自由曲面反射式投影成像系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

宗卉，楊波，顧鵬翔

（上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

0 引言

圖像顯示作為人類(lèi)接觸信息的窗口，是人類(lèi)獲取信息的直接形式之一，也是社會(huì)溝通與交流的基本渠道［1］。投影儀的原型是利用光和影，將圖像顯示在屏幕上的幻燈機(jī)［2］。隨著投影技術(shù)的快速發(fā)展，人們可以脫離電子屏幕的裝載限制，在很多場(chǎng)合都可以便捷地進(jìn)行投影成像，人們?cè)谧非蟠笃聊桓咔逋队帮@示的同時(shí)，也希望投影系統(tǒng)能夠占據(jù)更小的空間，尤其在家庭、教育、商用等對(duì)空間限制較大的領(lǐng)域中，節(jié)約空間等同于節(jié)約成本，小面積房間就可以進(jìn)行會(huì)議與影音體驗(yàn)，教室里的多媒體設(shè)備也變得更加輕便，使用者也可以免受投影過(guò)程中的光照影響。目前，投影系統(tǒng)逐漸朝著大屏幕、超短焦距、低投射比、大視場(chǎng)角、高分辨率、高清晰度的方向發(fā)展［3］。因此，研究者們紛紛提出了超短焦距投影顯示系統(tǒng)的各類(lèi)方案。最初實(shí)現(xiàn)超短焦投影鏡頭的設(shè)計(jì)方式為多鏡片折射式設(shè)計(jì)，而近幾年隨著自由曲面的發(fā)展，使用折反式離軸設(shè)計(jì)的超短焦投影開(kāi)始增多。如：使用全玻璃球面折射透鏡的折反式超短焦變焦投影系統(tǒng)（包含16 片球面折射透鏡和一片非球面反射鏡）；整個(gè)系統(tǒng)采用15 個(gè)透射鏡片和一個(gè)非球面反射鏡片，其中反射鏡采用凹面反射鏡進(jìn)行視場(chǎng)擴(kuò)大的結(jié)構(gòu)［4－5］等。這種折反式系統(tǒng)的共同特點(diǎn)是采用多片折射透鏡和一片反射鏡，鏡片數(shù)量多，加工精度要求高。而離軸全反射式鏡頭具有無(wú)色差、重量輕、熱穩(wěn)定性好和大口徑等優(yōu)點(diǎn)，有效規(guī)避同軸部分的中心遮攔，提高了能量利用率［6－7］。

離軸系統(tǒng)中的光學(xué)元件存在偏心與傾斜，非對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生非常規(guī)像差，普通球面鏡片難以在一定數(shù)量?jī)?nèi)加以校正，而自由曲面的使用則可以較好地校正這些像差。近年來(lái)，光學(xué)元件的精密加工、檢測(cè)技術(shù)不斷進(jìn)步，自由曲面相關(guān)的設(shè)計(jì)理論不斷發(fā)展，自由曲面的使用也越來(lái)越廣泛。較早出現(xiàn)的采用四片離軸反射非球面鏡片的超短焦投影機(jī)，做到了投射比0.32［1］。本設(shè)計(jì)采用全反射離軸結(jié)構(gòu)，僅使用四片自由曲面鏡片，全部采用反射鏡片的形式，沒(méi)有色差，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。

1 設(shè)計(jì)原理

按照光軸位置，成像系統(tǒng)分為共軸成像和離軸成像兩種；按照光路轉(zhuǎn)折方式，可分為折射、反射、折反式3 種。共軸折射成像系統(tǒng)視場(chǎng)范圍限制較多，視場(chǎng)角過(guò)大至接近90°的話(huà)，近軸的計(jì)算公式為：

由于視場(chǎng)角的增大會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的畸變和軸外像差，尤其是垂軸色差［4］。且視場(chǎng)角ω 越大，照度不均勻問(wèn)題越嚴(yán)重，像差也因視場(chǎng)角的增大而變得不理想，因此式（1）已不再適用。設(shè)計(jì)過(guò)程中為了減小像差、提高照明質(zhì)量，鏡片數(shù)量隨之增加，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨之更復(fù)雜，加工與裝配難度隨之增大，成本也隨之增加；常用反射式光學(xué)系統(tǒng)主要包括兩反系統(tǒng)、三反系統(tǒng)和四反系統(tǒng)等［8］。同軸四反光學(xué)系統(tǒng)最大缺陷就是無(wú)法避免的中心遮欄，系統(tǒng)能量的減少會(huì)嚴(yán)重影響成像質(zhì)量［9］。因此，傳統(tǒng)的共軸折射結(jié)構(gòu)不適用于大視場(chǎng)超短焦投影系統(tǒng)。

自由曲面由于其優(yōu)秀的面型描述能力和像差優(yōu)化能力，設(shè)計(jì)自由度遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)光學(xué)元件，從而在相同指標(biāo)要求下，能夠減少光學(xué)元件數(shù)量、減輕光學(xué)系統(tǒng)質(zhì)量與體積。非成像系統(tǒng)，如照明系統(tǒng)中可直接使用離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行面形描述；但成像系統(tǒng)中，為了保證成像質(zhì)量與光線(xiàn)追跡的速度與精度，通常采用具體數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行面形描述，大多是在基底球面或基底二次曲面的基礎(chǔ)上，疊加非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)項(xiàng)得到，基底球面可表示為：

基底二次曲面可表示為：

其中，c為非球面頂點(diǎn)處的曲率，k是二次曲面的圓錐系數(shù)。自由曲面可分為常規(guī)面型、具有正交性質(zhì)的面型、局部面型可控3 種面型。具有正交性質(zhì)的Zernike 多項(xiàng)式像差校正能力強(qiáng)，可以依據(jù)矢量像差理論對(duì)應(yīng)關(guān)系，有針對(duì)性地對(duì)系統(tǒng)像差進(jìn)行校正，因此應(yīng)用較廣。面形描述通常是在二次曲面基底上添加極坐標(biāo)形式：

應(yīng)用最多的是高次小變形自由曲面，是在基底二次曲面上發(fā)生微小變形得到的。根據(jù)基底二次曲面后的多項(xiàng)式不同，可分為奇次和偶次多項(xiàng)式?；锥吻婧蠹由吓即雾?xiàng)則是偶次多項(xiàng)式自由曲面，同理奇次多項(xiàng)式自由曲面在式（3）后面加上奇次項(xiàng)，則可由公式（5）進(jìn)行描述：

為了改善成像與照明質(zhì)量、控制成本與加工難度，本文采用離軸全反射式成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案，離軸結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)可以拓寬系統(tǒng)對(duì)視場(chǎng)角的限制，尤其適用于大視場(chǎng)角的投影成像系統(tǒng)；自由曲面具有很強(qiáng)的非對(duì)稱(chēng)像差能力，優(yōu)化設(shè)計(jì)自由度大［10］，4 片自由曲面反射鏡在轉(zhuǎn)折光路的同時(shí)可以校正像差，規(guī)避色差的產(chǎn)生，且鏡片數(shù)量少、質(zhì)量輕、方便加工與裝配。

2 設(shè)計(jì)指標(biāo)

投影鏡頭的主要功能，是將圖像源（微透鏡顯示芯片）上的圖像放大并投影到背景上變成圖像顯示屏幕。本文選用DMD 顯示芯片。投影鏡頭的性能指標(biāo)要求主要體現(xiàn)在像面的放大倍率與成像質(zhì)量上。超短焦投影鏡頭在此基礎(chǔ)上還要求投射比在0.6 以下，本設(shè)計(jì)投射比為0.25，完全符合超短焦投影要求。各指標(biāo)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 系統(tǒng)技術(shù)指標(biāo)表Tab.1 System technical indicator table

3 設(shè)計(jì)方法

本設(shè)計(jì)突破傳統(tǒng)光學(xué)成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)理論和方法，將多片自由曲面引入光學(xué)成像系統(tǒng)，采用4 片自由曲面的離軸全反射設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，利用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Code V 完成鏡頭設(shè)計(jì)。由于鏡頭是大視場(chǎng)、小F 數(shù)的非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，難以從Code V 專(zhuān)利庫(kù)中找到合適的初始結(jié)構(gòu)，需要自行創(chuàng)建。

首先，將光瞳與一半視場(chǎng)范圍內(nèi)的視場(chǎng)進(jìn)行光線(xiàn)采樣［10］，獲得光瞳和視場(chǎng)坐標(biāo)，再聯(lián)合Code V 和MATLAB 進(jìn)行采樣光線(xiàn)和自由曲面交點(diǎn)的理想法向量的求解，在MATLAB 中調(diào)用Code V 中光線(xiàn)追跡命令；根據(jù)費(fèi)馬原理，求解采樣光線(xiàn)與反射鏡交點(diǎn)的理想法向量。對(duì)Si和Sideal之間光程S求泛導(dǎo)公式如下：

其中，Pi是采樣光線(xiàn)與代設(shè)計(jì)曲面Si的交點(diǎn)坐標(biāo)；理想像點(diǎn)Sideal是采樣光線(xiàn)與像點(diǎn)的交點(diǎn)；n是折射率。根據(jù)反射定律得到理想法向量N：

再將所有采樣光線(xiàn)與理想法向量進(jìn)行擬合，得到自由曲面面型參數(shù)。

在初始結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，利用Code V 中用戶(hù)自定義函數(shù)控制與AUTO 進(jìn)行優(yōu)化即可。首先選擇可變化的光學(xué)參數(shù)，將系統(tǒng)中各透鏡的基本參數(shù)如：曲率半徑、厚度、空氣間隙的厚度、折射率、阿貝數(shù)以及反射鏡面型相關(guān)的參數(shù)設(shè)置成變量，通過(guò)用戶(hù)自定義函數(shù)控制像面高度和寬度來(lái)控制畸變。使用軟件中的AUTO 優(yōu)化代碼優(yōu)化系統(tǒng)的各種像差，同時(shí)更改視場(chǎng)和波長(zhǎng)的權(quán)重以便優(yōu)化。設(shè)計(jì)流程如圖1 所示。

圖1 設(shè)計(jì)流程圖Fig.1 Design flow chart

4 設(shè)計(jì)結(jié)果

4.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

超短焦投影鏡頭包括：

（1）顯示芯片：用于調(diào)制從投影機(jī)照明系統(tǒng)出射的光束，且充當(dāng)投影鏡頭的物面；

（2）透鏡組：設(shè)置于顯示芯片的成像光路上，用于保護(hù)鏡頭與光路照明；

（3）振鏡：設(shè)置于第一透鏡組之后，用于調(diào)整光路透鏡；

（4）Zernike 多項(xiàng)式反射面1：設(shè)置于振鏡后，用于反射成像光束；

（5）孔徑光闌：設(shè)置于Zernike 多項(xiàng)式反射面1之后，用于限制成像光束；

（6）Zernike 多項(xiàng)式反射面2、Zernike 多項(xiàng)式反射面3 與奇次多項(xiàng)式反射面，均設(shè)置于孔徑光闌之后，用于反射成像光束，并使圖像成像于屏幕。各組件結(jié)構(gòu)如圖2 所示：（右圖為左圖的部分放大，以獲得更好的可視化效果。）

圖2 光學(xué)組件結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Optical component structure diagram

此次設(shè)計(jì)的投影鏡頭中屏幕尺寸與非球面反射鏡到屏幕距離的關(guān)系見(jiàn)表2。

表2 投射距離表Tab.2 Projection distance table

4.2 成像結(jié)果

鏡頭的調(diào)制傳遞函數(shù)曲線(xiàn)如圖3 所示。根據(jù)DMD 像元尺寸p和放大倍數(shù)M，由奈奎斯特頻率計(jì)算公式：

圖3 調(diào)制函數(shù)曲線(xiàn)圖Fig.3 Modulation function graph diagram

得出調(diào)制傳遞函數(shù)的截止頻率為0.6lp／mm，截止頻率處各個(gè)視場(chǎng)MTF值均大于0.25，絕大多數(shù)均大于0.3；點(diǎn)列圖是通過(guò)計(jì)算，把物點(diǎn)在像面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)呈現(xiàn)出來(lái)。彌散斑越小、越集中則成像質(zhì)量越好。由DMD 像元尺寸與最大放大倍率得對(duì)到最大像斑尺寸為1.73 mm，彌散斑均較為理想，如圖4 所示。

圖4 點(diǎn)列圖Fig.4 Point diagram

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種離軸全反射式超短焦投影鏡頭，包含4 片自由曲面，突破傳統(tǒng)光學(xué)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理論和方法，將自由曲面的設(shè)計(jì)方法引入非對(duì)稱(chēng)成像系統(tǒng)中，利用MATLAB 和Code V 進(jìn)行了仿真設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了投射比僅為0.25 的超短焦投影鏡頭，結(jié)果從光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與成像像質(zhì)兩方面均呈現(xiàn)理想效果，無(wú)色差，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成像質(zhì)量理想。