非平衡量子物態(tài)中的對(duì)稱性與時(shí)間維度效應(yīng)*

蔡子

(上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)學(xué)院,上海 200240)

非平衡量子關(guān)聯(lián)體系是近年來(lái)受到廣泛關(guān)注的一類新型量子系統(tǒng),其研究對(duì)象不局限于某一特定的物理分支,而是涉及凝聚態(tài)物理、原子分子物理和量子光學(xué)、量子調(diào)控與量子計(jì)算、非平衡統(tǒng)計(jì)物理等諸多現(xiàn)代物理學(xué)的前沿領(lǐng)域.這些不同體系中涌現(xiàn)出來(lái)的非平衡量子關(guān)聯(lián)現(xiàn)象,既融合了各自體系的不同特征,又展現(xiàn)出普適的一般規(guī)律.由于其新穎性和復(fù)雜性,這類系統(tǒng)中存在大量未知的基本物理問(wèn)題和新奇的物理現(xiàn)象,是當(dāng)前量子科學(xué)理論研究的難點(diǎn)和重點(diǎn).同時(shí),由于量子技術(shù)的飛速發(fā)展,理解這類復(fù)雜系統(tǒng)對(duì)于以量子計(jì)算和量子調(diào)控為代表的新一代量子科學(xué)技術(shù)的發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.本文簡(jiǎn)要總結(jié)了近年來(lái)本課題組在非平衡量子多體物理方面的幾個(gè)代表性工作,著重討論了與時(shí)間相關(guān)的對(duì)稱性(破缺)導(dǎo)致的新的非平衡量子物態(tài),準(zhǔn)粒子及其中的動(dòng)力學(xué)普適行為.

1 引言

物理世界是由相互作用的多粒子系統(tǒng)組成的.根據(jù)構(gòu)成其基本粒子的特征尺度(如特征長(zhǎng)度、能量等)不同,物理世界可以劃分為一系列不同層級(jí),每一層級(jí)都會(huì)涌現(xiàn)出自己特有的物理規(guī)律和新的物理概念.對(duì)相互作用的多粒子體系,其復(fù)雜的集體行為往往是由簡(jiǎn)單的物理規(guī)律通過(guò)相互作用產(chǎn)生的結(jié)果,因此很難根據(jù)更“基本”層級(jí)的物理規(guī)律做簡(jiǎn)單外推得以理解.這類現(xiàn)象稱為“演生現(xiàn)象”.在凝聚態(tài)和統(tǒng)計(jì)物理中,常見的演生現(xiàn)象包括自發(fā)對(duì)稱破缺、準(zhǔn)粒子與元激發(fā)、普適類等[1].

量子多體物理研究關(guān)聯(lián)量子體系中涌現(xiàn)出的大量粒子的集體行為,在量子材料、量子計(jì)算和精密測(cè)量等前沿領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用.在傳統(tǒng)的固體電子材料中,量子多體物理的研究對(duì)象多為處于熱力學(xué)平衡態(tài)(熱力學(xué)性質(zhì))或近平衡態(tài)(輸運(yùn)性質(zhì))的系統(tǒng),而對(duì)遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)的性質(zhì)較少涉及.近十年來(lái),由于量子調(diào)控技術(shù)和測(cè)量手段的飛速發(fā)展,在凝聚態(tài)物理、超冷原子、固態(tài)量子信息等領(lǐng)域中涌現(xiàn)出大量新型的人造量子多體系統(tǒng),例如非平衡超導(dǎo)[2]和磁性系統(tǒng)[3]、周期驅(qū)動(dòng)的拓?fù)湮镔|(zhì)[4,5]、時(shí)間晶體[6]等.在這些系統(tǒng)中,人們不僅可以通過(guò)量子調(diào)控手段(如激光泵浦[7]、超快電磁激勵(lì)等)將量子多體系統(tǒng)激發(fā)到遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)的高激發(fā)態(tài)上,同時(shí)還可以利用最新發(fā)展的實(shí)驗(yàn)手段(如時(shí)間分辨光電子譜[8],超快激光光譜學(xué)[9])來(lái)實(shí)時(shí)觀測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程.在光晶格中的超冷原子實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中,人們可以通過(guò)含時(shí)地改變光晶格的相關(guān)參數(shù),例如隨時(shí)間突然地[10-13]或線性地[14],或周期地[15-19]改變光勢(shì)阱的深度,將這類量子多體系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)到遠(yuǎn)離平衡態(tài)的狀態(tài).由于其獨(dú)特的性質(zhì),這類新型量子關(guān)聯(lián)體系會(huì)演生出一些與傳統(tǒng)平衡態(tài)多體系統(tǒng)完全不同的新現(xiàn)象與新物理,產(chǎn)生許多亟待解決的物理問(wèn)題,急需發(fā)展新的有效理論與研究方法.同時(shí),這類問(wèn)題的研究對(duì)關(guān)聯(lián)電子輸運(yùn)、量子計(jì)算和量子調(diào)控等領(lǐng)域的發(fā)展有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.

時(shí)間是物理學(xué)中的基本維度,在相對(duì)論框架下,時(shí)間維度與空間維度在數(shù)學(xué)上具有等價(jià)性.然而在傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理的研究中,時(shí)間維度所扮演的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及空間維度,在多數(shù)情況下,其僅出現(xiàn)在對(duì)處于熱力學(xué)平衡態(tài)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的測(cè)量中.例如,在輸運(yùn)實(shí)驗(yàn)中,通過(guò)對(duì)系統(tǒng)外加小的擾動(dòng)(例如電場(chǎng)),通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)對(duì)于微擾的響應(yīng),利用平衡態(tài)系統(tǒng)的漲落耗散定理(線性響應(yīng)理論),得到系統(tǒng)在近平衡態(tài)下的輸運(yùn)性質(zhì)(電導(dǎo)率).在這一過(guò)程中,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為(在微擾下的弛豫動(dòng)力學(xué)),盡管在實(shí)驗(yàn)上具有及其重要的意義,僅僅是作為一種平衡態(tài)/近平衡態(tài)物理框架下的探測(cè)手段,其本質(zhì)還是反映系統(tǒng)平衡態(tài)的物理性質(zhì).但是,當(dāng)外界的擾動(dòng)足夠強(qiáng)以至讓系統(tǒng)遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)/近平衡態(tài)時(shí),線性響應(yīng)理論中響應(yīng)函數(shù)和關(guān)聯(lián)函數(shù)之間的線性關(guān)系往往不再適用,同時(shí)這類遠(yuǎn)離平衡態(tài)的系統(tǒng)也會(huì)演生出豐富的新現(xiàn)象與新的物理規(guī)律.作為與平衡態(tài)物理的核心區(qū)別之一,時(shí)間維度作為刻畫非平衡物態(tài)及其動(dòng)力學(xué)相變的一個(gè)基本維度,在非平衡物理中扮演著至關(guān)重要的角色.

對(duì)稱性自發(fā)破缺和普適類是現(xiàn)代物理學(xué)中的核心概念.在凝聚態(tài)物理中,人們通過(guò)空間對(duì)稱群的自發(fā)破缺來(lái)刻畫不同的物相,并運(yùn)用普適類來(lái)對(duì)不同相之間的轉(zhuǎn)變進(jìn)行分類.在遠(yuǎn)離平衡的系統(tǒng)中,時(shí)間維度的加入為這兩個(gè)基本概念賦予了新的內(nèi)涵:與時(shí)間相關(guān)的對(duì)稱性及其自發(fā)破缺為尋找新的(非平衡)物態(tài)提供了新的機(jī)遇與挑戰(zhàn).同時(shí),將普適類的概念推廣到動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),即研究系統(tǒng)在演化的過(guò)程中展現(xiàn)的時(shí)間上的普適行為,不僅拓展了相變理論的研究范疇,更為非平衡物態(tài)的刻畫和普適性質(zhì)的研究奠定了基礎(chǔ).最后,由于其內(nèi)稟的量子關(guān)聯(lián)性,非平衡量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)經(jīng)典非平衡系統(tǒng),其中量子漲落與非平衡條件的交互作用可能產(chǎn)生出非平衡經(jīng)典系統(tǒng)和平衡態(tài)量子系統(tǒng)中都不存在的新奇宏觀量子現(xiàn)象,極大地拓展了非平衡物理與量子多體物理的研究范疇.

本綜述簡(jiǎn)要總結(jié)了近年來(lái)本課題組在非平衡量子多體物理方面的幾個(gè)代表性工作,著重討論與時(shí)間相關(guān)的對(duì)稱性(破缺)導(dǎo)致的新的非平衡量子物態(tài)、準(zhǔn)粒子及其中的動(dòng)力學(xué)普適行為.第2節(jié)討論由于時(shí)間平移不變性自發(fā)破缺導(dǎo)致的一類典型的非平衡物態(tài):時(shí)間晶體中的瞬子激發(fā)行為[20].另外,討論了將這一概念推廣到虛數(shù)時(shí)間,導(dǎo)致的一類新的物態(tài):溫度晶體[21].第3節(jié)著重介紹時(shí)間反演不變性在宏觀層面的自發(fā)破缺所導(dǎo)致的一個(gè)重要結(jié)果:對(duì)于一個(gè)對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)潴w系,其在微觀層面上由時(shí)間反演不變性保護(hù)的拓?fù)溥吘墤B(tài)耦合上環(huán)境之后,變得不再穩(wěn)定[22].第4節(jié)討論開放量子系統(tǒng)中弛豫動(dòng)力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)普適類,重點(diǎn)討論了對(duì)稱性、相互作用、無(wú)序與噪聲共同作用下產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)普適行為[23].第5節(jié)討論非平衡量子多體系統(tǒng)中的自發(fā)對(duì)稱破缺的動(dòng)力學(xué)演化框架下的新機(jī)制以及由此產(chǎn)生的新奇量子多體態(tài)[24].

2 時(shí)間平移對(duì)稱性的自發(fā)破缺:時(shí)間晶體態(tài)

時(shí)間晶體這一概念于2012 年由諾貝爾獎(jiǎng)得主Wilczek 教授[6]提出.在特定條件下,某些系統(tǒng)可能在時(shí)間上形成結(jié)構(gòu)進(jìn)而自發(fā)破壞時(shí)間平移不變性.類比空間上連續(xù)的平移對(duì)稱性自發(fā)破缺形成晶體,這類特殊的物態(tài)被稱為“時(shí)間晶體”.盡管這一新奇的物態(tài)隨后被證明不可能出現(xiàn)在熱力學(xué)平衡態(tài)的系統(tǒng)中[25],人們隨即將這一概念推廣到非平衡態(tài):對(duì)一個(gè)周期驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng),如果其物理量的周期是驅(qū)動(dòng)周期T的整數(shù)倍,則這類非平衡物態(tài)自發(fā)破壞了系統(tǒng)哈密頓量在時(shí)間軸上的分立平移對(duì)稱性(在時(shí)間平移t→t+T變換下哈密頓量不變,而系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化),故而被稱為分立時(shí)間晶體(或Floquet 時(shí)間晶體[26,27]).這一概念被提出后,很快為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)[28,29].時(shí)間晶體作為一類典型非平衡量子物質(zhì),受到廣泛的關(guān)注.但是作為一種新的物態(tài),其很多基本的物理性質(zhì),尤其是其針對(duì)外界擾動(dòng)的響應(yīng)與穩(wěn)定性問(wèn)題,目前并不清楚.針對(duì)這些問(wèn)題,我們進(jìn)行了系統(tǒng)的研究,取得了一系列結(jié)果,為研究這類新型非平衡量子物態(tài)的分類、穩(wěn)定性及其臨界行為奠定了基礎(chǔ).

2.1 分立時(shí)間晶體中的瞬子激發(fā)

自發(fā)對(duì)稱破缺與元激發(fā)是凝聚態(tài)物理學(xué)的兩個(gè)核心概念:根據(jù)各種不同的對(duì)稱性及其自發(fā)破缺,人們可以對(duì)物質(zhì)的宏觀物相進(jìn)行分類;通過(guò)對(duì)系統(tǒng)元激發(fā)的測(cè)量,人們可以從實(shí)驗(yàn)中得到物相的各種性質(zhì).在平衡態(tài)物理中,這兩個(gè)基本概念之間具有深刻的聯(lián)系:系統(tǒng)基態(tài)的自發(fā)對(duì)稱破缺不僅可以決定低能激發(fā)態(tài)中元激發(fā)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),也可以決定其能譜及動(dòng)力學(xué)性質(zhì).例如,在一維聚乙炔電荷密度波態(tài)中,系統(tǒng)的晶格分立平移不變性自發(fā)被破缺.這種基態(tài)的Z2平移不變性的自發(fā)破缺決定了其元激發(fā)態(tài)為位于能隙中心的局域的孤子態(tài),這種孤子態(tài)在空間上分隔了兩個(gè)簡(jiǎn)并的電荷密度波態(tài),并攜帶分?jǐn)?shù)電荷[30].

另一方面,在非平衡物理的框架下,自發(fā)對(duì)稱破缺這一基本概念被賦予了新的內(nèi)涵:其背后的物理機(jī)制不再是能量(自由能)最小化,而是不同動(dòng)力學(xué)模式失穩(wěn)-競(jìng)爭(zhēng)-再平衡的結(jié)果.與平衡態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)顯著不同是,對(duì)非平衡系統(tǒng),自發(fā)對(duì)稱破缺不僅可以發(fā)生在空間維度,也可以發(fā)生在時(shí)間維度.具有時(shí)間平移不變性的自發(fā)對(duì)稱破缺的物態(tài)被稱為時(shí)間晶體.對(duì)于這類新型的非平衡物態(tài),一個(gè)基本的科學(xué)問(wèn)題是,其元激發(fā)是否還有良好的定義? 如果有,如何實(shí)現(xiàn)并刻畫這類激發(fā)? 它與系統(tǒng)的對(duì)稱性(破缺)的關(guān)系如何?

針對(duì)這些問(wèn)題,我們通過(guò)類比平衡態(tài)系統(tǒng)中Z2自發(fā)對(duì)稱破缺導(dǎo)致的孤子激發(fā),提出一個(gè)嚴(yán)格可解的時(shí)間晶體模型[20]:

這時(shí)系統(tǒng)哈密頓量約化為

其中序參量m(t)在時(shí)間演化的過(guò)程中自洽求得.我們發(fā)現(xiàn)該模型在特定條件下,會(huì)展現(xiàn)出分立時(shí)間晶體態(tài) (m(t)的周期為V(t)周期的2 倍,見圖1(a)).

為了研究其對(duì)外界(含時(shí))擾動(dòng)的響應(yīng)(激發(fā)),我們?cè)谝欢螘r(shí)間內(nèi)人為破壞外界驅(qū)動(dòng)的周期性(這一擾動(dòng)可以看作在一個(gè)周期內(nèi),暫時(shí)地增加或減少驅(qū)動(dòng)周期頻率).在分立的時(shí)間晶體中,時(shí)間平移不變性的Z2自發(fā)破缺導(dǎo)致了兩個(gè)“簡(jiǎn)并”的時(shí)間晶體態(tài),通過(guò)對(duì)系統(tǒng)施加含時(shí)擾動(dòng),我們發(fā)現(xiàn)時(shí)間晶體對(duì)于高頻擾動(dòng)幾乎免疫,但是當(dāng)擾動(dòng)頻率低于一個(gè)臨界值時(shí),系統(tǒng)在時(shí)間演化過(guò)程中可以從一個(gè)簡(jiǎn)并的時(shí)間晶體態(tài)“隧穿”到另一個(gè)時(shí)間晶體態(tài)(見圖1(b)),這兩個(gè)宏觀“簡(jiǎn)并”量子態(tài)之間的隧穿類似于量子力學(xué)中雙勢(shì)阱系統(tǒng)中的瞬子隧穿效應(yīng).另外,在臨界頻率附近,系統(tǒng)的隧穿時(shí)間呈冪指數(shù)發(fā)散,這一現(xiàn)象類似于動(dòng)力學(xué)臨界系統(tǒng)中的臨界慢化現(xiàn)象.這一研究首次揭示了時(shí)間晶體中的瞬子激發(fā),為研究這類新型非平衡量子物態(tài)的分類、穩(wěn)定性及其臨界行為奠定了基礎(chǔ).

圖1 (a) 分立時(shí)間晶體態(tài)的示意圖;(b) 通過(guò)含時(shí)擾動(dòng)局部破壞周期驅(qū)動(dòng)的周期性,導(dǎo)致時(shí)間晶體瞬子激發(fā)(不同簡(jiǎn)并時(shí)間晶體之間的隧穿)Fig.1.Schematic diagram of (a) a period doubling dynamics in the presence of periodical driving and two degenerate TC phases and (b) the phase ramping protocol in our model and an instanton-like excitation induced by it.

2.2 虛數(shù)時(shí)間軸上的時(shí)間平移對(duì)稱性自發(fā)破缺:溫度晶體

晶體是在空間具有周期對(duì)稱性的物質(zhì)形態(tài).人類對(duì)晶體的探索可以追溯到有文字記載以前.近代量子凝聚態(tài)物理學(xué)研究發(fā)現(xiàn),這種物態(tài)通常是在降低溫度時(shí),從連續(xù)態(tài)(比如流體)通過(guò)對(duì)稱性自發(fā)破缺而形成.不同的對(duì)稱破缺方式對(duì)應(yīng)各種奇妙的空間群,從而產(chǎn)生豐富多彩類型的晶體結(jié)構(gòu).2012 年,Wilczek 把晶體的概念推廣到了時(shí)間維度,提出量子時(shí)間晶體.

溫度是熱力學(xué)中的一個(gè)基本概念.量子力學(xué)中的路徑積分方法揭示了兩個(gè)重要的物理概念—溫度和時(shí)間—之間的深刻聯(lián)系.一個(gè)溫度為T=1/β的量子系綜的配分函數(shù)在形式上等價(jià)于一個(gè)量子動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在(歐幾里得空間)虛時(shí)間τ∈[0,β]上的傳播子(見圖2(a)).一般來(lái)說(shuō),熱力學(xué)系統(tǒng)的物理可觀察量既可以隨溫度單調(diào)上升或下降,也可能出現(xiàn)非單調(diào)的行為,即物理量的溫度依賴曲線出現(xiàn)一個(gè)或者多個(gè)峰,這些峰的位置往往對(duì)應(yīng)某些重要的物理現(xiàn)象(例如反?；蛳嘧?.基于時(shí)間與溫度的二象性,一個(gè)基本的探索性問(wèn)題是,量子力學(xué)是否允許虛時(shí)間晶體的存在,從而在宏觀尺度發(fā)現(xiàn)“溫度”晶體? 換而言之,能否找到一種物理系統(tǒng),其某些性質(zhì)可以隨溫度的變化(周期)振蕩?

圖2 (a)虛時(shí)間晶體在2+1 維歐幾里得時(shí)空中一種典型的時(shí)空構(gòu)型的示意圖;(b) 其物理性質(zhì)隨溫度振蕩Fig.2.(a) A typical world-line configurations of iTC in a(2+1)D Euclidean space;(b) the (inverse) temperature dependence of the CDW order parameter in the iTC phase.

針對(duì)以上兩個(gè)問(wèn)題,我們運(yùn)用量子蒙特卡羅方法,在一類開放系統(tǒng)中找到了這樣一類新型的量子物態(tài)[21].考慮一個(gè)一維硬核玻色子模型:

假設(shè)該模型每個(gè)點(diǎn)上耦合一個(gè)量子環(huán)境.當(dāng)量子系統(tǒng)中的粒子與環(huán)境耦合時(shí),環(huán)境會(huì)誘導(dǎo)出粒子之間的有效相互作用.一般來(lái)說(shuō),這類相互作用具有“延遲性”:某一時(shí)刻的粒子會(huì)與之后另一時(shí)刻的粒子發(fā)生作用,這一虛時(shí)間上的延遲相互作用可以用如下有效(將環(huán)境自由度積掉)作用量描述:

其中D(τ -τ′) 代表延遲相互作用隨時(shí)間間隔的函數(shù).對(duì)某些特定的量子環(huán)境,其誘導(dǎo)出的延遲相互作用隨著“延遲時(shí)間”具有非單調(diào)行為(在某些時(shí)間范圍內(nèi)為吸引相互作用,另一些范圍為排斥).例如,考慮如下延遲相互作用:

這一相互作用可以通過(guò)積掉一個(gè)(有效的)非厄密的量子環(huán)境得到[31].

通過(guò)與傳統(tǒng)晶體中的相互作用做類比,我們發(fā)現(xiàn)這類環(huán)境誘導(dǎo)的延遲相互作用會(huì)導(dǎo)致(虛)時(shí)間方向上的結(jié)晶行為.由于虛時(shí)間和溫度的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這類虛時(shí)間晶體的物理性質(zhì)在一定范圍內(nèi)會(huì)隨溫度(周期)振蕩(見圖2(b)).另一方面,當(dāng)溫度降到零溫時(shí),系統(tǒng)的基態(tài)會(huì)展現(xiàn)出奇異的物理性質(zhì),即一個(gè)不可壓縮的超流體.這一零溫態(tài)不同于目前已知的所有玻色子系統(tǒng)基態(tài),它源自環(huán)境誘導(dǎo)的延遲相互作用和多體系統(tǒng)內(nèi)部的量子漲落之間的競(jìng)爭(zhēng),反映了開放量子系統(tǒng)中不同于傳統(tǒng)封閉量子多體系統(tǒng)的奇異特性.

3 時(shí)間反演對(duì)稱性的自發(fā)破缺:開放量子系統(tǒng)中的對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)溥吘墤B(tài)

如何在對(duì)多個(gè)量子比特進(jìn)行相干操作的同時(shí),降低環(huán)境對(duì)于量子系統(tǒng)的影響一直是量子計(jì)算領(lǐng)域的一個(gè)核心挑戰(zhàn).拓?fù)淞孔佑?jì)算因其能極高地容忍局域微擾造成的錯(cuò)誤,成為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的一種可能的方案.作為拓?fù)淞孔佑?jì)算的物理基礎(chǔ),拓?fù)淞孔游飸B(tài)因其潛在的應(yīng)用價(jià)值,一直是凝聚態(tài)物理研究的前沿課題[32].近年來(lái),以拓?fù)浣^緣體為代表的一類新型拓?fù)鋺B(tài)受到廣泛的關(guān)注.不同于傳統(tǒng)的拓?fù)湮飸B(tài)(例如量子霍爾效應(yīng)),這類物質(zhì)的拓?fù)湫再|(zhì)只對(duì)滿足特定對(duì)稱性的微擾保持穩(wěn)定,因此被稱為“對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)鋺B(tài)(SPT)”[33].例如,在拓?fù)浣^緣體中[34],其邊緣上的量子化自旋流被時(shí)間反演對(duì)稱性所保護(hù),而對(duì)于破壞時(shí)間反演的微擾(例如外磁場(chǎng))并不穩(wěn)定.一般認(rèn)為,環(huán)境對(duì)量子系統(tǒng)的影響可以看成某種局域的微擾,如果環(huán)境本身以及系統(tǒng)和環(huán)境的耦合均不破壞相應(yīng)的對(duì)稱性,則系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)不會(huì)受到環(huán)境的干擾,這也是當(dāng)前拓?fù)淞孔佑?jì)算的理論基礎(chǔ).

然而,相比于自然界中的其他對(duì)稱性,時(shí)間反演這一對(duì)稱性的特殊性在于,其不僅可以被顯式地破壞(例如外加磁場(chǎng)),也會(huì)在宏觀層面上自發(fā)破缺:即宏觀世界的時(shí)間的不可逆性(熱力學(xué)第二定律).因此,研究時(shí)間反演在宏觀層面的自發(fā)破缺對(duì)拓?fù)湮飸B(tài),尤其是環(huán)境對(duì)于受到時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)湮飸B(tài)的影響,不僅拓展人們對(duì)于拓?fù)湮飸B(tài)理解,同時(shí)對(duì)于拓?fù)淞孔佑?jì)算領(lǐng)域具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[35].

針對(duì)這一問(wèn)題,我們利用密度矩陣重整化群方法系統(tǒng)地研究了環(huán)境對(duì)對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)湎到y(tǒng)的影響.考慮一個(gè)開放系統(tǒng),其總(系統(tǒng)+環(huán)境)的哈密頓量為:

其中Hs為系統(tǒng)哈密頓量,Hb為環(huán)境哈密頓量,Hsb為系統(tǒng)環(huán)境耦合哈密頓量.為了研究方便,我們考慮系統(tǒng)為一個(gè)對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)渥孕?環(huán)境也為一條量子自旋鏈,系統(tǒng)和環(huán)境在兩條鏈的端點(diǎn)相連(見圖4).

圖4 量子多體系統(tǒng)在無(wú)序、噪聲、相互作用、對(duì)稱性等因素共同作用下產(chǎn)生普適的弛豫動(dòng)力學(xué)行為Fig.4.Schematic of a open quantum many-body system and its universal dynamics induced by the interplay between disorder,noise,interaction and symmetry.

取Hs為一個(gè)自旋為1 的量子自旋鏈(Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT)模型[36]:

該模型的基態(tài)是一個(gè)典型的對(duì)稱保護(hù)拓?fù)鋺B(tài),即在開邊界條件下,這一自旋為1 的自旋鏈兩端會(huì)有兩個(gè)自由的自旋為1/2 的邊緣態(tài),這些邊緣態(tài)受到時(shí)間反演、空間反演、等對(duì)稱性的保護(hù)[37],即只要外加微擾不破壞所有這些對(duì)稱性,邊緣態(tài)就不被破壞,由邊緣態(tài)決定的基態(tài)簡(jiǎn)并度也會(huì)被保護(hù).下面我們要考慮當(dāng)系統(tǒng)和環(huán)境耦合后,環(huán)境對(duì)于對(duì)稱保護(hù)的邊緣態(tài)的影響,及其與對(duì)稱性的關(guān)系.

為了考慮環(huán)境對(duì)于這類對(duì)稱保護(hù)的邊緣態(tài)的影響,我們考慮了不同系統(tǒng)環(huán)境,以及系統(tǒng)-環(huán)境耦合形式(見圖3).系統(tǒng)-環(huán)境耦合的一般形式可以寫為:

圖3 一條對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)淞孔討B(tài)(AKLT 態(tài))通過(guò)不同的方式,耦合上不同量子環(huán)境的示意圖Fig.3.Schematic of the symmetry-protected topological systems (AKLT state) coupled to different quantum baths via various SB couplings.

其中Aα為系統(tǒng)算符,Bα為環(huán)境算符.我們著重關(guān)注時(shí)間反演對(duì)稱性,即考慮系統(tǒng)和環(huán)境哈密頓量都具有時(shí)間反演不變性,同時(shí)系統(tǒng)和環(huán)境耦合也保持時(shí)間反演.不僅如此,系統(tǒng)-環(huán)境耦合中系統(tǒng)算符Aα和環(huán)境算符Bα各自都保持時(shí)間反演不變,即對(duì)這個(gè)復(fù)合系統(tǒng)來(lái)說(shuō),時(shí)間反演對(duì)稱性在所有的微觀層次都不被破壞.

我們的研究結(jié)果顯示,時(shí)間反演這一對(duì)稱性在拓?fù)湫再|(zhì)保護(hù)上具有脆弱性,即使在上述情況下(時(shí)間反演對(duì)稱性在所有微觀層面都被保持),拓?fù)湎到y(tǒng)中由時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)溥吘墤B(tài)也會(huì)被破壞.其本質(zhì)原因是因?yàn)闀r(shí)間反演對(duì)稱的特殊性:在開放系統(tǒng)中,當(dāng)我們將環(huán)境自由度積掉,得到只含系統(tǒng)自由度的有效運(yùn)動(dòng)方程時(shí),時(shí)間反演對(duì)稱性可以自發(fā)破壞,從而不再能保護(hù)相應(yīng)的拓?fù)溥吘墤B(tài).與之相對(duì)應(yīng)的,如果邊緣態(tài)有其他(幺正)對(duì)稱性保護(hù)(例如Z2對(duì)稱性),在開放系統(tǒng)中,邊緣態(tài)仍然被保護(hù).這一發(fā)現(xiàn)將目前對(duì)于對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)鋺B(tài)的研究推廣到開放系統(tǒng),并對(duì)當(dāng)前基于時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)湮飸B(tài)(例如拓?fù)浣^緣體)的潛在應(yīng)用提出了挑戰(zhàn)[38].

4 開放量子多體系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)普適類

普適類是現(xiàn)代物理學(xué)的一個(gè)基本概念.人們發(fā)現(xiàn)不同的臨界系統(tǒng)可能展現(xiàn)出某些普適的性質(zhì),這些性質(zhì)往往與系統(tǒng)的大部分細(xì)節(jié)無(wú)關(guān),而僅僅被少數(shù)關(guān)鍵因素,如系統(tǒng)的維數(shù)、對(duì)稱性等所決定.通過(guò)對(duì)這些普適性質(zhì)的刻畫(臨界指數(shù)),人們可以將自然界的連續(xù)相變分成有若干普適類.21 世紀(jì)70 年代,Hohenberg和Halperin 等[39]將這一概念推廣到動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),提出了動(dòng)力學(xué)普適類的概念:對(duì)于臨界系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)(如弛豫時(shí)間等)也可以表現(xiàn)出普適行為,這些行為往往比靜態(tài)物理量(如關(guān)聯(lián)函數(shù))的普適類更加復(fù)雜.同時(shí),這類普適動(dòng)力現(xiàn)象甚至不局限于近平衡系統(tǒng)的相變點(diǎn)附近,在遠(yuǎn)離平衡的系統(tǒng)中也能被觀察到(如Kardar-Papisi-Zhang 普適類[40]),目前已經(jīng)成為非平衡統(tǒng)計(jì)物理研究的重要方向.

相比于經(jīng)典非平衡系統(tǒng),量子多體系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)行為往往更為復(fù)雜,也更加有趣.由于量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)內(nèi)在的復(fù)雜性,目前沒(méi)有一般性的方法來(lái)研究這類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).因此,遠(yuǎn)離平衡態(tài)的量子多體系統(tǒng)中是否存在普適的動(dòng)力學(xué)行為一直是該領(lǐng)域的一個(gè)基本問(wèn)題.我們運(yùn)用密度矩陣重整化群方法,研究了一類具有噪聲的一維量子多體系統(tǒng)中的弛豫動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[23].考慮一個(gè)無(wú)序的各項(xiàng)異性的量子自旋鏈:

可以發(fā)現(xiàn),盡管噪聲會(huì)最終將這一多體系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)到溫度無(wú)窮高的穩(wěn)態(tài),但是在這一平庸?fàn)顟B(tài)附近的弛豫動(dòng)力學(xué)可能展現(xiàn)出非平庸的普適性質(zhì).在這類開放的量子多體系統(tǒng)中,無(wú)序、量子漲落、對(duì)稱性以及噪聲等因素的交互作用會(huì)導(dǎo)致豐富的弛豫動(dòng)力學(xué)行為:在系統(tǒng)具有連續(xù)的U(1)對(duì)稱性時(shí)(δ=0),隨著無(wú)序強(qiáng)度的增加,系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷一個(gè)從普適的代數(shù)弛豫到壓縮指數(shù)弛豫(stretched exponential)的動(dòng)力學(xué)相變.當(dāng)U(1)對(duì)稱性被破壞后,系統(tǒng)馬上會(huì)恢復(fù)常規(guī)的指數(shù)弛豫行為.一個(gè)關(guān)鍵的發(fā)現(xiàn)是,在這一過(guò)程中,這一動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性對(duì)于決定系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間的弛豫行為起到了決定性作用.通過(guò)hydrogen dynamics和有效場(chǎng)論的分析,我們?yōu)檫@一數(shù)值發(fā)現(xiàn)提供了理論解釋.同時(shí),這一理論結(jié)果與當(dāng)前超冷原子領(lǐng)域中多體局域化與開放量子系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)密切相關(guān)[41,42].

5 驅(qū)動(dòng)-耗散量子多體系統(tǒng)中的模式形成和奇異量子態(tài)

自發(fā)對(duì)稱破缺是現(xiàn)代物理學(xué)的一個(gè)基本概念.在平衡態(tài)物理中,在低溫下系統(tǒng)通過(guò)自發(fā)破缺哈密頓量的對(duì)稱性,達(dá)到能量(自由能)更低且更穩(wěn)定的有序態(tài).在非平衡系統(tǒng)中,外界的能量輸入和耗散會(huì)驅(qū)使系統(tǒng)遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài),在這一過(guò)程中具有不同對(duì)稱性的非平衡模式往往會(huì)自發(fā)涌現(xiàn).在非平衡物理的框架下,自發(fā)對(duì)稱破缺這一基本概念被賦予了新的內(nèi)涵:其背后的物理機(jī)制不再是能量(自由能)最小化,而是在外界非平衡條件的驅(qū)動(dòng)下,初始的均勻模式失穩(wěn),不均勻的漲落模式被放大,同時(shí)不同時(shí)空模式之間通過(guò)競(jìng)爭(zhēng)與相互作用達(dá)到再平衡,最終贏得競(jìng)爭(zhēng)的模式?jīng)Q定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的對(duì)稱性[43].非平衡穩(wěn)態(tài)中的模式形成與自發(fā)對(duì)稱破缺已經(jīng)成為經(jīng)典非平衡統(tǒng)計(jì)物理研究的重要前沿課題.

相比于經(jīng)典非平衡系統(tǒng),由于量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)內(nèi)在的復(fù)雜性,量子多體系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)行為往往更為復(fù)雜,也更加有趣.除了常規(guī)的模式形成和對(duì)稱破缺態(tài)(例如條紋相),量子漲落可能恢復(fù)被破缺的對(duì)稱性,產(chǎn)生出奇異量子多體態(tài),這類非平衡量子物態(tài)既不同于經(jīng)典非平衡系統(tǒng)中的模式形成,也和常規(guī)量子多體態(tài)(如自旋液體)有本質(zhì)區(qū)別.探索遠(yuǎn)離平衡的量子多體系統(tǒng)中的自發(fā)對(duì)稱破缺與奇異量子多體態(tài)的形成機(jī)制對(duì)人們理解這類新型量子物質(zhì)具有重要意義.

我們研究了一類具有驅(qū)動(dòng)-耗散相互作用的玻色系統(tǒng)中的非平衡穩(wěn)態(tài)[24].這一系統(tǒng)的哈密頓量為

與傳統(tǒng)Bose-Hubb 模型不同,這一模型中我們引入了玻色子的對(duì)產(chǎn)生和對(duì)湮滅項(xiàng),在特定條件下,這些項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致玻色系統(tǒng)失穩(wěn),從而外界驅(qū)動(dòng)將這一系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)到遠(yuǎn)離平衡態(tài).

可以發(fā)現(xiàn),在非平衡穩(wěn)態(tài)中這一玻色系統(tǒng)會(huì)展現(xiàn)出某些類似費(fèi)米子系統(tǒng)的性質(zhì):“費(fèi)米面”在這一過(guò)程中扮演了重要的角色.最終在“費(fèi)米面”附近的動(dòng)量模式贏得競(jìng)爭(zhēng),導(dǎo)致玻色子傾向于凝聚在“費(fèi)米面”附近的動(dòng)量上.在一般情況下,費(fèi)米面附近的動(dòng)量模式之間相互散射,最終一對(duì)具有相反動(dòng)量的動(dòng)量模式贏得競(jìng)爭(zhēng).玻色子凝聚在這一對(duì)動(dòng)量上,在實(shí)空間出現(xiàn)具有條紋相的不均勻穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)(見圖5(a),圖5(b)).但是在一種特殊情況下,費(fèi)米面特殊的“嵌套”結(jié)構(gòu)使得動(dòng)量模式間可能的散射通道數(shù)目極大增加,這種情況下所有“費(fèi)米面”上的動(dòng)量模式都被玻色子占據(jù),在實(shí)空間形成一種密度均勻分布的穩(wěn)態(tài).這類凝聚在“封閉線”上而不是“分立點(diǎn)”上的玻色-愛因斯坦凝聚體是一種奇異的量子多體態(tài)(見圖5(c),圖5(d)),可能幫助人們理解阻挫量子磁性、高溫超導(dǎo)系統(tǒng)等強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中涌現(xiàn)的奇異量子物態(tài).此外,這一驅(qū)動(dòng)-耗散玻色子模型與當(dāng)前基于超導(dǎo)比特的量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)平臺(tái)具有密切聯(lián)系,這一工作揭示了這一平臺(tái)不僅在量子計(jì)算方面具有重要的實(shí)際價(jià)值,其本身作為一種新型的人造量子系統(tǒng),也可以被用于探索非平衡量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的基本物理規(guī)律.

圖5 耗散-驅(qū)動(dòng)玻色-赫伯特模型的非平衡穩(wěn)態(tài)中涌現(xiàn)的條紋相 (a),(b)和奇異玻色液體態(tài)(c),(d)Fig.5.The stripe phase (a),(b) and the exotic bose liquid (c),(d) emerging from the steady state of a dissipative-driven Bose Hubbard model.

6 非平衡量子關(guān)聯(lián)體系的研究方法

由于非平衡和量子關(guān)聯(lián)帶來(lái)的雙重復(fù)雜性,這類非平衡量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)目前沒(méi)有成熟和普適的處理方法,往往是多種方法綜合運(yùn)用(見圖6).在很多情況下,可以從平均場(chǎng)近似出發(fā),抓出非平衡系統(tǒng)中對(duì)稱破缺態(tài)的基本物理,同時(shí)對(duì)于某些特定系統(tǒng)(例如BEC 系統(tǒng)),可以采取準(zhǔn)經(jīng)典近似,將其運(yùn)動(dòng)方程約化為經(jīng)典非線性方程進(jìn)行處理[44].為了超越平均場(chǎng)并探討量子漲落扮演的關(guān)鍵作用,對(duì)于一維系統(tǒng),通過(guò)對(duì)現(xiàn)有數(shù)值(例如密度矩陣重整化群[45])和解析(例如玻色化[46])方法的推廣來(lái)研究具體模型,同時(shí)結(jié)合某些嚴(yán)格可解模型進(jìn)行結(jié)果比對(duì).對(duì)高維系統(tǒng),目前沒(méi)有適用的數(shù)值方法.如何將現(xiàn)有量子多體方法推廣來(lái)處理高維非平衡問(wèn)題將是當(dāng)前這一領(lǐng)域數(shù)值計(jì)算中的關(guān)鍵難點(diǎn).從解析的角度,利用Schwinger-Keldysh 路徑積分技術(shù)發(fā)展有效場(chǎng)論[47],并通過(guò)微擾展開逐級(jí)考慮量子修正.通過(guò)這一系列數(shù)值和解析方法相結(jié)合,可能建立適用于非平衡量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)值方法和理論框架.

圖6 當(dāng)前處理非平衡量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的部分解析與數(shù)值方法Fig.6.A review of current analytical and numerical methods to deal with non-equilibrium quantum many-body systems.

研究方法中的難點(diǎn)和關(guān)鍵技術(shù)是發(fā)展適用于高維非平衡量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)值方法.對(duì)量子蒙特卡羅方法,一般認(rèn)為其只適用于處理熱力學(xué)平衡態(tài)的系統(tǒng).在之前的工作中,我們注意到蒙特卡羅方法的本質(zhì)是根據(jù)特定分布函數(shù)進(jìn)行重要性抽樣.對(duì)于熱力學(xué)平衡態(tài)系統(tǒng),這一分布函數(shù)為玻爾茲曼函數(shù),而對(duì)于非平衡系統(tǒng),一般沒(méi)有普適的分布函數(shù),需要針對(duì)具體問(wèn)題具體分析.對(duì)于某些特殊的非平衡量子多體系統(tǒng),可以找到其非平衡穩(wěn)態(tài)滿足的分布函數(shù),然后根據(jù)這一分布函數(shù)利用蒙特卡羅方法進(jìn)行重要性抽樣,同時(shí)還要保證抽樣過(guò)程中不出現(xiàn)嚴(yán)重的“負(fù)符號(hào)”問(wèn)題.這樣的特例十分罕見但的確存在[48],這些特殊模型對(duì)于人們理解非平衡量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的許多一般性質(zhì)十分重要.另一方面,利用密度矩陣或張量網(wǎng)絡(luò)重整化群等方法處理非平衡問(wèn)題面臨的重要挑戰(zhàn)之一是,大部分量子系統(tǒng)的糾纏度會(huì)隨時(shí)間迅速增長(zhǎng),使得這類方法只適用于研究短時(shí)間內(nèi)的動(dòng)力學(xué)行為.這一困難對(duì)于具有短程糾纏的非平衡系統(tǒng)(例如多體局域化系統(tǒng),強(qiáng)耗散量子多體系統(tǒng)等)并不十分嚴(yán)重,這使得我們有可能將這類方法推廣到二維系統(tǒng).最近動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方面的研究取得進(jìn)展,非平衡動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法可能被用來(lái)研究更高維相互作用費(fèi)米子系統(tǒng)的時(shí)間演化問(wèn)題[49].

7 結(jié)論

非平衡量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)是一個(gè)嶄新的研究領(lǐng)域,其中有大量的未解之謎.由于其具有強(qiáng)關(guān)聯(lián)和非平衡的雙重困難,人們對(duì)這一系統(tǒng)的認(rèn)知極其有限.在這類系統(tǒng)中,以往很多基于平衡態(tài)熱力學(xué)的基本物理量(如溫度、自由能等)往往不再有良好的定義.另外,很多重要的物理概念(如拓?fù)湫?、自發(fā)對(duì)稱破缺、普適類)在非平衡物理的框架下可能被賦予新的內(nèi)涵.更為重要的是,這類系統(tǒng)中時(shí)間維度的引入以及與其密切相關(guān)的對(duì)稱性和對(duì)稱性破缺可能演生出傳統(tǒng)平衡態(tài)量子多體系統(tǒng)中不存在的新的物理概念和物理規(guī)律.同時(shí),非平衡量子關(guān)聯(lián)體系的研究范圍不局限于某一特定的物理分支,而是涉及凝聚態(tài)物理、原子分子物理和量子光學(xué)、量子信息與量子計(jì)算、非平衡統(tǒng)計(jì)物理等諸多現(xiàn)代物理學(xué)的前沿領(lǐng)域.這些不同體系中涌現(xiàn)出來(lái)的非平衡量子關(guān)聯(lián)現(xiàn)象,既融合了各自體系的不同特征,又展現(xiàn)出普適的一般規(guī)律.我們期待未來(lái)不同學(xué)科的物理思想和研究方法在這一領(lǐng)域交叉融合,碰撞出更為絢麗的火花.

感謝王孝群老師、劉文勝老師卓有成效的合作和一直以來(lái)的幫助.感謝李偉、萬(wàn)源、王磊、陳宇、任杰、Navarrete-Benlloch、王子健、岳明錫、楊曉琴、李喬伊、黃易珍等老師和同學(xué)在上述工作中的合作和有益的討論.