可轉(zhuǎn)換債券定價方法的比較研究

黃增輝 上海大學(xué)悉尼工商學(xué)院

一、引言

可轉(zhuǎn)換債券作為一種金融衍生工具，兼具債券和期權(quán)兩種性質(zhì)。一方面，作為債券，其票面利率通常遠(yuǎn)低于普通債券；另一方面，該債券規(guī)定有轉(zhuǎn)股權(quán)，即賦予債券持有人將債券按一定比例轉(zhuǎn)換為企業(yè)股票的權(quán)利。因此可轉(zhuǎn)債一經(jīng)推出便受到發(fā)行企業(yè)和投資者的青睞。美國鐵道公司于1843 年發(fā)行了世界上第一只可轉(zhuǎn)換債券，由此該品種成了證券市場上的寵兒。我國自20 世紀(jì)九十年代才開始發(fā)行可轉(zhuǎn)債，而真正迎來大規(guī)模發(fā)展的是2017 年再融資新規(guī)和減持新規(guī)出臺以后。盡管我國可轉(zhuǎn)債市場發(fā)展時間不長，但是可轉(zhuǎn)債產(chǎn)品的條款設(shè)計已經(jīng)充分借鑒了發(fā)達(dá)國家的經(jīng)驗。幾乎所有的可轉(zhuǎn)債發(fā)行條款包含了轉(zhuǎn)股條款、贖回條款、回售條款以及特別向下修正條款?？赊D(zhuǎn)換債券研究的核心問題是定價，定價是否合理直接影響到發(fā)行企業(yè)和投資者雙方的利益，關(guān)乎可轉(zhuǎn)債市場的健康發(fā)展。由于可轉(zhuǎn)債條款的復(fù)雜性，如何選擇較為合適的定價方法一直是一個熱點和難點問題。本文接下來對可轉(zhuǎn)債主要條款的期權(quán)屬性進(jìn)行分析，進(jìn)而闡釋可轉(zhuǎn)債的三種常用定價法及其優(yōu)缺點，最后是結(jié)語。

二、可轉(zhuǎn)債條款的期權(quán)屬性

（一）可轉(zhuǎn)債中的轉(zhuǎn)股權(quán)條款

可轉(zhuǎn)債中的轉(zhuǎn)股權(quán)允許持有人在一定期限內(nèi)（國內(nèi)通常為發(fā)行結(jié)束六個月后至債券到期日）隨時可將持有的債券按一定比例轉(zhuǎn)化為發(fā)行企業(yè)的股票（即正股）。由于用來支付的是債券，其價值是隨機變量，而非轉(zhuǎn)換價格這一確定金額，因此，轉(zhuǎn)股權(quán)本質(zhì)上以可轉(zhuǎn)債中的單純債券兌換正股，是兩種資產(chǎn)交換的期權(quán)，屬于奇異美式期權(quán)。現(xiàn)有文獻(xiàn)常用B-S 模型對轉(zhuǎn)股權(quán)定價，事實上，B-S 模型僅適用于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)。

（二）贖回條款

該條款是指當(dāng)發(fā)行企業(yè)的股票價格上漲超過轉(zhuǎn)換價格一定幅度后，發(fā)行人可以按確定的價格贖回持有人手中的債券。譬如，我國目前發(fā)行的可轉(zhuǎn)債大部分會約定，如果正股連續(xù)三十個交易日中至少有十五個交易日的收盤價格不低于當(dāng)期轉(zhuǎn)股價格的130%時，發(fā)行人就有權(quán)贖回持有人手中的可轉(zhuǎn)債。因此，有條件贖回條款本質(zhì)上是債券發(fā)行人擁有的一份美式買權(quán)，基礎(chǔ)變量為單純債券的價值。由于該條款的生效有觸發(fā)條件，因此這又是一個障礙期權(quán)。

（三）可轉(zhuǎn)債中的回售條款

該條款賦予持有人在未來一定期限內(nèi)滿足一定約束條件下有權(quán)按既定價格將債券賣給發(fā)行企業(yè)。這本質(zhì)上是債券持有人擁有一份賣出期權(quán)，基礎(chǔ)變量為單純債券價值。一般而言，回受期為存續(xù)期的后幾年，回售觸發(fā)價格為當(dāng)正股價格連續(xù)一定天數(shù)低于轉(zhuǎn)股價格的一定比例（通常為70%）時，債券持有人有權(quán)將債券按面值加上應(yīng)計利息的價格回售給發(fā)行方。因此，該回售期權(quán)為美式賣出障礙期權(quán)。

三、可轉(zhuǎn)債的常見定價方法

（一）可轉(zhuǎn)債定價的二叉樹法

二叉樹定價法是由Cox，Ross 和Rubinstein（1979）首次提出的。John C.Hull（2001）對二叉樹法及其在可轉(zhuǎn)債定價中的應(yīng)用有較詳盡的論述。該方法將一定期限劃分成N 個小的時間間隔Δt，假設(shè)在每一間隔Δt內(nèi)，股價變化只有兩個結(jié)果，上漲為u 倍或下跌為d 倍（u，d 分別稱為上升因子和下降因子，且二者之積為1）。運用無套利和風(fēng)險中性原理，先確定二叉樹圖終端的衍生品價值，然后依次回溯倒推出前期各節(jié)點的價值，最終得出初始價值。

下面闡述可轉(zhuǎn)債定價的二叉樹法的核心內(nèi)容?？赊D(zhuǎn)債價值在二叉樹圖各節(jié)點的情況分四類：

①在二叉樹圖的最后一個節(jié)點T 時刻，債券持有人有兩種選擇：轉(zhuǎn)股或收取本金和最后一期的利息。此時可轉(zhuǎn)債價值為：

其中k 為轉(zhuǎn)股比例，S0為正股當(dāng)前價格。

②若在節(jié)點（i，j）（i＜N，j=0，...，i）上，可轉(zhuǎn)債不可贖回、不可回售，債券持有人可以選擇繼續(xù)持有或轉(zhuǎn)股。此時可轉(zhuǎn)債價值為：

其中r為無風(fēng)險利率，p為風(fēng)險中性概率。

③若在節(jié)點（i，j）（i＜N，j=0，...，i）上，可轉(zhuǎn)債不可以贖回，但可以回售，債券持有人可以選擇繼續(xù)持有、回售或轉(zhuǎn)股。此時可轉(zhuǎn)債價值為：

其中P為回售價格。

④若在節(jié)點（i，j）（i＜N，j=0，...，i）上，可轉(zhuǎn)債可以贖回，可以回售，債券持有人可以選擇繼續(xù)持有、回售、轉(zhuǎn)股或接受發(fā)行人的贖回。此時可轉(zhuǎn)債價值為：

其中C 為發(fā)行人的贖回價格。

上述各節(jié)點情況考慮了可轉(zhuǎn)換債券附加條款的期權(quán)屬性。從T 時刻可轉(zhuǎn)債價值倒推，最終可得到初始時的可轉(zhuǎn)債價值V0。

目前國內(nèi)大多文獻(xiàn)對債券未來期限內(nèi)（長達(dá)六年）采用單一的無風(fēng)險利率r來計算繼續(xù)持有可債券的價值部分，且沒有考慮債券的信用風(fēng)險。K.Tsiveriotis and C.Fernandes（1998）在可轉(zhuǎn)債的定價中考慮了發(fā)行人的信用風(fēng)險，Jianbo Huang，Jian Liu，and Yulei Rao（2013）在對可轉(zhuǎn)債的二叉樹法定價中同時考慮了無風(fēng)險利率隨機過程和發(fā)行企業(yè)的信用風(fēng)險，這些都使得可轉(zhuǎn)債定價盡可能精確。

盡管二叉樹法在廣度和深度上都是一種比較成熟的定價方法，但二叉樹定價法也有不足之處，主要是路徑復(fù)雜，計算量大，且各節(jié)點未必能完全準(zhǔn)確地描述真實的場景。因此，二叉樹定價法得到的只是一個近似值。

（二）蒙特卡羅模擬法

該方法在可轉(zhuǎn)債定價中的應(yīng)用文獻(xiàn)[5]有具體論述。蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬法首先要模擬出大量的正股價格變化路徑。正股價格的變動通常假設(shè)服從幾何布朗運動。在風(fēng)險中性環(huán)境下，有dS=Srdt+SσdZ，其中Z 為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。

根據(jù)伊藤-德布林公式，股價的對數(shù)服從隨機過程：

寫成近似離散形式為

其中，ε服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

由上式即得

根據(jù)此式，通過以下步驟可以模擬計算可轉(zhuǎn)債的價值：

第一步，以初始股價為基礎(chǔ)，由上式模擬正股價格變化的一個路徑。

第二步，計算在此正股股價格路徑下各附加期權(quán)的價值進(jìn)而得到可轉(zhuǎn)債價值，按無風(fēng)險利率折現(xiàn)求出現(xiàn)值。

第三步，重復(fù)第一步和第二部，得出不同股價路徑下的可轉(zhuǎn)債現(xiàn)值。

第四步，將所有路徑下可轉(zhuǎn)債現(xiàn)值取平均，即得可轉(zhuǎn)債的價值。

有上述確定可轉(zhuǎn)債的過程可知，蒙特卡羅模擬的優(yōu)點是可以考慮正股的大量不同運動軌跡，從而更好地描述可附加期權(quán)的價值，盡可能使可轉(zhuǎn)債定價切合實際。但該方法計算量大，且更為關(guān)鍵的是，該方法定價的準(zhǔn)確性依賴于正股遵從隨機過程的假設(shè)是否合理。

（三）頭寸分解法

頭寸分解法的核心思想是，把可轉(zhuǎn)換債券分解為單純債券和幾個期權(quán)頭寸。這方面的文獻(xiàn)不少，如Paul Borochin etc.（2020）等。對單純債券的當(dāng)前價值，可用如下公式得出：

該式是假定每年付一次利息。其中I 為利息額，F(xiàn) 為債券面值，Rt為t 期的即期利率。

對可轉(zhuǎn)債中的附加條款對應(yīng)的期權(quán)，要分別計算。對轉(zhuǎn)股條款對應(yīng)的轉(zhuǎn)股期權(quán)，上面第二部分已做了分析，該期權(quán)在規(guī)定期限內(nèi)可隨時執(zhí)行，執(zhí)行價格是單純債券的價值，為隨機變量，因此轉(zhuǎn)股期權(quán)是可轉(zhuǎn)債持有人以單純債券來交換正股的兩種資產(chǎn)交換的美式奇異期權(quán)。以可轉(zhuǎn)債到期時為例，記到期單純債券的價值為BT，股票的價值為ST，k 為轉(zhuǎn)換比例，那么到期轉(zhuǎn)股權(quán)的價值為：由于單純債券到期價值為面值和最后一期利息之和，即，因此有

由此可知，對轉(zhuǎn)股權(quán)采用B-S 模型是一個近似的處理。

至于贖回條款對應(yīng)的贖回期權(quán)、回售條款款對應(yīng)的回售期權(quán)，由于設(shè)定有觸發(fā)條件，均屬于美式障礙期權(quán)。對上述三種期權(quán)，均可以利用二叉樹法或隨機微積分理論（文獻(xiàn)[7]對各種奇異期權(quán)的求解有專門討論。）對它們分別估值，這里不再闡釋。贖回期權(quán)為權(quán)利人為可轉(zhuǎn)債的發(fā)行人，而回售期權(quán)的權(quán)利人為可轉(zhuǎn)債的持有人。

按照上述方法分別得出各期權(quán)的價值后，最終可轉(zhuǎn)換債券的價值為：單純債券價值+轉(zhuǎn)股權(quán)價值+回售期權(quán)價值-贖回期權(quán)價值。

這一方法的主要問題在于，可轉(zhuǎn)債中各期權(quán)不是獨立存在的，一個期權(quán)的執(zhí)行意味著其他期權(quán)的不復(fù)存在，屬于典型的復(fù)合期權(quán)，各頭寸價值不能簡單加減。這是頭寸分解法在可轉(zhuǎn)債定價上受限的主要原因。

四、結(jié)語

可轉(zhuǎn)換債券因為附加條款的復(fù)雜性及其期權(quán)屬性，使得對其合理定價是一個難點問題。相較于B-S 模型和蒙特卡羅模擬，二叉樹法放寬了部分假設(shè)條件，適用于歐式、美式期權(quán)和奇異期權(quán)的定價，同時還可以考慮債券存續(xù)期間發(fā)行人的信用風(fēng)險以及無風(fēng)險利率為隨機過程等情況，從而總體說來更適合于可轉(zhuǎn)換債券的定價。