波束跟蹤算法

李鵬輝，仲偉志，張璐璐，楊卓明，朱秋明，陳小敏

（1.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016；2.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京 211106）

引 言

近年來，無人機(jī)（Unmanned aerial vehicle，UAV）因?yàn)榫哂谐杀镜?、靈活性強(qiáng)和覆蓋面積廣等優(yōu)點(diǎn)，被認(rèn)為是第5代（5th?Generation，5G）通信網(wǎng)絡(luò)中各種應(yīng)用場景的承載者，例如，作為足球比賽、音樂會(huì)等短時(shí)間高密度聚集人群的飛行基站，為人們提供無線覆蓋；在自然災(zāi)害期間提供額外的通信容量幫助恢復(fù)通信系統(tǒng)［1?2］等。

無人機(jī)應(yīng)用場景越多，執(zhí)行的任務(wù)越復(fù)雜，無人機(jī)需要的數(shù)據(jù)吞吐量也越多。因此，擁有巨大免許可連續(xù)帶寬的毫米波頻段（30~300 GHz），得到無人機(jī)通信領(lǐng)域的廣泛關(guān)注［3?5］。然而，毫米波由于頻率較高，導(dǎo)致路徑損耗較大，尤其在降雨等天氣下會(huì)產(chǎn)生極大衰減［6］。因此，研究者提出采用大規(guī)模陣列天線下的波束成形技術(shù)的方法來彌補(bǔ)毫米波傳播中的路徑損耗［7?8］。由于該技術(shù)依靠特定方向上的高增益窄波束進(jìn)行通信，無人機(jī)和用戶間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致波束失配，影響通信質(zhì)量。為了保證正常穩(wěn)定的通信效果，需要不斷調(diào)整收發(fā)端的波束角度，實(shí)現(xiàn)波束的實(shí)時(shí)對(duì)齊。因此，有效的波束跟蹤方法對(duì)于將毫米波應(yīng)用在無人機(jī)通信領(lǐng)域中具有重要意義。

以往，針對(duì)毫米波波束跟蹤這一問題的研究相對(duì)較少。文獻(xiàn)［9?10］通過訓(xùn)練波束進(jìn)行跟蹤，其中波束方向被周期性地訓(xùn)練以保持波束對(duì)準(zhǔn)。但由于環(huán)境復(fù)雜，訓(xùn)練頻率需要足夠高才能應(yīng)對(duì)。文獻(xiàn)［11］提出基于波束相干時(shí)間調(diào)整訓(xùn)練頻率，因此當(dāng)角度變化不快時(shí)，可以降低開銷。但仍然不適合快速移動(dòng)變化場景。文獻(xiàn)［12］提出的波束跟蹤方法是在數(shù)據(jù)包中附加訓(xùn)練序列以檢測信號(hào)強(qiáng)度。這種方法需要訓(xùn)練多個(gè)波束對(duì)，因此開銷較大。文獻(xiàn)［13］采用擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman filter，EKF）算法進(jìn)行波束跟蹤，該算法通過掃描所有可能的波束組合，建立EKF算法中的測量矩陣，完成波束跟蹤。但文獻(xiàn)［13］中的方法需要進(jìn)行波束全掃描，導(dǎo)致測量時(shí)間較長，很難在快速變化的場景中進(jìn)行波束實(shí)時(shí)跟蹤。文獻(xiàn)［14］將EKF算法應(yīng)用于常規(guī)地面毫米波的波束跟蹤。相比于文獻(xiàn)［13］，文獻(xiàn)［14］只需要訓(xùn)練一個(gè)波束，因此，大大降低了開銷。同時(shí)文獻(xiàn)［14］克服了文獻(xiàn)［13］的缺點(diǎn)，在每個(gè)步驟中只使用一個(gè)測量方程，更加適合快速移動(dòng)場景下的波束跟蹤。由于文獻(xiàn)［13?14］采用的EKF是通過對(duì)非線性系統(tǒng)的一階線性化來解決非線性狀態(tài)跟蹤問題的，這會(huì)在線性化的真實(shí)后驗(yàn)均值和協(xié)方差中引入較大誤差，導(dǎo)致濾波器的次優(yōu)性能，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)濾波器發(fā)散［15］。此外，文獻(xiàn)［13?14］使用的是均勻線性天線陣列，并且只對(duì)一個(gè)角度進(jìn)行二維跟蹤，而無人機(jī)波束跟蹤場景下，需要對(duì)兩個(gè)角度進(jìn)行三維波束跟蹤。

針對(duì)上述問題，本文采用一種基于無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman filter，UKF）的毫米波波束跟蹤方案。該方法利用UKF對(duì)收發(fā)波束角度進(jìn)行跟蹤，在收發(fā)兩端均采用均勻平面天線陣列。UKF不需要對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性化，沒有忽略高階項(xiàng)，因此對(duì)于非線性分布具有較高的計(jì)算精度，從而有效地提高了三維波束的跟蹤精度。

1 傳輸系統(tǒng)模型

本文假設(shè)系統(tǒng)由一架無人機(jī)空中基站和一個(gè)地面用戶組成。無人機(jī)作為發(fā)射機(jī)，向作為接收機(jī)的用戶提供服務(wù)。本文假設(shè)系統(tǒng)傳輸只需要一個(gè)射頻（Radio frequency，RF）鏈，系統(tǒng)模型如圖1所示［16］。無人機(jī)和用戶分別配備一個(gè)具有Mt×Nt、Mr×Nr根天線數(shù)的均勻平面陣（Uniform planar array，UPA），陣列天線間距為半波長。放置在x y平面內(nèi)的均勻平面陣如圖2所示。其中φ為方位角，θ為俯仰角，隨著無人機(jī)和用戶之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，φ和θ會(huì)不斷改變。本文使用θt和φt表示發(fā)射信號(hào)的俯仰角（Elevation an?gle of departure，EOD）和發(fā)射信號(hào)的方位角（Azimuth angle of departure，ZOD），θr和φr表示接收信號(hào)的俯仰角（Elevation angle of arrival，EOA）和接收信號(hào)的方位角（Azimuth angle of arrival，ZOA）。

圖1 模擬波束成形系統(tǒng)Fig.1 Analog beamforming system

圖2 在x y平面內(nèi)矩形排列的均勻平面陣Fig.2 Uniform planar array with rectangular arrange?ment in x y plane

本文采用緩慢時(shí)變信道，在第k個(gè)時(shí)刻，其信道狀態(tài)參數(shù)可以表示為

式中：L[k]為路徑數(shù)量，αl[k]為第l條路徑的復(fù)增益系數(shù)分別為第l條路徑在第k時(shí)刻的EOA和ZOA，分別為第l條路徑在第k時(shí)刻的EOD和ZOD，分別為第l條路徑對(duì)應(yīng)的接收端和發(fā)射端的陣列響應(yīng)向量。由于在接收端和發(fā)送端均采用均勻平面陣，因此，陣列響應(yīng)向量可表示為

式中：ξ=sinθsinφ，τ=sinθcosφ，“?”為克羅內(nèi)克積，d為陣元間距，λ為載波波長，M和N為均勻平面陣的天線數(shù)目。

由于毫米波信號(hào)的大部分能量都是靠直視路徑傳播［4，17］的，因此式（1）可以簡化為

發(fā)射端通過波束成形向量f發(fā)送導(dǎo)頻符號(hào)s，為便于計(jì)算，設(shè)s=1，接收端波束合并向量為w，則在第k個(gè)時(shí)刻接收到的信號(hào)可以表示為

式中，w和f分別可以表示為

為便于使用UKF，這里定義一個(gè)包含方位角和俯仰角的狀態(tài)向量

式中：u[k-1]為高斯過程噪聲，u[k]~NC(0，Σu)，Σu=σ2I4。σ2表示收發(fā)端方位角、俯仰角的角度變化方差，這里假設(shè)收發(fā)端的方位角、俯仰角的方差相同（可以取不同的值）。這個(gè)參數(shù)決定了信道變化的速度，可以通過改變該參數(shù)的值來模擬不同信道變化速度下的情況。

2 基于UKF的波束跟蹤算法

針對(duì)以往波束跟蹤算法的不足，本文采用UKF算法來進(jìn)行波束跟蹤。該算法摒棄了對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性化的傳統(tǒng)做法，即在卡爾曼線性濾波框架下，對(duì)一步預(yù)測方程采用無跡變換來解決均值和協(xié)方差的非線性傳遞［15］，因此，可以提高無人機(jī)三維動(dòng)態(tài)環(huán)境下波束跟蹤的實(shí)時(shí)性和精確性。

2.1 無跡變換

無跡變換（Unscented transform，UT）是按一定規(guī)則在原狀態(tài)中選取采樣點(diǎn)集Xi[k|k]，又稱作Sig?ma點(diǎn)集，采樣點(diǎn)集的均值和協(xié)方差與原狀態(tài)相等，然后將采樣點(diǎn)集Xi[k|k]代入非線性函數(shù)，得到其對(duì)應(yīng)函數(shù)值的點(diǎn)集Zi[(k+1)|k]，再利用這些點(diǎn)集求取變換后的均值Z?[(k+1)|k]和協(xié)方差PZZ[(k+1)|k]［15］。

本文采用基于對(duì)稱分布采樣的UT變換。設(shè)狀態(tài)向量x[k]的采樣點(diǎn)集為{Xi[k]}，i=0，…，2n，n是狀態(tài)向量的維數(shù)，本文取n=4，則{Xi[k]}可表示為

式中：m和c分別表示均值和協(xié)方差；β為一個(gè)非負(fù)系數(shù)，其取值和狀態(tài)向量x[k]的分布形式有關(guān)，對(duì)于高斯分布，取β=2較合適［18］。

2.2 UKF跟蹤算法

三維UKF跟蹤算法流程如圖3所示，算法流程描述如下。

圖3 三維UKF跟蹤算法流程圖Fig.3 Flow chart of 3D UKF tracking algorithm

步驟2獲得采樣點(diǎn)集。通過式（9，10）可獲得[k|k]的一組采樣點(diǎn)集Xi[k|k]及其對(duì)應(yīng)的權(quán)值，其中，i=0，…，2n，n=4。

步驟3采樣點(diǎn)一步預(yù)測。通過式（13）獲得的狀態(tài)方程，得到預(yù)測采樣點(diǎn)Xi[(k+1)|k]。式（14，15）分別對(duì)預(yù)測采樣點(diǎn)加權(quán)求和得到預(yù)測均值?[(k+1)|k]以及協(xié)方差矩陣P[(k+1)|k]。具體預(yù)測過程為

式中Wi為式（10）獲得的權(quán)值，在步驟2中已獲得。

步驟4預(yù)測觀測值。將預(yù)測采樣點(diǎn)Xi[(k+1)|k]代入觀測方程即式（16），求取預(yù)測觀測值Zi[(k+1)|k]。通 過 式（18，19）得 到 預(yù) 測 觀 測 值 的 均 值?[(k+1)|k]和 協(xié) 方 差PZZ[(k+1)|k]、PXZ[(k+1)|k]。式（16）由式（5）得到。

式中：R為式（5）中的測量噪聲n[k]的協(xié)方差矩陣；n[k]為高斯白噪聲。

步驟5狀態(tài)更新。計(jì)算卡爾曼增益K[k+1]，更新狀態(tài)向量?[(k+1)|(k+1)]和協(xié)方差矩陣P[(k+1)|(k+1)]，具體步驟為

步驟6閾值判斷。因?yàn)楦櫿`差會(huì)隨著時(shí)間逐漸積累，因此需要設(shè)置閾值γ來檢測跟蹤的有效性。當(dāng)波束合并向量w和波束成形向量f的角度與UKF求得的最優(yōu)估計(jì)值偏差超過閾值γ，即波束寬度的一半時(shí)，對(duì)兩者的角度進(jìn)行更新，否則繼續(xù)跟蹤。

在實(shí)際使用中，為了避免復(fù)數(shù)運(yùn)算，對(duì)一些參數(shù)進(jìn)行重新定義：[k]=[Re(y[k])，Im(y[k])]，[x(k)]=[Re(g[x(k)])，Im(g[x(k)])]，Re(?)和Im(?)分別為取實(shí)部和虛部，這樣只需要計(jì)算實(shí)數(shù)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證UKF波束跟蹤方法的性能，本文分別從信噪比（Signal to noise ratio，SNR）和陣列尺寸兩方面對(duì)三維UKF跟蹤算法進(jìn)行仿真，并與文獻(xiàn)［14］的EKF方法進(jìn)行了對(duì)比。仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

3.1 信噪比

本節(jié)研究SNR對(duì)三維UKF跟蹤方法的影響。圖4顯示了在不同SNR下的UKF跟蹤的均方誤差（Mean square er?ror，MSE）。實(shí)驗(yàn)中仿真參數(shù)的設(shè)置如下，收發(fā)端天線數(shù)Mr=Nr=Mt=Nt=16，角度變化方差σ2=(0.5°)2，仿真次數(shù)1 000次。

如圖4所示，隨著信噪比的增大，跟蹤誤差不斷減小。3條曲線的區(qū)別為跟蹤時(shí)隙的長度，隨著跟蹤時(shí)間的增長，所得到的均方誤差不斷增大，這表明UKF的跟蹤效果受信噪比和跟蹤時(shí)間長度影響較大。

圖4 不同SNR和跟蹤時(shí)隙下的EOA的均方誤差Fig.4 MSE of EOA with different SNRs and tracking slots

3.2 陣列尺寸

不同陣列尺寸下UKF算法的跟蹤性能如圖5和圖6所示。仿真中，角度變化方差分別為σ2=(0.25°)2和σ2=(0.5°)2，SNR為20 dB，仿真次數(shù)為5 000次。

圖5 不同陣列尺寸下的EOA的均方誤差(σ2=(0.25°)2)Fig.5 MSE of EOA with different array sizes(σ2=(0.25°)2)

圖6 不同陣列尺寸下的EOA的均方誤差(σ2=(0.5°)2)Fig.6 MSE of EOA with different array sizes(σ2=(0.5°)2)

當(dāng)σ2=(0.25°)2時(shí)，即角度變化較慢時(shí)，UPA?32×32的天線陣列跟蹤性能最好；當(dāng)σ2=(0.5°)2時(shí)，即角度變化較快時(shí)UPA?16×16的天線陣列跟蹤效果最好。無論在σ2=(0.25°)2還是σ2=(0.5°)2情況下，UPA?64×64的跟蹤性能都最差。這可能是由于尺寸較大的陣列可以產(chǎn)生較窄的波束，對(duì)角度的變化較敏感，導(dǎo)致跟蹤的精度下降。

3.3 對(duì)比EKF算法

將三維UKF跟蹤方法和文獻(xiàn)［14］的EKF跟蹤方法進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)參數(shù)為，收發(fā)端天線數(shù)Mr=Nr=Mt=Nt=16，SNR為20 d B，仿真5 000次。圖7顯示了仿真結(jié)果，角度變化方差分別為σ2=(0.25°)2和σ2=(0.5°)2。

圖7 三維UKF與EKF跟蹤方法對(duì)比Fig.7 Comparison of 3D UKF and EKF track?ing methods

如圖7所示，隨著跟蹤時(shí)間的增長，兩種算法的跟蹤誤差均增大；隨著信道角度方差變化的增大，兩種算法的跟蹤誤差均增大；UKF的跟蹤誤差小于EKF的跟蹤誤差，即基于UKF算法的三維跟蹤精度優(yōu)于EKF算法。這是由于EKF在對(duì)非線性方程進(jìn)行泰勒展開時(shí)，只保留了一階項(xiàng)，所以不可避免地會(huì)引入較大誤差。而UKF不需要進(jìn)行線性化，沒有忽略高階項(xiàng)，因此能夠克服EKF精度不夠的問題。

4 結(jié)束語

本文在無人機(jī)毫米波窄波束通信環(huán)境下，采用了一種基于UKF的三維波束跟蹤方法。該方法在收發(fā)兩端均采用均勻平面天線陣，利用無跡變換來解決均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題，實(shí)現(xiàn)了對(duì)俯仰角和方位角的跟蹤。仿真結(jié)果表明，基于UKF的三維波束跟蹤算法性能要優(yōu)于EKF跟蹤算法，UKF可以有效地提高無人機(jī)在三維環(huán)境下的波束跟蹤精度。但本文并未真正涉及無人機(jī)動(dòng)態(tài)信道模型，因此，在未來的研究中，將要著重于算法與真實(shí)無人機(jī)信道模型的結(jié)合。