基于“數(shù)”概念理解的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開發(fā)

萬兆榮

摘 要 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種理解性學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)圍繞概念的層階化理解展開，教師要在技術(shù)工具上做好創(chuàng)造性的支持。以整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的認(rèn)識為載體，開發(fā)驗(yàn)證型、探索型、理解型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)思維支點(diǎn)或模型，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“數(shù)”概念理解的框架，讓靜態(tài)內(nèi)容動態(tài)化、系統(tǒng)化，進(jìn)而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效開展。

關(guān)鍵詞 “數(shù)”概念理解 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 驗(yàn)證性 探索性 理解性

“數(shù)”概念是人們在實(shí)踐中，從數(shù)學(xué)對象的眾多屬性中概括、抽象出本質(zhì)屬性，其高度抽象性則是“數(shù)”概念教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以學(xué)生動手操作為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動方式，通過實(shí)際操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動[1]。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驅(qū)ⅰ白?、學(xué)、思”合一，讓學(xué)生在猜想（或假設(shè)）、驗(yàn)證、歸納等活動中提煉出“數(shù)”概念產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)意義、文化背景和思想方法等，有利于學(xué)生對概念本質(zhì)的探索和理解。

一、開發(fā)驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓“數(shù)”概念的理解可視化

驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為促進(jìn)數(shù)學(xué)概念理解的一種具身認(rèn)知工具，是基于自身經(jīng)驗(yàn)對學(xué)習(xí)對象的起始性理解，讓學(xué)生通過動手操作、觀察模型、試驗(yàn)分析等手段，檢驗(yàn)自己得出的數(shù)學(xué)結(jié)論（或猜想）的正確性的一種實(shí)踐活動[2]。在“數(shù)”概念教學(xué)中，驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)可以使學(xué)生在物、圖與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系中多感官參與活動，擺脫經(jīng)驗(yàn)性理解的束縛，逐步向數(shù)學(xué)化符號表征轉(zhuǎn)化，抽象出概念的本質(zhì)屬性。如“11～20的認(rèn)識”教學(xué)難點(diǎn)在于怎樣突破位值制和十進(jìn)制，教學(xué)中可借助驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

本課可準(zhǔn)備11個無序排列的蘑菇圖、磁性小棒、長方形磁片等實(shí)驗(yàn)材料。實(shí)驗(yàn)步驟可以這樣展開：第一步，猜想。出示數(shù)“11”，11為什么會寫成這樣，有其他寫法嗎？這里的兩個1意思一樣嗎？第二步，驗(yàn)證。（1）圈11。要求學(xué)生用不同的方法圈數(shù)圖片中蘑菇的數(shù)量，如一個一個圈、五個五個圈、十個一圈等方法。（2）擺11。要求學(xué)生用小棒拼擺出蘑菇的數(shù)量，方法有10個小棒擺一排，1個小棒單獨(dú)放的;10個小棒捆在一起，1個小棒單獨(dú)放……（3）寫11。方法有：兩個1中左邊特別胖，右邊特別瘦;左邊寫得高，右邊寫得矮;左邊寫得大，右邊寫得小……學(xué)生嘗試用不同的方法表示10個1和1個1，即探討“11”的表示，區(qū)別11中兩個1的不同意義。第三步，歸納。任意選取（10+幾）個長方形磁片，用十個十個圈數(shù)的方法，探究10個長方形磁片疊加表示十位上的1，這里的1放在哪里合適？通過位置關(guān)系證明十位上的1與個位上的1的區(qū)別。第四步，應(yīng)用。繼續(xù)利用長方形磁片在黑板上展示，學(xué)生自主增加磁片數(shù)量、確定擺放位置，表達(dá)對12～19的理解。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，能夠使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中發(fā)現(xiàn)知識生長的原點(diǎn)。學(xué)生最早對數(shù)的認(rèn)識，正是其觸摸、點(diǎn)數(shù)（shǔ）物體的動作經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化。學(xué)生從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象獲得數(shù)的感性認(rèn)識，再經(jīng)過理性分析，對結(jié)論的真?zhèn)巫鞒雠袛?，這種差異性和多元性，充分反映了每位學(xué)生不同的已有經(jīng)驗(yàn)和理解起點(diǎn)。從實(shí)驗(yàn)前對11的猜想到“圈”“擺”“寫”，學(xué)生在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上理解十位上1的意義，經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)性理解的修正、再創(chuàng)造過程，有效還原“11”原本的形態(tài)，充分獲得體驗(yàn)“十進(jìn)制”的經(jīng)驗(yàn)。在理解“十進(jìn)制”的數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生逐步建立位次感、位值感，從工具操作的具象，到表象歸納，再到抽象的符號演繹，運(yùn)用物、圖、形等多元表征，對數(shù)的關(guān)鍵屬性與本質(zhì)的獲得奠定基礎(chǔ)。

二、開發(fā)探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓“數(shù)”概念的理解結(jié)構(gòu)化

探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生在教師設(shè)置的問題情境中，通過動手操作、觀察、驗(yàn)證、類比、歸納等方式，發(fā)現(xiàn)全新數(shù)學(xué)結(jié)論的實(shí)踐活動，特點(diǎn)是過程開放、探索性強(qiáng)、生成度高[3] 。在探究現(xiàn)實(shí)問題、揭示數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理、理解可推廣的數(shù)學(xué)結(jié)論等方面，探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)揮著重要的作用。如“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)中，分?jǐn)?shù)具有“份數(shù)、商、測量運(yùn)算以及比”等不同層次的意義，如何突破對整體的等分，體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的價值？這里，可以借助探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)重點(diǎn)突破兩個學(xué)習(xí)難點(diǎn)：第一，整體等分，包括對具體“1”的等分以及許多合并成的整體的等分;第二，分?jǐn)?shù)兩種量的比較，也就是比的意義，所以分?jǐn)?shù)在某種意義上來說也是比，它主要是兩種量比較的時候，這兩種量可以相互作為單位度量的意義，體現(xiàn)在應(yīng)用當(dāng)中。

本課準(zhǔn)備的實(shí)驗(yàn)材料有兩種大小不同的圓形紙片若干個，彩色筆、剪刀、粘膠。實(shí)驗(yàn)可以這樣展開：第一步嘗試畫圖表示分?jǐn)?shù)。在1個圓形紙片中畫圖表示出 。要求學(xué)生獨(dú)立操作后集體交流想法。第二步，再試。依次出示2個、3個、4個圓一組的圖形，畫圖表示出一組圖形的 。在學(xué)生獨(dú)立操作后集體討論不同方法并想辦法驗(yàn)證。第三步，驗(yàn)證。借助剪刀現(xiàn)場剪下并展示在黑板上，理解多個圓片的? 的表示方法。第四步，列表對比。出示多組圓的 ，討論、歸納不同數(shù)量圓片用相同分?jǐn)?shù)表示，并能從自然數(shù)1過渡到整體“1”，逐步理解單位“1”的喻意。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：

首先，從“一個圓”開始，學(xué)生在等分的變化中感受分?jǐn)?shù)中核心知識的整體性與關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而加深對分?jǐn)?shù)的理解。兒童早期在分割幾何圖形時采用的是“分半”的策略，并重復(fù)分半。因此，使用“偶數(shù)等分”認(rèn)識分?jǐn)?shù)，正是學(xué)生等分物體動作經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化。一個實(shí)驗(yàn)中學(xué)生要想得到圓片的? ，通常需要以兩次對折的方式得到? ，這一活動順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知過程，激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，在等分的過程中直觀感知部分與整體的關(guān)系，即其中的1份為? ，任意的3份為? ，在直觀操作中感知一個圓的? 的大小。同樣，如果圓片的大小不同，其? 的大小均是不同的，但是其中的1份都是? 。這里，實(shí)物紙片均分實(shí)驗(yàn)使知識存在于具體的、情境性的、可感知的活動中，將抽象的分?jǐn)?shù)概念具體化，使得學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)化理解逐步升華為數(shù)學(xué)的形式化理解。

其次，“多個圓”驗(yàn)證能夠有效聯(lián)結(jié)分?jǐn)?shù)的多層意義。對2～4個圓片 的探討，學(xué)生最易表示出4個圓片的? ，直接涂出3個即可;其次是2個圓的? ，第一種情況，有80%的學(xué)生將兩個圓看成一個整體，平均分成4份，每半個圓表示1份，第二種情況，少數(shù)學(xué)生將2個圓分別看成一個獨(dú)立的個體，將每個圓平均分成4份，分別表示出? ;對學(xué)生來說，將3個圓看作一個整體均分四份是最困難的，一個一個均分雖能達(dá)成目的，但比較復(fù)雜。那么，使用怎樣的方式更加簡單呢？學(xué)生通常是將3個圓疊加，累積成一個整體再均分4份。既含有3平均分成4份，又蘊(yùn)含3除以4的除法意義，除法與分?jǐn)?shù)意義的聯(lián)結(jié)，促進(jìn)學(xué)生多層級理解分?jǐn)?shù)。

最后，列表分析歸納則有利于整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)綜合意義。列表對比將知識過程與結(jié)果、操作活動與思維參與、實(shí)驗(yàn)論證與主動探索有機(jī)融合，逐步從形式化向理解走向結(jié)構(gòu)化理解。從1個圓到多個圓均看成一個整體，為整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義提供了綜合性載體。從現(xiàn)實(shí)情境過渡到數(shù)學(xué)意義上來，體現(xiàn)為一種逐步豐富、精細(xì)化的發(fā)展趨勢，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的可見。從自然數(shù)1過渡到整體“1”，兩個“1”的變與不變?nèi)谕ń?gòu)單位“1”，一方面讓學(xué)生感受被平均分對象的廣泛意義，深刻體會分?jǐn)?shù)部分與整體的含義，另一方面滲透集合均分思想，能夠用“部分—整體”表示 的分?jǐn)?shù)意義，實(shí)現(xiàn)了由實(shí)物走向模式的角色轉(zhuǎn)換，逐步建立符號、模式、言語的聯(lián)結(jié)。

三、開發(fā)理解性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓“數(shù)”概念的理解系統(tǒng)化

理解性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種文化理解、外顯知識的生成過程，為抽象架起直觀理解的橋梁，使學(xué)生能從抽象的角度看待知識，理解數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的機(jī)理，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的規(guī)律推測問題產(chǎn)生的變化，使得靜態(tài)知識動態(tài)化、學(xué)術(shù)知識生長化。如“認(rèn)識負(fù)數(shù)”是在學(xué)生認(rèn)識了自然數(shù)、整數(shù)，初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)和小數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。如何借助實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生理解負(fù)數(shù)的本質(zhì)意義？筆者借助理解性實(shí)驗(yàn)展開教學(xué)。

課前準(zhǔn)備玻璃瓶、水、較粗的花莖、標(biāo)簽、溫度計貼圖、繪圖筆等實(shí)驗(yàn)材料，并要求學(xué)生利用實(shí)驗(yàn)材料，通過插花看水位，發(fā)現(xiàn)起點(diǎn)、上升與下降的位置變化。第一步，猜想記錄。由怎樣記錄水位變化引入新課，學(xué)生通過觀察插花后水位向上和向下的相反方向移動想到，用0刻度作為原來水位的標(biāo)準(zhǔn)。第二步，畫圖驗(yàn)證。逐步完善溫度計上的數(shù)字，繼而聚焦知識結(jié)構(gòu)難點(diǎn)，理解負(fù)數(shù)具有相反意義，并明確正負(fù)數(shù)的相互依存與相對性。從溫度計模型上的無刻度到畫出刻度，再到細(xì)分畫刻度（如圖1），在推理、概述中用現(xiàn)實(shí)原型概括出了負(fù)數(shù)模型。在探究體驗(yàn)和直觀模型圖的幫助下，掌握正負(fù)數(shù)在數(shù)系中的排列，深刻、準(zhǔn)確地把握了概念的意義，體會正負(fù)數(shù)的相對性這一核心概念。第三步，應(yīng)用推理。借助溫度計方向變化，建立數(shù)軸意識，用數(shù)軸上的數(shù)“距”促進(jìn)負(fù)數(shù)意義的相對性理解（如圖2）。從實(shí)物抽象出核心元素，在線段上繪制刻度，使數(shù)軸形成完整樣態(tài)，在確定的兩個點(diǎn)之間進(jìn)一步認(rèn)識正負(fù)數(shù)?？梢越柚鶤、B、C三個字母所表示的數(shù)字來描述，如以字母A為觀察點(diǎn)，描述C的相對位置;以字母B為觀察點(diǎn)，描繪數(shù)字3和5的相對位置;以字母C為觀察點(diǎn)，表述右邊數(shù)據(jù)、推想左邊數(shù)據(jù)，試想一下C左邊會有多少個負(fù)數(shù)。實(shí)驗(yàn)中學(xué)生經(jīng)歷觀察、質(zhì)疑、推理、比較、抽象概括的認(rèn)知全過程，深度理解負(fù)數(shù)的意義。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開發(fā)，需要教師準(zhǔn)確定位實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，明確知識之間具有什么樣的數(shù)學(xué)抽象關(guān)系，將知識點(diǎn)和技能點(diǎn)穿插在實(shí)驗(yàn)中，并以任務(wù)為驅(qū)動，整合實(shí)驗(yàn)步驟，在完成任務(wù)的實(shí)驗(yàn)過程中讓學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行意義建構(gòu)。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳國慶]