一類(lèi)非線性的帶有變時(shí)滯的隨機(jī)微分方程的數(shù)值分析

李燕，吳浩，沙翔，高帥斌*

(1 華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430072；2 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

1 相關(guān)知識(shí)

隨機(jī)時(shí)滯微分方程在許多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，當(dāng)時(shí)滯隨著時(shí)間變化而變化的時(shí)候，對(duì)方程的研究更具有現(xiàn)實(shí)意義[1]. 方程的解析解在很多情況下是無(wú)法計(jì)算出來(lái)的，此時(shí)可以用數(shù)值解來(lái)逼近解析解[2-4].文獻(xiàn)[5]研究了局部Lipschitz條件下數(shù)值解的強(qiáng)收斂問(wèn)題,為隨機(jī)微機(jī)方程數(shù)值解的研究開(kāi)啟了新的篇章. 當(dāng)漂移項(xiàng)系數(shù)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)均超線性增長(zhǎng)時(shí)，文獻(xiàn)[6]建立了帶有常時(shí)滯的隨機(jī)微分方程的截?cái)嘈挺?EM算法并給出了收斂率. 當(dāng)θ=0時(shí)，截?cái)嘈挺?EM算法退化成截?cái)嘈虴M算法. 文獻(xiàn)[7]和[8]分別給出了截?cái)嘈虴M算法和它的收斂率. 文獻(xiàn)[9]得到了帶有Poisson跳的混雜隨機(jī)時(shí)滯微分方程的截?cái)嘈挺?EM算法的收斂率. 文獻(xiàn)[10]分析了帶有變時(shí)滯的隨機(jī)微分方程的EM數(shù)值解的收斂性.

在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，本文給出了帶有變時(shí)滯的隨機(jī)微分方程的截?cái)嘈挺?EM算法，并得到了數(shù)值解的收斂率. 最后，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明了算法的有效性.

2 主要結(jié)論

在本文中，給出相關(guān)符號(hào)規(guī)定.若x∈n，則|x|表示Euclidean范數(shù).若A是矩陣，則|A|表示其跡范數(shù)，即若a,b是實(shí)數(shù)，則a∧b=min{a,b}，a∨b=max{a,b}，?a」表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，令+=[0,+∞)，若H是一個(gè)集合，則IH表示其示性函數(shù)，這意味著，當(dāng)ω∈H時(shí)，IH(ω)=1，否則IH(ω)=0.令C表示一個(gè)任意可變的正常實(shí)數(shù).

設(shè)(Ω,,{t}t≥0,)是一個(gè)完備的概率空間，其σ代數(shù)流{t}t≥0滿足一般條件，是定義在上的期望，設(shè)C([-ρ,0];n)是從[-ρ,0)映射到n上的連續(xù)函數(shù)族，其范數(shù)設(shè)n)是0可測(cè)的C([-ρ,0];n)值的隨機(jī)變量族，且‖ξ‖p<∞.設(shè)B(t)=(B1(t),B2(t),…,Bm(t))T是m維Brownian運(yùn)動(dòng).

考慮帶有變時(shí)滯的隨機(jī)微分方程：

dx(t)=f(x(t),x(t-ρ(t)))dt+g(x(t),x(t-ρ(t)))dB(t),t≥0,

(1)

為了得到θ-EM算法的強(qiáng)收斂率，對(duì)漂移項(xiàng)系數(shù)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)施加若干條件.

在(A2)之前，引入記號(hào)u. 設(shè)u是連續(xù)函數(shù)U∶n×n→+的函數(shù)族，其中函數(shù)U需滿足條件：存在一個(gè)常數(shù)κb，使得對(duì)于任意的x,y∈n且|x|∨|y|≤b，有U(x,y)≤κb|x-y|2.

(A3)存在K2>0,p>q>2，使得對(duì)于任意的x,y∈n，有：

(A4)時(shí)滯函數(shù)ρ(·)是正的、有界的且可微的，并且它的導(dǎo)數(shù)也是有界的，即：

由(A4)可知，存在一個(gè)常數(shù)K3>1，使得：

|ρ(t)-ρ(s)|≤K3|t-s|,?t,s∈[0,T].

(A5)存在常數(shù)K4>0和γ∈(0,1]，使得當(dāng)t,s∈[-ρ,0]時(shí)，有：

|ξ(t)-ξ(s)|≤K4|t-s|γ.

下面開(kāi)始定義截?cái)嘈挺?EM算法.首先，選取一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)φ:(0,1]→(0,∞)，使得：

(2)

其中，Kφ(Δ)是依賴于φ(Δ)的函數(shù).對(duì)于給定的步長(zhǎng)Δ∈(0,1)，定義截?cái)嘤成洌?/p>

(3)

其中，當(dāng)x=0時(shí)，設(shè)x/|x|=0.定義截?cái)嗪瘮?shù)：

fΔ(x,y)=f(πΔ(x),πΔ(y)),
gΔ(x,y)=g(πΔ(x),πΔ(y)).

(4)

假設(shè)存在正常數(shù)M0和M′使得Δ=T/M′=ρ0/M0.定義tk=kΔ，k=-M0,-M0+1,…，-M′-1.當(dāng)k=-M0,-M0+1,…,0時(shí)，令XΔ(tk)=ξ(tk).

定義：

XΔ(tk+1)=XΔ(tk)+θf(wàn)Δ(tk+1,tk-?ρ(kΔ)/Δ」+1)Δ+(1-θ)fΔ(tk,tk-?ρ(kΔ)/Δ」)Δ+gΔ(tk,tk-?ρ(kΔ)/Δ」)ΔBk,

(5)

其中，定義：

(6)

則在時(shí)間和路徑上均連續(xù)的數(shù)值解定義為：

xΔ(t)=ξ(0)-θf(wàn)Δ(ξ(0),ξ(-ρ0))Δ+

θf(wàn)Δ(xΔ(t),xΔ(t-ρ(t)))Δ+

(7)

可以發(fā)現(xiàn)xΔ(tk)=XΔ(tk).為了方便，記：

yΔ(t)=xΔ(t)-θf(wàn)Δ(xΔ(t),xΔ(t-ρ(t)))Δ,

(8)

和

(9)

引理1假設(shè)條件(A1)～(A3)成立，則方程(1)在t≥-ρ0上有一個(gè)全局唯一解x(t)，并且：

(10)

采用與文獻(xiàn)[6]的引理2.2與引理2.3相同的方法，可以得到下面引理.

(11)

和

(12)

由引理2可得：

|fΔ(x,y)|∨|gΔ(x,y)|≤

2Kφ(Δ)(|x|+|y|)+(|f(0,0)|+|g(0,0)|).

(13)

引理3假設(shè)條件(A3)成立，對(duì)于任意的x,y∈n和Δ∈(0,Δ*)，有：

(14)

下面引理的證明與文獻(xiàn)[9]的引理5相似，此處省略.為了方便，記：

K(t)=?t/Δ」Δ,?-ρ0≤t≤T.

引理4假設(shè)條件(A1)成立，對(duì)于任意的p≥2,t∈[0,T]和Δ∈(0,Δ*)，有:

(15)

引理5假設(shè)條件(A1),(A3)與(A4)成立，則有：

(16)

證明由(7)式可得：

(17)

(18)

由引理2、引理3、Young不等式和(2)式可得：

ρ(s)))Δ|p-2·(1+|Z1(s)|2+|Z2(s)|2|)ds≤

C·

(|xΔ(s)|p+|xΔ(s-ρ(s))|p)+|Z1(s)|p+

|Z2(s)|p|)ds≤

(19)

另外，

H2≤C

Z1(s)|·|fΔ(Z1(s),Z2(s))|ds+C

|fΔ(Z1(s),Z2(s))|ds=:H21+H22.

(20)

由引理2、引理4、Young不等式和(2)式可得：

Z2(s))Δ‖κ(s))]ds≤

|Z1(s)-θf(wàn)Δ(Z1(s),Z2(s))·Δ|p-2)ds+

(21)

同(21)式的過(guò)程相似，由引理2、引理4和(2)式可得：

(22)

把(19)～(22)式代入(18)式可得：

由基本不等式|a-b|≥21-p|a|p-|b|p和(13)式可得：

|yΔ(t)|p≥21-p|xΔ(t)|p-θpΔp|fΔ(xΔ(t),xΔ(t-

2p-1θpΔp(|f(0,0)|+|y(0,0)|).

運(yùn)用Gronwall不等式可得(17)式.

引理6假設(shè)條件(A1)～(A4)成立.對(duì)于任意的p≥2，t∈[0,T]和Δ∈(0,Δ*)，有：

(23)

和

(24)

證明由引理4和引理5，通過(guò)條件期望的性質(zhì)可得(23)式，再用引理5中的證明技巧可知：

引理7假設(shè)條件(A1)～(A4)成立.對(duì)于任意的p≥2,t∈[0,T]，和Δ∈(0,Δ*)，有：

(25)

證明由文獻(xiàn)[9]的引理5可得，對(duì)于任意固定的t∈[kΔ，(k+1)Δ)有：

C|yΔ(t-ρ(t))-yΔ(kΔ-?ρ(kΔ)/Δ」Δ|p≤

由(A4)和不等式ρ(kΔ)-Δ≤?ρ(kΔ)/Δ」Δ≤ρ(kΔ)可得：

|ρ(t)-?ρ(kΔ)/Δ」·Δ| ≤

所以可得|ρ(t)-?ρ(kΔ)/Δ」·Δ|≤(K3+1)Δ，

因此，由引理5可得：

采用引理1和引理5中的證明技巧可以得到下面的引理.

引理8假設(shè)條件(A1)～(A4)成立.對(duì)于任意的L≥‖ξ‖，定義τL=inf{t≥0:|xΔ(t)|≥L}和τΔ,L=inf{t≥0:|xΔ(t)|≥L}，然后可得：

引理9假設(shè)條件(A1)～(A5)成立.令Δ∈(0,Δ*)充分小使得φ(Δ)≥L∨‖ξ‖，則有：

(26)

其中τ:=τL∧τΔ,L.

證明記eΔ(t)=x(t)-yΔ(t),t∈[0,T].由fΔ(·,·)與gΔ(·,·)的定義可知，對(duì)于任意的0≤s≤t∧τ，有：

fΔ(Z1(s),Z2(s))=f(Z1(s),Z2(s)),
gΔ(Z1(s),Z2(s))=g(Z1(s),Z2(s)).

|g(x(s),x(s-ρ(s)))-gΔ(Z1(s),Z2(s))|2]ds+

|g(x(s),x(s-ρ(s)))-g(Z1(s),Z2(s))|2]ds+

(27)

由(A2)和引理6、引理7可得：

J1≤2K1(|x(s)-Z1(s)|2+|x(s-ρ(s))-

Z2(s)|2)ds+2(-U(x(s),Z1(s))+

U(x(s-ρ(s)),Z2(s)))ds≤

4K1(|x(s)-xΔ(s)|2+|xΔ(s)-

Z1(s)|2+|x(s-ρ(s))-xΔ(s-ρ(s))|2+

|xΔ(s-ρ(s))-Z2(s)|2)ds+

C(|x(s)-xΔ(s)|2ds+C·Δ·

(28)

相似地，由引理2、引理6和引理7得到：

J2≤CKφ(Δ)|xΔ(s)-Z1(s)|·(|x(s-ρ(s))-Z2(s)|+|x(s)-Z1(s)|)ds≤

C

|x(s-ρ(s))-Z2(s)|2)ds≤

(29)

同理，由引理2、引理6、引理7和(8)式可得：

J3≤C

C(|x(s)-Z1(s)|2+|x(s-ρ(s))-

(30)

把(28)～(30)式代入(27)式可得：

因此，可得：

應(yīng)用Gronwall不等式可知，對(duì)于任意的t∈[0,T]，有：

即是所需結(jié)論.

下面的定理1給出了L2空間上的收斂率.

定理1假設(shè)條件(A1)～(A5)成立.對(duì)于充分小的Δ∈(0,Δ*)，假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)c0>0，使得：

(31)

則對(duì)任意的T>0，有：

(32)

證明設(shè)δ是任意正常數(shù)，由Young不等式可得：

因此，可得：

由引理1和引理5可得：

|x(T)-xΔ(T)|p≤C.

由引理8可得：

{τ≤T}≤{τL≤T}+

(33)

由(31)式可知：

由引理9和(33)式得到：

證畢.

3 實(shí)例

考慮非線性的帶有變時(shí)滯的標(biāo)量隨機(jī)微分方程：

|x(T)-xΔ(T)|2≤CΔ(1-4ε)∧2γ.