蒙特卡洛算法在熱防護(hù)服傳熱模型建立中的應(yīng)用*

劉倩嵐，雷億輝，肖育江，董亞玲

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000)

在高溫環(huán)境下，作業(yè)人員需要穿著特定的熱防護(hù)服，以避免熱源對人體造成的傷害，防止中暑、燒傷、灼傷等.因此，明確熱防護(hù)服的導(dǎo)熱規(guī)律、清楚高溫環(huán)境中工作時間的極限，從而建立科學(xué)、準(zhǔn)確的熱防護(hù)服傳熱模型，制作出性能良好的專業(yè)防護(hù)服，可最大限度地保護(hù)作業(yè)人員的生命安全.學(xué)者對熱防護(hù)服內(nèi)部熱量傳遞機(jī)理進(jìn)行了研究，并建立了傳熱模型[1-6].但是，這些模型都需要求解微分方程，而在實際應(yīng)用中，受邊界條件的約束，微分方程的求解十分不易.于是，筆者擬通過蒙特卡洛算法求出溫度分布模型中的相關(guān)參數(shù)，以提高建模效率.

1 防護(hù)服傳熱模型的建立

1.1 基于熱傳導(dǎo)原理的模型描述

本研究實驗數(shù)據(jù)來源于2018年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)模競賽A題[7].將體內(nèi)溫度控制在37 ℃的假人放置在實驗室的恒定高溫環(huán)境中，研究高溫環(huán)境下配備高溫作業(yè)專用服裝的人體皮膚表層的溫度變化情況.

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可知，導(dǎo)熱過程中人體皮膚表層的溫度隨時間的變化而變化，且隨著時間的推移逐漸趨于定值，由此可認(rèn)為防護(hù)服的熱傳導(dǎo)是非周期性且非穩(wěn)態(tài)的.基于此給出以下假設(shè)：

(H1)熱防護(hù)服的紡織材料一、二、三層及空隙層分布均勻.

(H2)環(huán)境通過熱防護(hù)服及空隙向假人導(dǎo)熱是非周期性且非穩(wěn)態(tài)的.

(H3)熱量傳播的過程只有傳導(dǎo)沒有對流.

(H4)熱傳遞僅考慮熱傳導(dǎo)的影響，忽略汗液、水汽的影響，即不考慮濕傳遞.除熱量傳遞外，忽略環(huán)境其他因素的影響.

熱防護(hù)服的多層紡織面料導(dǎo)熱，可轉(zhuǎn)化為通過熱防護(hù)服一維橫截平板內(nèi)的導(dǎo)熱.在第3類邊界條件下，由于熱防護(hù)服的特征厚度很小，邊界表面單位面積上的換熱熱阻遠(yuǎn)大于材料內(nèi)部單位導(dǎo)熱面積上的導(dǎo)熱熱阻，因此畢渥數(shù)Bi趨近于0，即

其中：d為材料層厚度；h為表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)；λ為導(dǎo)熱系數(shù).進(jìn)一步可知，在整個導(dǎo)熱過程中橫截平板各點的溫度基本一致，即同一層的紡織面料質(zhì)量與熱容量都匯總到一點上，因此環(huán)境、熱防護(hù)服、假人皮膚表層之間的導(dǎo)熱分析可通過集中參數(shù)法進(jìn)行.環(huán)境通過3層熱防護(hù)服紡織材料，以及熱防護(hù)服與人體間的空隙層(第Ⅳ層)將熱量傳遞至假人皮膚表層(圖1)，具體傳熱機(jī)制如下：(1)在初始時刻，熱防護(hù)服3層材料溫度相等，為 37 ℃，不進(jìn)行熱傳導(dǎo)；進(jìn)入高溫環(huán)境后，熱量先從環(huán)境傳遞至熱防護(hù)服的第Ⅰ層，第Ⅰ層吸收熱量而升溫，再將熱量傳遞至第Ⅱ?qū)?，以此類推，熱量逐層傳遞.(2)置于高溫環(huán)境時，每一層材料的屬性不同，其吸收和放出的熱量也不同.環(huán)境傳遞至第Ⅰ層的熱量總大于第Ⅰ層傳遞至第Ⅱ?qū)拥臒崃?，以此類?由此可知，熱量傳遞量是逐層遞減的.(3)接觸高溫環(huán)境后，第Ⅰ層材料外側(cè)流入熱量，隨著材料外側(cè)溫度升高，流入熱量逐漸減少；同時，材料內(nèi)側(cè)溫度梯度增加，流出熱量逐漸增加，與流入熱量差距減少；當(dāng)流出熱量等于流入熱量時，傳熱進(jìn)入新的穩(wěn)態(tài)階段，達(dá)到平衡.其他材料層以此類推.

圖1 傳熱示意

由傅里葉導(dǎo)熱定律可得材料的熱流量計算公式為

(1)

其中：ΔΦ為導(dǎo)熱熱流量；ΔT為材料改變的溫度；A為熱傳遞面積.由(1)式可知，導(dǎo)熱率增大時當(dāng)層材料熱流流量增加，因此降低材料的導(dǎo)熱率，可有效提高防護(hù)服的隔熱性能.

1.2 傳熱模型的建立

利用Matlab軟件將5 400 s的實驗數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為直觀圖形(圖2).從圖2可以看出，假人皮膚表層溫度變化整體呈S型，變化趨勢符合阻滯增長模型的特點.為了準(zhǔn)確建立相應(yīng)的阻滯增長模型，對溫度變化數(shù)據(jù)進(jìn)行具體分析：前15秒內(nèi)，假人皮膚表層溫度變化不明顯；第16秒開始，假人皮膚表層溫度迅速上升；第427秒后，假人皮膚表層溫度上升速率由快變慢；第1 646秒后，假人皮膚表層溫度趨于恒定，保持在48.08 ℃.

圖2 0～5 400 s的假人皮膚表層溫度變化

根據(jù)材料間熱傳導(dǎo)機(jī)制可知，每層材料當(dāng)前溫度T(t)等于前一刻溫度T(t-1)與傳入熱量而升高的溫度ΔT之和.ΔT的計算公式為

其中：ΔQ為熱量傳遞量；c為材料的比熱容；ρ為材料的密度.

熱傳導(dǎo)率表示單位截面和單位長度的材料在單位溫差和單位時間內(nèi)直接傳導(dǎo)的熱量.引入熱傳導(dǎo)率，可得各層材料的熱量傳遞公式為

(2)

其中S表示材料的熱傳遞面積.

由此，可以初步建立如下溫度分布模型：

(3)

其中：T外為環(huán)境溫度；Tj(t)為各層材料的當(dāng)前溫度；ΔTj(t)為每平方米各層材料改變的溫度.

由于第Ⅳ層材料是空氣，因此第Ⅳ層的溫度函數(shù)可以近似為假人皮膚表層的溫度函數(shù).初始條件為 37 ℃的情況下，模型(3)的擬合數(shù)據(jù)曲線與實驗數(shù)據(jù)曲線的對比結(jié)果如圖3所示.

圖3 初步擬合對比結(jié)果

從圖3可以看出，當(dāng)溫度恒定時，由模型(3)得到的溫度為75 ℃，遠(yuǎn)高于實驗數(shù)據(jù)，且擬合曲線變化速率過快.由此可知，模型(3)擬合效果較差，需要對其進(jìn)行修正.

1.3 模型的修正

考慮到人體散熱機(jī)制、溫差等因素對熱傳導(dǎo)的阻滯作用，對第Ⅳ層材料的溫度函數(shù)引入阻滯因子.由于阻滯值不明確，溫度函數(shù)的擬合效果不明顯，因此在阻滯因子中進(jìn)一步嵌入控制參數(shù)來調(diào)整阻滯作用.

(4)

為了提高控制參數(shù)α的計算效率，使得均方差達(dá)到最小，這里采用蒙特卡洛算法進(jìn)行求解.蒙特卡洛算法也稱為計算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是指使用隨機(jī)數(shù)(或更常見的偽隨機(jī)數(shù))來解決計算問題的方法.設(shè)計蒙特卡洛方法的初衷是用于解決物理數(shù)值模擬問題，后來隨著計算機(jī)的快速發(fā)展，這一方法廣泛應(yīng)用在函數(shù)值極小化、計算幾何、組合計數(shù)等方面.如今，蒙特卡洛算法是求解科學(xué)、工程和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域大量應(yīng)用問題的常用數(shù)值方法[8].利用蒙特卡洛算法進(jìn)行求解，Matlab運行結(jié)果為α≈0.014 8.

2 模型檢驗

利用(2)式，可得每單位各層材料熱傳遞到下一層同樣單位的材料能夠吸收的熱量(表1).

表1各層材料吸收的熱量

將ΔQj(j=1,2,3,4)，Ts，α代入模型(4)，可得假人皮膚表層溫度的擬合值.模型(4)的擬合數(shù)據(jù)曲線與實驗數(shù)據(jù)曲線的對比結(jié)果如圖4所示，部分時刻擬合數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)的對比結(jié)果見表2.

圖4 修正后的擬合對比結(jié)果

表2 部分時刻的擬合數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)的對比結(jié)果

從圖4和表2可知，擬合數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)基本保持一致，說明模型(4)的擬合效果較好.擬合數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)有一定偏差的原因是，材料初始溫度選取的是37 ℃，而現(xiàn)實環(huán)境中一開始材料溫度并未達(dá)到37 ℃.盡管存在擬合偏差，通過模型(4)設(shè)計的熱防護(hù)服依然能滿足現(xiàn)實要求.這是因為，由圖4可以看出，從第299秒開始擬合數(shù)據(jù)就略高于實驗數(shù)據(jù)，表明基于模型(4)設(shè)計的熱防護(hù)服實際達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)更高，即當(dāng)熱防護(hù)服在該模型下滿足高溫作業(yè)要求時，現(xiàn)實中也一定能滿足防護(hù)要求.

3 結(jié)語

結(jié)合熱傳導(dǎo)原理和傅里葉定律分析了防護(hù)服傳熱機(jī)制及材料層溫度、熱量的變化情況，建立了初步溫度分布模型.考慮到人體散熱機(jī)制等因素對熱傳導(dǎo)的阻滯作用，引入含控制參數(shù)的阻滯因子來修正初步溫度分布模型，并采用蒙特卡洛算法借助Matlab軟件求解相關(guān)參數(shù)，得到修正溫度分布模型.數(shù)值仿真實驗結(jié)果表明，修正溫度分布模型的擬合數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)基本保持一致，說明該模型的擬合效果較好.