精軋機分速箱齒輪系統(tǒng)動力學(xué)建模與試驗研究

張科，張明，張雄飛，賈國平

（1.河北鋼鐵集團邯鄲鋼鐵集團有限責(zé)任公司大型軋鋼廠，河北 邯鄲 056015；2.河北工程大學(xué)機械與裝備工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038；3.邯鄲市永年區(qū)職業(yè)技術(shù)教育中心，河北 邯鄲 057150）

熱軋精軋機組傳動系統(tǒng)包括電機、減速機、主軸、分速箱、接軸和輥系組成。熱軋精軋機傳動系統(tǒng)通過齒輪分速箱使上下輥系進行等速轉(zhuǎn)動。分速箱作為傳動系統(tǒng)的一部分，其動力學(xué)特性對軋機傳動系統(tǒng)至關(guān)重要。近年來，熱軋機傳動系統(tǒng)振動問題頻繁，劇烈振動傳遞到分速箱中，當(dāng)振動頻率與分速箱系統(tǒng)固有頻率相接近時，發(fā)生劇烈共振，加劇傳動系統(tǒng)的振動程度，引起分速箱等部件發(fā)生磨損，甚至重大事故。研究分速箱的動態(tài)特性，對揭示振動傳遞、放大機理，保障設(shè)備穩(wěn)定運行具有重要作用。分速箱主要由箱體、人字齒齒輪軸、軸承部分組成。齒輪系統(tǒng)中具有軸與軸承支承結(jié)合部和輪齒嚙合結(jié)合部，結(jié)合部的動態(tài)特性對整個齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特征有著重要的影響。因此，建立分速箱齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型關(guān)鍵是軸承支撐剛度和齒輪嚙合剛度計算。

1 齒輪動力學(xué)模型建立

齒輪分速箱中齒輪軸是由兩個斜齒輪組成的人字齒傳動結(jié)構(gòu)，如圖1所示。在齒輪傳動中，由于一個齒輪軸上的兩個斜齒輪嚙合產(chǎn)生的軸向動態(tài)嚙合分力相互抵消，因此，齒輪系統(tǒng)主要有扭轉(zhuǎn)振動和橫向振動(在二維平面內(nèi)的平移運動），振動形式表現(xiàn)為齒輪系統(tǒng)的彎-扭耦合振動。在這種情況下，一對斜齒輪副的典型的動力學(xué)模型如圖2所示。

圖1 齒輪彎-扭耦合動力學(xué)模型

圖2 齒輪彎-扭耦合動力學(xué)模型

圖2 中Ip、Ig分別為主、被動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量，mp、mg分別為主、被動齒輪的平動慣量，Rp、Rg分別為主、被動齒輪的分度圓半徑，Cpy、Cgy分別為主、被動齒輪的y方向平動的阻尼系數(shù)，kpy、kgy分別為主、被動齒輪的y方向平動的剛度。

齒輪動力學(xué)模型為一個二維平面振動系統(tǒng)，為簡化計算，不考慮齒面摩擦，輪齒的動態(tài)嚙合力沿嚙合線方向作用，因此，該模型為4自由度系統(tǒng)，分別為主、被動齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動自由度和y方向的平移自由度。其廣義坐標(biāo)矩陣[]δ為：

式中，yp、yg分別為主、被動齒輪y方向的平移振動位移；θp、θg分別為主、被動齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動位移。

由圖2可知，P點的振動位移與主動輪廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系為：

G點的振動位移與被動輪廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系為：

設(shè)輪齒嚙合的法向剛度為km，則橫向剛度為

因此，系統(tǒng)的動力學(xué)分析模型為

式中，切向動態(tài)嚙合力Fp為

將切向動態(tài)嚙合力Fp代入式（5）中，并整理成下面矩陣形式

由于求解系統(tǒng)的固有頻率，因此可以不考慮阻尼矩陣和激振力矩陣。只需要求解出剛度矩陣和質(zhì)量矩陣便可。則

2 參數(shù)計算

2.1 質(zhì)量參數(shù)計算

根據(jù)上下齒輪軸的零件圖可以計算出齒輪軸的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動質(zhì)量。其中mp= 13703.9kg，Ip= 1059.4kg?m2，mg=10943.3 kg，Ig= 933.8kg?m2。

2.2 齒輪嚙合剛度計算

對斜齒輪系統(tǒng)，由于其嚙合是由輪齒的一端開始，并逐漸擴展至整個齒面，最后由輪齒的另一端退出嚙合的。因此，斜齒輪輪齒的嚙合綜合剛度雖然是時變的，但并不像直齒嚙合剛度存在著階躍性突變，而是在某一均值下的微小波動。由此，輪齒嚙合剛度用平均剛度來簡化對線性耦合振動動態(tài)特性的分析是適宜的。影響輪齒嚙合剛度的主要因素有：齒形參數(shù)(齒厚、齒高、齒形及曲率半徑)、設(shè)計參數(shù)(螺旋角β、重合度αε、齒圈截面形狀等)、齒輪制造誤差及齒向嚙合誤差?？梢愿鶕?jù)一種常用的方法來確定輪齒平均嚙合剛度。該方法中定義了單對齒嚙合剛度和平均嚙合剛度。

對于外嚙合剛性齒輪，在載荷作用下，其單對齒剛度可按下式計算：

式中，Zv2、Zv2分別為大、小齒輪的當(dāng)量齒數(shù)。

式中，αε為端面重合度。

上式適用于 45β≤ °的斜齒輪。而此分速箱中齒輪的螺旋角β= 25.7245°。

總嚙合剛度為

式中，b為齒輪寬度，b=0.76m。

則依據(jù)公式(10)～(12)可計算出km1=km2= 1.86× 1 010N/m 。

此分速箱中，由于每個齒輪軸中都有兩個齒輪，在此把兩個單個齒輪看作并聯(lián)關(guān)系，即齒輪軸上的齒輪嚙合剛度等于其上兩個斜齒輪的嚙合剛度之和。則齒輪軸的總嚙合剛度為k= 3.72× 1010N/m。

2.3 平移剛度kpy和kgy計算

圖3為分速箱中齒輪軸的軸承布置圖。根據(jù)圖3，kpy和kgy分別為上下兩組雙列圓錐滾子軸承徑向剛度的等效剛度。參考文獻7和文獻8，可知圓錐滾子軸承的徑向剛度計算公式為

圖3 分速箱中齒輪軸的軸承布置圖

式中，l為滾子全長，mm；z為滾子數(shù)；α為接觸角；aF為預(yù)緊力，N。

式中，d為軸承孔徑，mm。

查詢零件圖可知，l=82mm，α=11°z=28、30、23，0aF=2100N。

根據(jù)式（13），并基于串聯(lián)等效原則，可分別計算出，k=1.58× 1010N/m ，kgy= 1.46× 1 010N/m 。

綜合以上計算結(jié)果，則系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)表

把表1的參數(shù)代入公式(4)、(8)、(9)中，利用matlab求解特征值和特征向量的函數(shù)[ V ,D] = eig(K,M)，可以很方便地求出齒輪系統(tǒng)的各階固有頻率及主振型（表2）。

表2 主傳動系統(tǒng)的各階固有頻率及主振型（Hz）

可見，第一階固有頻率為零，表示存在剛體運動。這和采用的模型是相關(guān)的，因為齒輪在扭轉(zhuǎn)方向上是無約束的，數(shù)學(xué)上體現(xiàn)為剛度矩陣K并不是正定矩陣，而是半正定矩陣。第二階固有頻率為165.5Hz，振型表現(xiàn)為主動齒輪與被動齒輪反向平動和反向轉(zhuǎn)動。第三階固有頻率為180.2Hz，振型表現(xiàn)為主動齒輪與被動齒輪同向平動和反向轉(zhuǎn)動。第四階固有頻率為180.2Hz，振型表現(xiàn)為主動齒輪與被動齒輪同向平動和反向轉(zhuǎn)動。由動力學(xué)理論可知，設(shè)備的前幾階固有頻率振動容易被激發(fā)，而且當(dāng)外界激勵載荷頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率相近時，產(chǎn)生較強的振動幅值。

3 齒輪箱振動測試

為驗證模型的準確性，對齒輪分速箱開展振動測試，分別在輸入側(cè)和輸出側(cè)箱體上布置加速度傳感器。采集分速箱輸入側(cè)和輸出側(cè)的動態(tài)響應(yīng)信號。

在軋制過程中，該軋機出現(xiàn)了劇烈振動，振源位置為弧形齒接軸。振動是由于弧形齒磨損，嚙合間隙過大，產(chǎn)生嚙合沖擊引起的。因此，振動主要頻率為弧形齒嚙合頻率，加之結(jié)構(gòu)的非線性將衍生出其二倍頻和三倍頻的振動頻率。分速箱與弧形齒接軸直接相連，接軸劇烈振動傳遞到分速箱中，引起分速箱出現(xiàn)振動。根據(jù)軋制工藝參數(shù)，計算弧形齒接軸嚙合頻率處在55～60Hz，其二倍頻、三倍頻分別處在110～120Hz和165～180Hz。因此，在分速箱振動測試試驗中，分速箱外界激勵載荷頻率為55～60Hz及其倍頻，且基頻載荷幅值最大（圖4）。

圖4 軋機傳動系統(tǒng)布置圖

圖5 和圖6為分速箱輸入側(cè)和輸出側(cè)的時域信號及其頻域信號。時域圖中，振動幅值在0.2g以內(nèi)，振動強度整體比較穩(wěn)定。頻域圖中，分速箱輸入側(cè)振動優(yōu)勢頻率為55Hz、110Hz、145Hz和170Hz，其中145Hz頻率幅值最大，其次為55Hz；輸出側(cè)振動優(yōu)勢頻率為55Hz、105Hz、145Hz、155Hz和170Hz，其中170Hz頻率幅值最大，其次為155Hz附近。總體來看，輸入軸和輸出軸在145～170Hz振動強度較大，超過了基頻引起的振動強度，說明145～170Hz處在分速箱固有頻率附近。外界激勵載荷頻率與分速箱固有頻率相接近，激發(fā)了分速箱的共振，使該頻率振動表現(xiàn)出了更強的振幅。

圖5 分速箱輸入側(cè)振動時域圖（左圖）、頻域圖（右圖）

圖6 分速箱輸出側(cè)時域圖（左圖）、頻域圖（右圖）

通過振動測試可以確定145～170Hz存在分速箱固有頻率，本文理論計算的分速箱二階固有頻率（165.5Hz）和三階固有頻率（180.2Hz）與實際振動測試結(jié)果相接近。說明本文建立的齒輪動力學(xué)模型是有效的，具有工程價值。

上述分析可知，分速箱固有頻率區(qū)間與接軸弧形齒嚙合頻率的二倍頻區(qū)間相接近，弧形齒的嚙合沖擊與分速箱齒輪系統(tǒng)發(fā)生共振，這也是造成軋機傳動系統(tǒng)振動不斷加劇的原因之一。因此，今后在分速箱結(jié)構(gòu)設(shè)計中，需要考慮固有頻率的調(diào)整，使之避免與軋機系統(tǒng)其他部件的激振頻率相接近。

4 結(jié)語

（1）根據(jù)分速箱人字齒輪結(jié)構(gòu)特點，建立了分速箱齒輪系統(tǒng)的彎-扭耦合動力學(xué)模型。計算了動力學(xué)模型中剛度、質(zhì)量等關(guān)鍵參數(shù)，求解了分速箱齒輪系統(tǒng)的固有頻率，分別為0Hz、165.5Hz、180.2Hz和1202Hz。

（2）分速箱振動測試試驗中，外界激勵載荷頻率為55～60Hz及其倍頻；分速箱輸入軸和輸出軸在145～170Hz振動強度較大，超過了基頻引起的振動強度，145～170Hz區(qū)間處在分速箱固有頻率附近。

（3）本文理論計算的分速箱二階固有頻率（165.5Hz）和三階固有頻率（180.2Hz）與實際振動測試結(jié)果相接近，本文建立的齒輪動力學(xué)模型是有效的，具有工程價值。

（4）分速箱齒輪系統(tǒng)固有頻率與接軸弧形齒嚙合頻率二倍頻相接近，引起分速箱共振，加劇軋機傳動系統(tǒng)的振動。