非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的動力學(xué)特性*

孫孔浩 易為

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),中國科學(xué)院量子信息重點實驗室,合肥 230026)

非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞靠梢杂啥x在雙正交基下的局域拓?fù)渲笜?biāo)刻畫.不同于厄米體系,非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)在動力學(xué)過程中的傳播和演化目前還未見文獻討論.本文研究非厄米拓?fù)潴w系局域拓?fù)渲笜?biāo)的動力學(xué)特性,重點關(guān)注淬火過程中,局域拓?fù)渲笜?biāo)由邊界向體內(nèi)的傳播.結(jié)果表明,當(dāng)淬火前后的體系拓?fù)湫再|(zhì)不同時,系統(tǒng)中存在局域拓?fù)渲笜?biāo)的流動,其流速與體系群速度相關(guān),但具體形式與相應(yīng)厄米體系不同.以3 個具體模型為例,通過數(shù)值計算說明了這一結(jié)論.其中,對于特定具有非厄米趨膚效應(yīng)的模型,可以發(fā)現(xiàn)局域拓?fù)渲笜?biāo)的流速上限與廣義布里淵區(qū)中的群速度直接相關(guān).但這一關(guān)系在其他非厄米模型中則需要修正,其更普適的形式有待進一步研究.本文的結(jié)果揭示了非厄米體系中局域拓?fù)渲笜?biāo)傳播的復(fù)雜性,是進一步理解非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)動力學(xué)行為的基礎(chǔ).

1 引言

非厄米拓?fù)潴w系是近年來凝聚態(tài)及量子模擬領(lǐng)域的研究熱點之一[1-6].非厄米拓?fù)淠Ｐ兔撎ビ陂_放系統(tǒng)[7,8],其性質(zhì)與封閉系統(tǒng)厄米模型多有不同.其中尤為典型的例子是具有非厄米趨膚效應(yīng)的拓?fù)淠Ｐ蚚9-21].在開邊界條件下,該類體系的本征態(tài)波函數(shù)局域在邊界上,并在實空間呈能態(tài)依賴的指數(shù)分布;同時體系本征能譜在復(fù)平面上的分布受邊界條件影響.與此對應(yīng),在具有非厄米趨膚效應(yīng)的拓?fù)潴w系中,傳統(tǒng)的體邊對應(yīng)關(guān)系失效—定義于周期邊界布里淵區(qū)上的拓?fù)洳蛔兞坎辉倌軠?zhǔn)確預(yù)測開邊界下的拓?fù)溥吘墤B(tài).為解釋這一現(xiàn)象,非布洛赫能帶論應(yīng)運而生[9,10,14].根據(jù)該理論,非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)在開邊界條件下的性質(zhì)應(yīng)由計入了非厄米趨膚效應(yīng)的廣義布里淵區(qū)決定,而在廣義布里淵區(qū)上定義的非布洛赫拓?fù)洳蛔兞縿t保證了體邊對應(yīng)關(guān)系在非厄米系統(tǒng)中仍然成立.目前,非厄米趨膚效應(yīng)及非厄米能帶論在一系列經(jīng)典或量子的人工拓?fù)潴w系中被相繼觀測證實[22-25].同時,研究者發(fā)現(xiàn),非布洛赫能帶論及廣義布里淵區(qū)也在非布洛赫宇稱-時間對稱性及非布洛赫淬火動力學(xué)等方面有重要應(yīng)用[26-30].

另一方面,人們發(fā)現(xiàn)不論非厄米體系是否具有趨膚效應(yīng),其拓?fù)洳蛔兞烤赏ㄟ^定義在雙正交基下的局域拓?fù)渲笜?biāo)刻畫[31,32],而后者可以通過動力學(xué)過程中的可觀測量在實驗上進行觀測[30].對局域拓?fù)渲笜?biāo)的研究起源于厄米拓?fù)潴w系[33-36].在這些模型中,雖然體系具有能帶拓?fù)浼巴負(fù)浔Ｗo的邊緣態(tài)等全局特性,定義在體態(tài)上的局域拓?fù)渲笜?biāo)卻是量子化的,能反映體系的全局拓?fù)涮匦?并在拓?fù)湎嘧兏浇尸F(xiàn)特定的標(biāo)度行為.更進一步,文獻[34]通過對厄米體系淬火動力學(xué)的研究,發(fā)現(xiàn)了動力學(xué)過程中局域拓?fù)渲笜?biāo)在體系內(nèi)部的傳播規(guī)律.例如,當(dāng)體系從拓?fù)浞瞧接沟某鯌B(tài)出發(fā),由拓?fù)淦接沟墓茴D量驅(qū)動進行時間演化時,初始體系內(nèi)部量子化的局域拓?fù)渲笜?biāo)在一定時間后會受到始于邊界的局域拓?fù)渲笜?biāo)流影響,在某弛豫時間t*后明顯偏離量子化取值.通過對該弛豫時間t*進行分析,研究者發(fā)現(xiàn)局域拓?fù)渲笜?biāo)在淬火過程中的傳播速度與體系群速度相關(guān).這揭示了局域拓?fù)渲笜?biāo)在厄米拓?fù)潴w系非平衡動力學(xué)過程中的普適行為,具有重要意義.與此對應(yīng),非厄密拓?fù)潴w系的局域拓?fù)渲笜?biāo)是否具有類似的行為,還未見研究報道.

在這一背景下,本文研究非厄米拓?fù)淠Ｐ偷木钟蛲負(fù)渲笜?biāo)在淬火過程中的動力學(xué)行為.首先驗證說明了定義在雙正交基下的局域拓?fù)渲笜?biāo)可以有效刻畫對應(yīng)非厄米體系的全局拓?fù)湫再|(zhì),并在拓?fù)湎噙吔绺浇尸F(xiàn)普適的臨界行為.對于淬火動力學(xué),考慮初態(tài)為某初始哈密頓量Hi的本征態(tài),在末態(tài)哈密頓量Hf的驅(qū)動下做時間演化.一般而言,Hi和Hf參數(shù)不同,且處于不同拓?fù)湎鄥^(qū).以幾個具體的非厄米拓?fù)淠Ｐ蜑槔?計算了淬火動力學(xué)演化過程中,非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的演化,并通過擬合確定了局域拓?fù)渲笜?biāo)從邊界向體系內(nèi)部傳播的速度.對于本文考察的具有非厄米趨膚效應(yīng)的模型,可以發(fā)現(xiàn)該傳播速度與定義在廣義布里淵區(qū)中的群速度相關(guān),而與定義于一般布里淵區(qū)的群速度無關(guān).然而,對于一般性的非厄米模型,該結(jié)論并不普遍成立.一般說來,在非厄米體系中局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度與群速度相關(guān),但二者之間的關(guān)系是否普適則需要進一步研究.

下面首先以一解析可解的非厄米拓?fù)淠Ｐ蜑槔?說明非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)對非厄米拓?fù)淠Ｐ偷倪m用性及其臨界行為.然后討論該模型的淬火動力學(xué)過程中,局域拓?fù)渲笜?biāo)的演化及傳播速度.最后,通過對其他具體非厄米拓?fù)淠Ｐ痛慊饎恿W(xué)的計算,對局域拓?fù)渲笜?biāo)傳播速度的一般性規(guī)律進行討論.

2 非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)

為說明非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的特性,考慮二維正方晶格上的非厄米哈密頓量

圖1 非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的標(biāo)度行為.系統(tǒng)中心的非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)隨著 m 的變化遵循的標(biāo)度行 為.在 L 分別取 15,17,19,21,23,25,27等值時(對 應(yīng)于圖中不同顏色的曲線),所有曲線經(jīng)變換后遵循同一函數(shù)形式,經(jīng)擬合得到 ν≈1.1259.在本文的數(shù)值計算中,取t1=1,γx=γy=0.3Fig.1.Scaling behavior of the non-Hermitian local topological marker near the topological phase transition.The numerically calculated local topological markers for different system sizes (L=15,17,19,21,23,25,27) collapse to the same curve,with the functional formand ν≈1.12(6).For all calculations,we take t1=1 ,γx=γy=0.3.

3 非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的動力學(xué)行為

考慮(1)式哈密頓量的淬火過程中,非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的動力學(xué)行為.設(shè)初始時刻體系由哈密頓量Hi(t1,m) 描述,且其下能帶被完全占據(jù).在此后的時間演化中,哈密頓量變?yōu)?則相應(yīng)投影算符均隨時演化,從而導(dǎo)致非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的演化.對于厄米拓?fù)潴w系,研究者發(fā)現(xiàn),當(dāng)初末哈密頓量拓?fù)湫再|(zhì)不同時,具有開放邊界的體系在淬火過程中會出現(xiàn)局域拓?fù)渲笜?biāo)的流動,其流速與群速度相關(guān)[34].這里我們關(guān)心的第一個問題是,在具有非厄米趨膚效應(yīng)的非厄米拓?fù)潴w系中,是否有類似的結(jié)論.

如圖2所示,數(shù)值計算了L=23 的開邊界二維晶格體系中,各格點的非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)在不同時刻的行為.選擇的初始哈密頓量處于拓?fù)浞瞧接箙^(qū)間(C=-1),末態(tài)哈密頓量處于拓?fù)淦接箙^(qū)間(C=0).在t=0時刻,局域拓?fù)渲笜?biāo)C在體系中心取-1,而在邊界上取正值,這是因為局域拓?fù)渲笜?biāo)對格點求和應(yīng)該始終得 0.而在t ＞0 時刻,局域拓?fù)渲笜?biāo)開始從邊界向體內(nèi)流動(見圖2(a)),系統(tǒng)中心處的局域拓?fù)渲笜?biāo)會在某個特征時間t*后明顯偏離其量子化取值.由t*與系統(tǒng)尺寸的線性關(guān)系,可以定義并計算局域拓?fù)渲笜?biāo)的的傳播速度.在具體數(shù)值計算中,取時間演化的步長為0.02(這里時間單位為 1/t1),定義t*為體系中心處局域拓?fù)渲笜?biāo)對時間的差分首次超過閾值的時間.數(shù)值上,取閾值為 10-3.在得到不同系統(tǒng)尺寸下的t*后,通過線性擬合,得到局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度vlcm.由圖2(b)可以看出,在該模型下,非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度與廣義布里淵區(qū)下得到的最大值相符(黃線),而與周期邊界下布里淵區(qū)里計算的群速度(紅星)不同.這里廣義布里淵區(qū)上的群速度定義為相應(yīng)地,一般布里淵區(qū)上的群速度定義為vix=Re(?Ei(k)/?kx).這似乎意味著只需要利用非布洛赫能帶論便可解釋及預(yù)言非厄米拓?fù)潴w系淬火過程中局域拓?fù)渲笜?biāo)流的動力學(xué)演化.

圖2 非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度 (a) 淬火過程中系統(tǒng)中心格點處的非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的時間演化.系統(tǒng)尺寸為L=23,取開邊界.初始時H(t1=1,m=1)處于拓?fù)浞瞧接瓜?淬火后H(1,m′=6)處于拓?fù)淦接瓜?淬火前后 γx=γy=0.3.這里只考慮 x 方向的動力學(xué)演化,y 方向的演化有類似性質(zhì).(b) 非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度隨末態(tài)哈密頓量參數(shù)的變化.淬火參數(shù)與圖(a)相同.分別數(shù)值模擬了體系大小為L=11,15,19,23,27時的淬火過程,并通過線性擬合 t* 與 L 的關(guān)系,數(shù)值得到了局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度Fig.2.Dynamics of the non-Hermitian local topological marker.(a) Spatial distribution (along the x -direction) of the non-Hermitian local topological marker at different times of the quench dynamics.The parameters are: L=23,Hi(t1=1,m=1),Hf(=1,m′=6),γx=γy=0.3.(b) Propagation speed of the local topological marker as a function of .Other parameters are the same as those in panel (a).

4 其他非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)的局域拓?fù)渲笜?biāo)流

為驗證上述結(jié)論的普適性,本節(jié)考察其他非厄米拓?fù)淠Ｐ偷拇慊疬^程.首先考慮如下具有非厄米趨膚效應(yīng)的非厄米Qi-Wu-Zhang 模型:

圖3 模型(5)的非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度隨的變化.初始時,tx=ty=1,m=1;淬火后,==,m′=6.淬火前后γx=γy=γ=0.35Fig.3.Propagation speed of the non-Hermitian local topological marker for Hamiltonian (5).We fix γx=γy=γ=0.35,and the pre-and post-quench parameters aretx=ty=1,m=1and ==,m′=6,respectively.

最后考慮如下非厄米模型:

與前面討論的兩個模型不同,哈密頓量(8)不具有非厄米趨膚效應(yīng).如圖4所示,在該模型淬火過程中,局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度要大于定義在一般布里淵區(qū)的群速度.但不同于模型(5)的指數(shù)加速,數(shù)值上看,局域拓?fù)渲笜?biāo)傳播速度與max|v1x(k)-v2x(k)|相比,相差一個常數(shù).

圖4 模型(8)的非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度隨的變化.初始時,tx=ty=1,m=1;淬火后,==,m′=6.淬火前后γ=0.3Fig.4.Propagation speed of the non-Hermitian local topological marker for Hamiltonian (8).We fix γ=0.3,and the pre-and post-quench parameters aretx=ty=1,m=1 and ==m′=6,respectively.

5 總結(jié)與展望

本文研究了非厄米拓?fù)淠Ｐ椭蟹嵌蛎拙钟蛲負(fù)渲笜?biāo)的性質(zhì).首先刻畫了非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)在非厄米拓?fù)湎嘧兏浇呐R界行為,數(shù)值確定了其臨界系數(shù).然后考察了3 個不同非厄米拓?fù)淠Ｐ偷膭恿W(xué)淬火過程,計算了非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度.與厄米拓?fù)潴w系類似,當(dāng)淬火前后的體系拓?fù)湫再|(zhì)不同時,系統(tǒng)的淬火過程中存在局域拓?fù)渲笜?biāo)的流動.發(fā)現(xiàn)局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度與體系群速度相關(guān),但其關(guān)系并不普適.具體而言,對于本文考察的3 個模型,局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度或與定義于廣義布里淵區(qū)上的群速度直接相關(guān),或與群速度差一個指數(shù)因子,或差一常數(shù).本文的結(jié)果揭示了非厄米體系中局域拓?fù)渲笜?biāo)傳播的復(fù)雜性,為進一步理解非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的動力學(xué)行為打下了基礎(chǔ).

局域拓?fù)渲笜?biāo)傳播速度的非普適行為或與不同模型中非厄米性出現(xiàn)的不同形式有關(guān).具體而言,在本文的3 個非厄米模型中,唯有第一個模型在開邊界時具有純實數(shù)本征能譜.因此,一個合理的猜想是,局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播速度能否由廣義布里淵區(qū)上的群速度刻畫,與體系在開邊界下本征能譜的虛實有關(guān).在今后的研究中,我們將進一步考察這一猜想的正確性.同時,為進一步理解非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的傳播,可以研究由主方程描述的開放體系動力學(xué)過程中局域拓?fù)渲笜?biāo)的演化.基于非厄米模型與開放體系的密切關(guān)系,期望通過這一角度,更徹底地理解非厄米局域拓?fù)渲笜?biāo)的非普適傳播行為.