基于DNA 編碼與交替量子隨機(jī)行走的彩色圖像加密算法*

王一諾 宋昭陽 馬玉林 華南 馬鴻洋

1) (青島理工大學(xué)理學(xué)院,青島 266520)

2) (青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,青島 266520)

近年來,圖像加密技術(shù)備受關(guān)注.隨著人們對通信隱私及網(wǎng)絡(luò)安全重視程度的提高,對信息加密技術(shù)的要求更加嚴(yán)格,圖像作為信息的載體之一,因攜帶信息的有效性和生動(dòng)性而受到重視.本文提出一種基于DNA 編碼與交替量子隨機(jī)行走的彩色圖像加密算法.量子隨機(jī)行走作為出色的密碼學(xué)工具參與算法流程中各個(gè)部分,DNA 編碼作為核心加密方式完成算法.本文詳細(xì)描述加密、解密流程,并對所提出算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析.仿真階段設(shè)計(jì)模擬密鑰參數(shù),編碼進(jìn)行彩色圖像加密、解密實(shí)驗(yàn),并進(jìn)行了相關(guān)分析.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的彩色圖像加密算法能夠進(jìn)行安全有效的彩色圖像加密,且相關(guān)分析表示其加密后圖像直方圖平穩(wěn)、像素相關(guān)性系數(shù)趨近于0、密鑰空間 2128,三通道信息熵達(dá)到7.997 以上,能夠抵御統(tǒng)計(jì)攻擊、窮舉攻擊等攻擊手段.此外,DNA 編碼除新穎的編碼及運(yùn)算方式之外還有其獨(dú)特的生物學(xué)特性,為密碼學(xué)的研究提供了新的思路與方向.

1 引言

通信領(lǐng)域與計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)飛速發(fā)展,人們生活、工作越來越依賴于此的當(dāng)下,信息傳遞的安全性問題成為了被社會(huì)各界廣泛關(guān)注的焦點(diǎn).由于互聯(lián)網(wǎng)是一個(gè)開放與共享的社區(qū),這在一定程度上方便了信息交互,同時(shí)使得信息安全性保障成為亟待解決的難題.信息又分多個(gè)種類,其中圖像信息因其生動(dòng)形象的特性被人們廣泛應(yīng)用.本文正式基于上述事實(shí)提出的基于量子隨機(jī)行走與DNA 編碼技術(shù)結(jié)合的彩色圖像加密算法,以期提高圖像信息傳遞安全性.

量子算法[1-5]及相關(guān)應(yīng)用在通信[6-11]等各領(lǐng)域[12-16]受到關(guān)注,在圖像處理中更是得到重視[17-20].其運(yùn)算速度[21,22]、安全性[23,24]等方面相較于經(jīng)典算法具有顯著優(yōu)勢.量子隨機(jī)行走作為量子算法的重要工具參與算法流程各個(gè)步驟.1993 年,以色列物理學(xué)家Aharonov 等[25]提出量子隨機(jī)行走為經(jīng)典隨機(jī)行走在量子力學(xué)中的對應(yīng)概念.隨著研究的推進(jìn),其概念被細(xì)分為連續(xù)時(shí)間量子隨機(jī)行走和離散時(shí)間量子隨機(jī)行走,二者分別為1998 年美國MIT 的Farhi和日本東北大學(xué)的Gutmann[26]提出,2001 年加拿大滑鐵盧大學(xué)的Watrous[27]由經(jīng)典隨機(jī)行走直接量子化得到的.其中,離散時(shí)間量子隨機(jī)行走因具有混沌動(dòng)力學(xué)行為而被應(yīng)用于量子及經(jīng)典密碼學(xué)系統(tǒng)中[28-32].滑鐵盧大學(xué)的Chris和Zhan[33]在2019 年以組合方法構(gòu)建的3 個(gè)離散時(shí)間量子行走模型為我們提供了研究思路;Abd-El-Atty 等[34]2021 年研究發(fā)表的基于量子隨機(jī)行走的光學(xué)圖像加密算法為本文提供了研究方向及重要參考.本文研究以離散時(shí)間交替量子隨機(jī)行走構(gòu)建的隨機(jī)概率分布矩陣作為加密工具,多次參與圖像加密過程的彩色圖像加密算法.

DNA 編碼因具有存儲量大、并行處理能力強(qiáng)等諸多良好特性而受到研究人員的關(guān)注.相比于基于數(shù)學(xué)問題的傳統(tǒng)密碼學(xué),DNA 密碼不僅立足于數(shù)學(xué)問題,同時(shí)也依賴于生物技術(shù),這使得DNA密碼更加難以破譯,具有更高的安全性.1994 年,Adleman[35]進(jìn)行了世界上第一個(gè)DNA 計(jì)算實(shí)驗(yàn)并在《科學(xué)》雜志上發(fā)表了相關(guān)成果,這一成果揭示了DNA 分子除其穩(wěn)定的遺傳特性外還具有計(jì)算能力,自此開辟了一個(gè)新的信息時(shí)代.隨著研究的深入,新的以DNA 為信息載體的密碼學(xué)領(lǐng)域應(yīng)運(yùn)而生.2000 年,Leier 等[36]基于DNA 雙鏈設(shè)計(jì)了兩種密碼學(xué)方法;2003 年,Chen[37]提出了基于碳納米管的消息轉(zhuǎn)換和DNA 的分子密碼學(xué)系統(tǒng);2005 年,Chang 等[38]提出了3 種基于DNA 的并行減法器,正式驗(yàn)證了兩個(gè)大質(zhì)數(shù)的乘積能夠被分解;2007 年,Lu 等[39]通過將現(xiàn)代DNA 生物技術(shù)微陣列應(yīng)用于密碼技術(shù),設(shè)計(jì)出對稱密鑰密碼系統(tǒng);在Lu 等研究成果的基礎(chǔ)上,2010 年,Lai 等[40]進(jìn)一步提出了一種非對稱加密和簽名密碼系統(tǒng)DNA-PKC;2012 年,Wei 等[41]提出基于DNA 序列操作和超混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密算法;2017 年,Niu 等[42]提出基于超混沌映射和核苷酸序列數(shù)據(jù)庫的圖像加密算法.通過前人對DNA 密碼學(xué)[43-45]的研究以及其在圖像加密方面[46-48]的應(yīng)用,已構(gòu)建了基本的DNA 密碼學(xué)邏輯結(jié)構(gòu),為本文的研究提供了基礎(chǔ).

本文第2節(jié)介紹背景知識以及描述為完成提出算法進(jìn)行的相關(guān)工作;算法的具體實(shí)現(xiàn)過程在第3節(jié)進(jìn)行詳細(xì)描述,包括了加密以及解密步驟;隨后在第4節(jié)中附上了仿真結(jié)果,對提出的算法進(jìn)行了性能分析.

2 相關(guān)工作

2.1 量子隨機(jī)行走

量子隨機(jī)行走包括連續(xù)時(shí)間量子隨機(jī)行走和離散時(shí)間量子隨機(jī)行走兩個(gè)部分,本文提出的工作以離散時(shí)間量子隨機(jī)行走為工具進(jìn)行開展.離散時(shí)間量子隨機(jī)行走主要包含4 個(gè)要素:行走者、行走者攜帶的硬幣、硬幣拋擲方式以及行走規(guī)則.本文應(yīng)用離散時(shí)間交替量子隨機(jī)行走(如圖1所示).

圖1 雙方向格點(diǎn)上交替量子隨機(jī)行走Fig.1.Alternating quantum random walking on the bidirectional grid.

量子隨機(jī)行走由兩部分構(gòu)成,即行走者位置空間Hw和硬幣空間Hc二者共同構(gòu)成量子隨機(jī)行走體系的希爾伯特空間H=Hw?Hc.在量子隨機(jī)行走過程中,每一步的行走選擇相同的硬幣拋擲算符

特別地,當(dāng)θ=π/4 時(shí),

硬幣的拋擲完成后,行走者的動(dòng)態(tài)由條件位移算符Si規(guī)定:

其中|x〉(x ∈Z) 為構(gòu)成行走者位置空間的基矢;兩個(gè)基矢|c〉(c=0,1) 線性組合構(gòu)成硬幣空間.(3)式可以描述為:當(dāng)硬幣態(tài)為|0〉時(shí),操控行走者右移一個(gè)單位;當(dāng)硬幣態(tài)為|1〉時(shí),操控行走者左移一個(gè)單位.

在本文用到的交替量子隨機(jī)行走中,行走者在x,y兩個(gè)方向上交替進(jìn)行行走,則整個(gè)量子隨機(jī)行走過程中的行走算符可描述為

假設(shè)初始時(shí)刻行走者所在位置為 (0x,0y),硬幣處于疊加態(tài)Hc=cosα|0〉+sinα|1〉,則初始時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)為

量子隨機(jī)行走進(jìn)行T步后系統(tǒng)狀態(tài)為

2.2 DNA 編碼

在過去的研究中,專家學(xué)者們已經(jīng)構(gòu)建了一套基本的DNA 編碼結(jié)構(gòu).從生物模型出發(fā),DNA 序列由以下4 個(gè)核酸堿基組成:A (腺嘌呤),G (鳥嘌呤),C (胞嘧啶),T (胸腺嘧啶).其中,A 與T 互補(bǔ),C 與G 互補(bǔ).將以上的限制寫入編碼規(guī)則,分別用2 位二進(jìn)制數(shù)對每個(gè)核酸堿基進(jìn)行編碼得到8 種符合生物模型規(guī)則的編碼方案,如表1所列.

表18 種DNA 編碼方案Table 1.Eight DNA coding schemes.

本文使用表1所述DNA 編碼規(guī)則對彩色圖像進(jìn)行編碼.首先將彩色圖像拆分為R,G,B 3 個(gè)色彩通道,隨即將每個(gè)通道編碼為一個(gè)二進(jìn)制矩陣,對于單個(gè)通道的8 位二進(jìn)制矩陣可用4 位DNA 序列對其矩陣各數(shù)據(jù)進(jìn)行編碼.例如:紅色通道第一位像素值為157,將其轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制序列得到10011101;對此二進(jìn)制序列使用表1中方案1 進(jìn)行編碼則可得到長度為4 的DNA 序列——CGTG.而對應(yīng)相同的二進(jìn)制序列可以選擇不同的方案進(jìn)行加密,如對應(yīng)上述二進(jìn)制序列,選擇方案5 對其進(jìn)行編碼則得到的DNA 序列為ATGT.而在解碼時(shí),若選擇加密方案對DNA 序列進(jìn)行解碼則會(huì)得到原二進(jìn)制數(shù)據(jù),例如對方案1 生成的DNA 序列CGTG 使用方案1 進(jìn)行解密則可得到10011101,為原始二進(jìn)制序列;而當(dāng)使用方案1 外的任意方案,例如使用方案4 對其解碼,此時(shí)對DNA 序列CGTG 進(jìn)行解碼得到的二進(jìn)制序列為00111011 與原二進(jìn)制不同.因此無法確定加密以及解密的DNA 編碼方案,就無法得知原始二進(jìn)制序列,這是使用DNA 編碼加密的手段之一.

基于以上8 種編碼方案,根據(jù)二進(jìn)制傳統(tǒng)加減法可以獲得對應(yīng)的8 種DNA 序列的加減法方案,在此使用編碼方案1 對應(yīng)的加、減法方案1 進(jìn)行舉例,具體如表2所列.

表2 DNA 編碼方案1 對應(yīng)的加法方案1Table 2.Addition plan 1 corresponding to DNA coding plan 1.

從表2和表3可以看出,相同DNA 編碼對應(yīng)的加、減法結(jié)果是唯一對應(yīng)的,因此可以利用其加減規(guī)則對圖像進(jìn)行加密.

表3 DNA 編碼方案1 對應(yīng)的減法方案1Table 3.DNA coding scheme 1 corresponding to subtraction scheme 1.

3 算法提出

本文提出的加密算法主要由以下幾部分組成:1)通過改變參數(shù)(N,T,α(硬幣算符初態(tài)參數(shù))、β(硬幣算符拋擲參數(shù)))的大小控制交替量子隨機(jī)行走產(chǎn)生與所需加密圖像對應(yīng)的隨機(jī)概率分布矩陣;2)通過將量子隨機(jī)行走與DNA 編碼以及DNA 運(yùn)算相結(jié)合的方式完成對原圖像的置亂加密;3)異或操作完成進(jìn)一步加密.下面展示具體算法.

3.1 加密過程

第一步:將彩色圖像(m,n,3)拆分為3 個(gè)彩色通道矩陣:R(m,n),G(m,n),B（m,n）,并將R,G,B 3 通道矩陣分別轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制矩陣R1,G1,B1,然后執(zhí)行DNA 編碼規(guī)則中的a方案(a ∈Z,(1,8))對3 個(gè)二進(jìn)制矩陣進(jìn)行編碼,得到3 個(gè)大小為（m,n× 4）的矩陣.

以下為加密步驟一對應(yīng)算法1 偽代碼.

算法1圖片三通道矩陣進(jìn)行DNA 編碼

輸入圖片DNA 編碼規(guī)則

輸出經(jīng)過DNA 編碼后的圖片三通道矩陣

第二步:利用交替量子隨機(jī)行走,通過設(shè)置其關(guān)鍵參數(shù):(N1,T1,α,β)生成隨機(jī)概率分布矩陣P（稱作密鑰矩陣）,并將其調(diào)整為加密圖像的大小得到P1:

將得到的隨機(jī)概率分布矩陣P1中各元素按照k=fix(ReP1×1012)mod256轉(zhuǎn)換為0—255之間的十進(jìn)制整數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)換為8 位二進(jìn)制矩陣P2.

以下為加密步驟二對應(yīng)算法2 偽代碼.

算法2生成量子隨機(jī)行走概率矩陣

輸入量子隨機(jī)行走概率矩陣的關(guān)鍵參數(shù)DNA 編碼規(guī)則

輸出經(jīng)過DNA 編碼后的量子隨機(jī)行走概率矩陣

第三步:將密鑰矩陣中元素按降序排列獲得向量V,利用向量W檢索向量V中P1元素形成索引;利用索引向量W完成對矩陣R1,G1,B1的置亂重排生成(m,n× 4)的矩陣R2,G2,B2.

以下為加密步驟三對應(yīng)算法3 偽代碼.

算法3圖像時(shí)域置亂

輸入量子隨機(jī)行走概率矩陣 newImage

輸出時(shí)域置亂后的圖像

第四步:將矩陣P2使用與矩陣R1,G1,B1相同的DNA 編碼方案a進(jìn)行編碼,得到矩陣P3,隨后使矩陣R2,G2,B2分別與矩陣P3進(jìn)行方案a的加法,得到矩陣R3,G3,B3,即:

接著,使用DNA 編碼規(guī)則中的方案b(b ∈Z,(1,8),b/a)對矩陣R3,G3,B3進(jìn)行解碼操作,得到3 個(gè)二進(jìn)制矩陣:R4,G4,B4.

以下為加密步驟四對應(yīng)算法4 偽代碼.

算法4QWPmatrix 與newImage 的DNA 加法

輸入QWPmatrix newImage

輸出經(jīng)過DNA 加法處理后的矩陣

第五步:將矩陣R4,G4,B4分別與P2中對應(yīng)元素進(jìn)行按位異或運(yùn)算得到矩陣R5,G5,B5,將三通道加密完成后的矩陣R5,G5,B5組合獲得加密后的彩色圖像E.

以上算法流程圖見圖2.

圖2 算法流程圖Fig.2.Algorithm flowchart.

3.2 解密過程

解密過程可視作加密過程的逆過程,其步驟可簡述為以下4 步.

第一步:使用與加密過程相同的參數(shù)進(jìn)行離散時(shí)間交替量子隨機(jī)行走,生成隨機(jī)概率矩陣P′,隨后對P′元素進(jìn)行降序排列生成向量V′,因參數(shù)相同,所以有V′=V,P′=P;使用向量W′對向量V′中的元素進(jìn)行檢索索引;

第二步:將加密后的彩色圖像E拆分為3 個(gè)色彩通道矩陣:R′,G′,B′,并進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為8 位二進(jìn)制矩陣同時(shí)將P′中各元素轉(zhuǎn)換為0—255 之間的十進(jìn)制整數(shù),隨后轉(zhuǎn)換為8 位二進(jìn)制數(shù),獲得的矩陣K′進(jìn)行按位異或運(yùn)算得到矩陣

4 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證所提算法的有效性與安全性,本文進(jìn)行算法實(shí)驗(yàn)仿真,對像素大小290× 290 的3 張彩色圖片進(jìn)行算法所述的加密以及解密操作,效果見圖3,并對加密前后圖像進(jìn)行像素相關(guān)性分析、直方圖分析、密鑰空間等安全性分析.

圖3 加密算法仿真效果圖Fig.3.Encryption algorithm simulation renderings.

4.1 實(shí)驗(yàn)仿真

為驗(yàn)證本文所提方法的有效性,進(jìn)行了相關(guān)仿真實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)應(yīng)用了如下3 個(gè)290× 290 像素的彩色圖像,在量子漫步部分選取N=500 ,在DNA 加密與加法計(jì)算部分選用了表1中編號1 的編碼方式與編號3 的解碼方式,進(jìn)行表2和表3所示的運(yùn)算.仿真結(jié)果與具體分析如下.

4.2 相關(guān)分析

相關(guān)分析首先采用相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)CAB來分析原始圖像與加密圖像間的差異.原始圖像中相鄰位置的像素具有很強(qiáng)的相關(guān)性,而加密后圖像相鄰像素間應(yīng)接近于零.

其中,A和B分別表示相鄰像素的值,cov(A,B) 為A和B的協(xié)方差,為A和B的方差.這里對實(shí)驗(yàn)仿真中3 組原始圖像與解密圖像分別進(jìn)行水平、垂直、對角方向上的像素相關(guān)性分析,結(jié)果如圖4—圖6所示,具體數(shù)據(jù)結(jié)果見表4.

表4 像素相關(guān)性分析數(shù)據(jù)Table 4.Pixel correlation analysis data.

圖4 Lena 圖像加密前后相關(guān)性分析Fig.4.Correlation analysis of images before and after Lena encryption.

圖5 蛋糕圖像加密前后相關(guān)性分析Fig.5.Correlation analysis of images before and after cake encryption.

圖6 小貓圖像加密前后相關(guān)性分析Fig.6.Correlation analysis of images before and after cat encryption.

圖4(a)—圖4(c)分別為Lena 原始圖像在水平、垂直、對角方向上的相關(guān)性分析,圖4(d)—圖4(f)為Lena 加密后圖像對應(yīng)的水平、垂直、對角方向上相關(guān)性分析得到的圖像.可以清晰地看出原始圖像與加密后圖像在像素相關(guān)性上的差別,證明了所提算法的有效性.

從以上圖表分析可以看出,全部加密后圖像的像素相關(guān)性分析的數(shù)值都接近于零,因此本文所提算法有出色的抵御相關(guān)性分析的能力.表5給出本文提出的算法與文獻(xiàn)[42,49,50]提出算法的三方向相關(guān)性數(shù)據(jù)對比

表5 相關(guān)性分析數(shù)據(jù)對比Table 5.Correlation analysis data comparison.

密鑰敏感性分析是指,在圖像加密過程中,當(dāng)密鑰參數(shù)發(fā)生少量變化,加密后的圖像將會(huì)發(fā)生相應(yīng)改變.在這里用NPCR (像素?cái)?shù)改變率)與UACI(統(tǒng)一平均變化強(qiáng)度)來表示對原始圖像圖像采用有微小區(qū)別的不同密鑰加密后生成的加密圖像之間的變化像素?cái)?shù)量及其平均變化強(qiáng)度,參考值分別為NPCR=99.6094%,UACI=33.4635%,其數(shù)值越接近該參考值說明算法密鑰敏感性越強(qiáng),則該算法安全性更強(qiáng).相關(guān)數(shù)據(jù)見表6.

表6 密鑰敏感性分析數(shù)據(jù)Table 6.Key sensitivity analysis data.

表7給出本文與文獻(xiàn)[42,49,50]的NPCR,UACI數(shù)據(jù)對比.

表7 NPCR,UACI 數(shù)據(jù)對比Table 7.Comparison of NPCR and UACI data.

除此之外,本文對原始圖像和加密圖像進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,圖7(a)—圖7(c)為原始圖像的R,G,B 3 個(gè)通道的直方圖,圖7(d)—圖7(f)對應(yīng)的為加密圖像的直方圖.可以看出左側(cè)原始圖像統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中3 個(gè)通道各有一些值較為集中,而右側(cè)加密圖像部分直方圖數(shù)據(jù)較為均勻,這表明想要對加密后圖像進(jìn)行統(tǒng)計(jì)攻擊將會(huì)十分艱難.

圖7 Lena 圖像加密前后三通道直方圖分析Fig.7.Analysis of R,G,B three-channel histogram before and after Lena image encryption.

Lena 圖像加密后圖像三通道信息熵分別達(dá)到:R 通道7.9977,G 通道7.9978,B 通道7.9976;三通道密鑰隨機(jī)性灰度差異（GVD）達(dá)到:R 通道0.9667,G 通道0.9551,B 通道0.9651.在密鑰空間方面,由于量子隨機(jī)行走在理論上可以提供無窮大的密鑰空間,在實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)計(jì)算精度為 10-16時(shí),密鑰空間可以達(dá)到 2128.目前計(jì)算機(jī)計(jì)算能力決定,當(dāng)密鑰空間達(dá)到 2128時(shí)算法可以抵御任何形式的暴力攻擊,因此算法具有較好的抵御窮舉攻擊等攻擊手段的能力.

5 結(jié)論

本文進(jìn)行了量子漫步與圖像加密結(jié)合的相關(guān)研究并進(jìn)行了有效實(shí)驗(yàn),證實(shí)所提出的基于量子隨機(jī)行走的彩色圖像加密方案有效且切實(shí)可行,表明將量子相關(guān)理論技術(shù)引入經(jīng)典圖像處理中具有廣闊的應(yīng)用前景;此外將DNA 編碼應(yīng)用于加密方案中更是為圖像加密技術(shù)前景提供了一種可能.在此次加密方案中,量子隨機(jī)行走生成的隨機(jī)概率分布矩陣作為重要工具參與加密過程,在之后的研究中希望能夠更大程度地應(yīng)用,發(fā)揮其優(yōu)勢作用.此外DNA 編碼所具備的重要生物特性也具有更加深度的應(yīng)用意義.