耗散響應(yīng)理論及其在開(kāi)放系統(tǒng)中的應(yīng)用*

陳宇

(中國(guó)工程物理研究院研究生院,北京 100193)

近些年來(lái),隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步,對(duì)量子多體系統(tǒng)的耗散控制能力得到了增強(qiáng),同時(shí)耗散動(dòng)力學(xué)過(guò)程表征技術(shù)方面的實(shí)驗(yàn)也有了較大進(jìn)展.實(shí)驗(yàn)上的進(jìn)展驅(qū)使我們?cè)诶碚撋辖⒘孔佣囿w系統(tǒng)的耗散動(dòng)力學(xué)計(jì)算體系.最近我們發(fā)現(xiàn),通過(guò)把系統(tǒng)和環(huán)境之間的相互作用看成對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)微擾,可以得到一般性的耗散響應(yīng)理論.通過(guò)這一響應(yīng)理論,可以回答物理可觀測(cè)量以及熵在耗散下一定時(shí)間尺度內(nèi)的動(dòng)力學(xué)演化的問(wèn)題.本文建立了非Markov 環(huán)境下的一般理論,并討論了何時(shí)可以取到 Markov 近似,同時(shí)綜述了這種方法在計(jì)算強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的耗散動(dòng)力學(xué)、強(qiáng)相互作用開(kāi)放體系的熵的動(dòng)力學(xué)演化等方面的應(yīng)用.

1 引言

線性響應(yīng)理論是物理學(xué)中各種測(cè)量的基礎(chǔ)[1].線性響應(yīng)的基本精神是通過(guò)探測(cè)物理量在一個(gè)微小驅(qū)動(dòng)后的含時(shí)演化來(lái)研究物理體系的性質(zhì).在凝聚態(tài)物理的實(shí)驗(yàn)中,有許多實(shí)驗(yàn)是以線性響應(yīng)作為基礎(chǔ)的,如角分辨光電子譜實(shí)驗(yàn)(APRES)、電導(dǎo)測(cè)量、中子散射等.這些實(shí)驗(yàn)都采用外場(chǎng)來(lái)耦合系統(tǒng)中的某些物理量,最終測(cè)量物理量之間的推遲關(guān)聯(lián)性質(zhì).

線性響應(yīng)的精神主要體現(xiàn)在外場(chǎng)為弱場(chǎng)時(shí),對(duì)復(fù)雜的非平衡動(dòng)力學(xué)演化行為的研究可以被約化為對(duì)初始時(shí)刻平衡態(tài)系統(tǒng)性質(zhì)的研究.仔細(xì)考察線性響應(yīng)理論與實(shí)驗(yàn)的真實(shí)設(shè)置之間的差別時(shí)可以發(fā)現(xiàn),其中一個(gè)重要的近似在于使用的外場(chǎng)是環(huán)境中算子的期待值,而外場(chǎng)的漲落所造成的效應(yīng)被完全歸零了.真實(shí)的線性響應(yīng)實(shí)驗(yàn)總是一次環(huán)境和系統(tǒng)突然耦合的過(guò)程,而在有些時(shí)候外場(chǎng)漲落引起的效果是無(wú)法被忽略的.特別是在外場(chǎng)的期待值為零的情況下,體系的動(dòng)力學(xué)行為是完全被外場(chǎng)漲落驅(qū)動(dòng)的[2].

本文將主要研究這種外場(chǎng)期待值為零時(shí)體系的耗散動(dòng)力學(xué)行為.第2節(jié)首先給出耗散響應(yīng)理論的一般性理論.這里的一般性理論主要是指一般的非Markov 環(huán)境.耗散響應(yīng)理論包括對(duì)物理可觀測(cè)量的耗散響應(yīng)和熵的耗散響應(yīng)兩個(gè)方面.同時(shí),給出Markov 極限的條件以及在這個(gè)極限下的非厄米線性響應(yīng)理論[3].第3節(jié)介紹非厄米線性響應(yīng)理論在Bose-Hubbard 模型的耗散動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用[2].第4節(jié)介紹如何把熵的耗散響應(yīng)理論用于具有全息對(duì)偶映射的開(kāi)放Sachdev-Ye-Kitaev 模型中,從費(fèi)米子熱化的角度來(lái)看引力側(cè)黑洞蒸發(fā)問(wèn)題中的Page 曲線[3].最后對(duì)耗散響應(yīng)理論進(jìn)行總結(jié)和展望.

2 耗散響應(yīng)理論

考慮一個(gè)物理體系在某一時(shí)刻突然和環(huán)境發(fā)生耦合.在耦合前,系統(tǒng)和環(huán)境的哈密頓量可以寫(xiě)為

在與環(huán)境耦合以后,其總的哈密頓量變?yōu)?/p>

其中

這里Oj是作用在系統(tǒng)的Hilbert 空間上的算子,ξj是作用在環(huán)境Hilbert 空間上的算子.j是模式指標(biāo),也可以看作類似空間指標(biāo)的連續(xù)指標(biāo).總系統(tǒng)的演化服從下面的動(dòng)力學(xué)方程:

其中ρ0和ρE是系統(tǒng)和環(huán)境的初始密度矩陣.由于體系的含時(shí)演化是一個(gè)幺正的過(guò)程,因此系統(tǒng)的密度矩陣以及環(huán)境的密度矩陣的跡都不隨時(shí)間變化.這一點(diǎn)是非常重要的,一個(gè)密度矩陣的含時(shí)演化是保持跡不變的,與幺正性是互相等價(jià)的,這是量子力學(xué)的基本要求.然而在近來(lái)許多有關(guān)非厄米演化的研究中,并不能保證一個(gè)密度矩陣在演化過(guò)程中保持跡不變.因此,這種非厄米哈密頓量的近似在量子開(kāi)放系統(tǒng)中的有效程度和適用范圍是值得進(jìn)一步清晰化的.因?yàn)檑E不變,所以可以把TrE(ρE(t))替換為初始熱態(tài)的配分函數(shù)ZE=TrE(ρE).為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),后文用 Tr取代 TrS來(lái)表示對(duì)系統(tǒng)的 Hilbert空間求跡.

根據(jù)(4)式,得到在相互作用表象下的系統(tǒng)密度矩陣為

這里θ12=θ(t1-t2),是階梯函數(shù)的簡(jiǎn)寫(xiě),當(dāng)t1＞t2時(shí)θ12=1,當(dāng)t1＜t2時(shí)θ12=0,t1=t2時(shí)θ12=1/2.

微擾公式(10)式可以用一系列圖形來(lái)表示(如圖1和圖2).圖形規(guī)則如下:所有沿徑向向內(nèi)側(cè)走的實(shí)線表示在實(shí)時(shí)上的正方向演化,向外側(cè)走是向時(shí)間的反方向演化;其中藍(lán)色的線表示按照環(huán)境的哈密頓量進(jìn)行演化,黑色的實(shí)線表示按照系統(tǒng)的哈密頓量進(jìn)行演化;沿角向走的實(shí)線表示虛時(shí)間演化(黑色是系統(tǒng)的虛時(shí)演化,藍(lán)色是環(huán)境的虛時(shí)演化),如果閉合表示求跡;虛線表示相互作用強(qiáng)度g;箭頭表示演化的方向,算子按照箭頭的方向依次作用;紅色的點(diǎn)表示在系統(tǒng)中的產(chǎn)生算子O?,紅色的叉表示系統(tǒng)的湮滅算子O;相應(yīng)地,藍(lán)色的點(diǎn)表示在環(huán)境中的產(chǎn)生算子ξ?,藍(lán)色的叉表示在環(huán)境中的湮滅算子ξ;黑色算子在右側(cè)多一個(gè) —i因子,在左側(cè)多一個(gè)i 因子.

圖1 耗散費(fèi)曼圖圖形規(guī)則演示圖Fig.1.Illustrations of the diagram rules of the dissipative Feynman diagrams.

相互作用表象下的密度矩陣微擾結(jié)果可以用上述圖形方法畫(huà)出,如圖2所示.

圖2 (10)式的圖形表達(dá).這一圖形法則可以用于高階圖的展開(kāi)Fig.2.Diagram expressions of Eq.(10).

2.1 物理可觀測(cè)量的線性響應(yīng)理論

下面考慮一個(gè)系統(tǒng)的物理可觀測(cè)量W,那么在零時(shí)刻系統(tǒng)與環(huán)境突然接觸以后,物理可觀測(cè)量隨時(shí)間的動(dòng)力學(xué)變化是后者正好可以用前面引入的圖形規(guī)則表示.

在展示結(jié)果之前,讓我們回到更為熟知的線性響應(yīng)理論的出發(fā)點(diǎn).假設(shè)

這里的Oj和ξj都是厄米算子,即更為一般地不假設(shè)〈ξj〉=0.

其中δW(1)(t)和δW(2)(t) 是按照g的階數(shù)來(lái)定義的.顯式的定義如下:

當(dāng)外場(chǎng)的平均值非零,且被測(cè)量的物理量正好是O時(shí),有

其中重復(fù)的j指標(biāo)代表求和,這正是我們所熟知的線性響應(yīng)理論.同時(shí)根據(jù)推導(dǎo)就不難發(fā)現(xiàn),在更高階的貢獻(xiàn)中,既包括關(guān)于外場(chǎng)的非線性響應(yīng)的部分,也包括由于外場(chǎng)的漲落引起的響應(yīng)部分.接下來(lái)將證明在考慮外場(chǎng)均值為0 時(shí),漲落引起的耗散響應(yīng)在馬爾可夫極限下正好是之前發(fā)現(xiàn)的非厄米線性響應(yīng)理論.

我們也發(fā)現(xiàn),一般而言,除了在一些極限情況下,增益都會(huì)有自己的記憶效應(yīng).只有耗散是可以完全沒(méi)有記憶效應(yīng)的.也可以注意到,量子噪聲的條件和經(jīng)典噪聲的條件對(duì)于環(huán)境來(lái)說(shuō)差別是非常大的.同時(shí)也看到,在馬爾可夫極限下存在增益本身已經(jīng)把量子系統(tǒng)放在了高溫環(huán)境中,相干性消失,可以將系統(tǒng)看成一個(gè)經(jīng)典系統(tǒng)來(lái)處理.需要注意的是我們現(xiàn)在的處理方法與最早的Feynman-Vernon 影響泛函[4],以及在Caldeira-Leggett 理論中使用的Schwinger-Keldysh 方法[5]略有不同,走了不同的路線.我們所建立的理論的優(yōu)點(diǎn)在于比較容易計(jì)算短時(shí)間弱耗散、強(qiáng)相互作用的系統(tǒng).而僅僅這一優(yōu)點(diǎn)已經(jīng)可以回答大量從前在開(kāi)放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中難以回答的問(wèn)題.

2.2 熵的線性響應(yīng)理論

下面計(jì)算系統(tǒng)的熵在突然與環(huán)境耦合以后發(fā)生的變化.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),首先來(lái)計(jì)算第二 Renyi熵的變化.根據(jù)第二Renyi 熵的定義:

以上是玻色子環(huán)境與玻色子耦合的情況.

圖3 第二Renyi 熵的指數(shù)的耗散費(fèi)曼圖Fig.3.Dissipative diagrams of the exponential of the second Renyi entropy.

如果ξ和O是費(fèi)米場(chǎng),那么相應(yīng)地,Renyi 熵響應(yīng)公式需要修改為

其中的統(tǒng)計(jì)核函數(shù)為

由此得到了熵響應(yīng)的一般表達(dá)式.可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)表達(dá)式中熵的變化僅僅和系統(tǒng)、環(huán)境的譜函數(shù)、初態(tài)溫度、以及統(tǒng)計(jì)性質(zhì)有關(guān).(32)式和(33)式也大大簡(jiǎn)化了對(duì)熵的動(dòng)力學(xué)演化的計(jì)算[3].

3 耗散Bose-Hubbard 模型中的動(dòng)力學(xué)

近些年來(lái),隨著冷原子調(diào)控技術(shù)的突破,陸續(xù)出現(xiàn)了一些有關(guān)控制冷原子體系中的耗散的實(shí)驗(yàn)研究[6-12].

2019 年巴黎高等師范學(xué)院的實(shí)驗(yàn)工作中,他們?cè)诙S的Bose-Bubbard 模型中引入了耗散[6].實(shí)驗(yàn)中他們測(cè)量了在0 動(dòng)量上的粒子占據(jù)隨時(shí)間的改變,以及動(dòng)量分布的峰寬隨時(shí)間的變化.他們發(fā)現(xiàn)0 動(dòng)量上的粒子占據(jù)數(shù)并不是按照指數(shù)規(guī)律衰減的,同時(shí)他們發(fā)現(xiàn)動(dòng)量的峰寬變化比典型的擴(kuò)散行為要慢一些.過(guò)去,在一些近似下,有一些針對(duì)Bose-Hubbard 模型的耗散動(dòng)力學(xué)的計(jì)算[13,14].

根據(jù) Wick 定理,同時(shí)忽略掉高階的連通圖,

下面考慮兩種特別的情況.

1)系統(tǒng)有良好定義的準(zhǔn)粒子:

容易發(fā)現(xiàn),這樣的譜函數(shù)會(huì)使得f(k,t)=1,故而F(k,t)=t.由此可以發(fā)現(xiàn):

也就是說(shuō)粒子數(shù)的變化是指數(shù)衰減的.

2)系統(tǒng)在量子臨界點(diǎn)附近.系統(tǒng)沒(méi)有良好定義的準(zhǔn)粒子[15],其譜函數(shù)有如下特征:

由此可以計(jì)算得到f(k,t)=t2η-2,F(k,t)=t2η-1.這里需要說(shuō)明的是盡管譜函數(shù)和動(dòng)量有關(guān),但是f(k,t)與動(dòng)量無(wú)關(guān).這時(shí),

與此同時(shí),

注意后面動(dòng)量擴(kuò)散的規(guī)律和0 動(dòng)量粒子數(shù)衰變的規(guī)律完全相同.而這一結(jié)果并不僅僅是粒子數(shù)守恒造成的,而是嚴(yán)重依賴于f(k,t) 與動(dòng)量無(wú)關(guān)這一事實(shí).因此,這一規(guī)律如果在實(shí)驗(yàn)上被觀測(cè)到并非是一個(gè)尋常的現(xiàn)象.下面展示一下由本文給出的公式擬合實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)的結(jié)果,如圖4(a)所示.可以發(fā)現(xiàn)動(dòng)量擴(kuò)散的數(shù)據(jù)和粒子數(shù)衰變的數(shù)據(jù)在一定的放縮后完全重合.

圖4 (a)紅色為0 動(dòng)量粒子數(shù)衰變的數(shù)據(jù),藍(lán)色為動(dòng)量空間中的粒子數(shù)寬度隨時(shí)間變化的曲線;(b)擬合的不同晶格強(qiáng)度下的Bose-Hubbard 模型中的0 動(dòng)量粒子數(shù)衰變曲線中的參數(shù) .這里的反常維度應(yīng)該在量子臨界點(diǎn)處最小.圖(b)的小圖里兩個(gè)箭頭所在的晶格強(qiáng)度就是量子臨界點(diǎn)所在的位置[2]Fig.4.(a) Red curve shows the decay of zero momentum particle occupation.The blue curve shows how the width of particle momentum distribution evolutes over time.The solid line is our theoretical prediction.(b) Theoretical curve with experimental data for zero momentum particle decay for different parameters.In the inset figure,we shows the anomalous dimension eta extracted from experimental data and we can see its minimal being around quantum critical region[2].

4 非馬爾科夫環(huán)境中的熵變與Page曲線

第2節(jié)中得到了一個(gè)系統(tǒng)和環(huán)境在突然耦合后熵的變化公式.這里用這個(gè)公式以及猜測(cè)的引力全息對(duì)偶來(lái)探討一下黑洞的信息丟失佯謬.首先回顧黑洞信息丟失佯謬.文獻(xiàn)[16-23]中的研究發(fā)現(xiàn),黑洞的表面積和總質(zhì)量、總角動(dòng)量滿足如下簡(jiǎn)單的關(guān)系:

其中GN是牛頓萬(wàn)有引力常數(shù),Area 是黑洞的表面積,M是黑洞的質(zhì)量,J是黑洞的角動(dòng)量,Ω是黑洞視界的角速度,κ是視界表面的引力.后來(lái)有人發(fā)現(xiàn)這一表達(dá)式和熱力學(xué)基本方程十分相似.其中κ正比于溫度,M相當(dāng)于內(nèi)能,Area 正比于熵,J相當(dāng)于體積,Ω相當(dāng)于壓強(qiáng).因此提出視界的表面積正比于黑洞的熵.

之后霍金考慮在黑洞視界的表面由于量子漲落的原因形成一對(duì)糾纏光子對(duì),其中一個(gè)光子在視界之內(nèi)而另一個(gè)在視界的外面.其中視界內(nèi)部的光子掉落向黑洞的奇點(diǎn),而黑洞外部的光子向無(wú)窮遠(yuǎn)逃逸.在無(wú)窮遠(yuǎn)的觀測(cè)者于是看到了被輻射出的光子.這些光子被稱為霍金輻射.霍金在計(jì)算霍金輻射的熵時(shí)發(fā)現(xiàn)輻射光子的熵隨著時(shí)間單調(diào)上升.但另一方面,隨著黑洞因?yàn)檩椛涔庾佣舭l(fā),質(zhì)量減小以后,表面積縮小.因此一定會(huì)出現(xiàn)黑洞的熵比輻射出的光子的熵更小的情況.然而,如果假定黑洞的所有動(dòng)力學(xué)過(guò)程(包括塌縮和蒸發(fā))都是一個(gè)幺正過(guò)程的話,體系的細(xì)致熵(及部分的馮諾依曼熵)一定滿足黑洞細(xì)致熵等于霍金輻射的細(xì)致熵.另一方面,細(xì)致熵一定小于粗粒化的熵(粗?；厥侵笍哪承┪锢砜捎^測(cè)量來(lái)看,某些等效的分布如正則分布,也可以得到相同的結(jié)果時(shí),這些等效密度矩陣的馮諾依曼熵.一般而言在經(jīng)典的熱力學(xué)中,熱力學(xué)分布都取到了系統(tǒng)和環(huán)境最大程度退相干的混合態(tài),因此經(jīng)典熵是粗?；氐拇?自然地,我們之前類比黑洞熵和經(jīng)典熱力學(xué)熵即是說(shuō)黑洞的粗?；?.這是因?yàn)榇至；^(guò)程本身意味著信息的丟失,因此人為造成熵增加.然而根據(jù)剛才的論述可以看出,黑洞視界面積的收縮導(dǎo)致的粗?；販p小也限制了黑洞的細(xì)致熵的大小.而當(dāng)霍金輻射的熵大于黑洞粗?；貢r(shí)自然就無(wú)法繼續(xù)滿足黑洞細(xì)致熵等于霍金輻射熵這一條件.這就導(dǎo)致一個(gè)問(wèn)題,黑洞蒸發(fā)的過(guò)程中是否存在信息丟失?這就是霍金提出的黑洞蒸發(fā)的信息丟失佯謬[24].

20 世紀(jì)90 年代,霍金的學(xué)生 Page[25]提出為了解決這一信息丟失佯謬,霍金輻射的熵會(huì)在某個(gè)時(shí)刻開(kāi)始減小.這條非單調(diào)變化的霍金輻射熵變曲線因此得名.在后來(lái)的研究中,有一系列弦理論的計(jì)算中支持Page 曲線,暗示黑洞蒸發(fā)的過(guò)程確實(shí)是一個(gè)幺正的過(guò)程[26-30].1999 年Maldacena[30]發(fā)現(xiàn)SU(N)的超對(duì)稱Yang-Mills 場(chǎng)和引力理論之間存在對(duì)偶關(guān)系.這里所謂的對(duì)偶猜想是指在兩個(gè)不同的理論下通過(guò)某種映射聯(lián)系起來(lái)的場(chǎng)有等價(jià)關(guān)系,表現(xiàn)為配分函數(shù)相同,即所有關(guān)聯(lián)函數(shù)都相同.這種對(duì)偶映射雖然沒(méi)有得到嚴(yán)格證明,但在不少理論中得到了一定程度的驗(yàn)證.自然地,如果一個(gè)引力理論可以對(duì)偶為一個(gè)量子力學(xué)體系,其動(dòng)力學(xué)演化的過(guò)程一定是幺正的,故而滿足最初的基本假設(shè).于是不少研究者試圖從具有全息對(duì)偶性質(zhì)的引力理論出發(fā),試圖從引力側(cè)和量子力學(xué)側(cè)同時(shí)對(duì)Page 曲線進(jìn)行研究和理解.在全息對(duì)偶理論提出以后,很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)并沒(méi)有一個(gè)有明確哈密頓量的體系可驗(yàn)證具有全息對(duì)偶性質(zhì),直到2015 年Kitaev[31,32]、Ye和Sachdev[33]提出 Sachdev-Ye-Kitaev(SYK) 模型,SYK 模型是一個(gè)具有哈密頓量的全息對(duì)偶模型[34-36].SYK模型被證明和1+1 維的 Jackiw-Teitelboim (JT) 引力[37,38]存在對(duì)偶關(guān)系[39].由于在大N 極限下,類似SYK 模型是可解的,因此最近有不少工作對(duì)這些類SYK 模型的熵變進(jìn)行了計(jì)算[40-48].在引力側(cè),通過(guò)推廣的Ryu-Takanagi 公式,最近不少研究也在 Page曲線問(wèn)題上取得了關(guān)鍵性的進(jìn)展[49-51].

這里我們?cè)噲D在一個(gè)有全息對(duì)偶的SYK 模型上外加一個(gè)量子場(chǎng)作為環(huán)境,來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的熵的變化.通過(guò)前面通過(guò)微擾理論給出的公式可以非常一般地計(jì)算出環(huán)境比系統(tǒng)溫度高或者低(環(huán)境溫度低對(duì)應(yīng)于黑洞蒸發(fā)的過(guò)程)的熵變.首先寫(xiě)出體系的哈密頓量:

其中j,k,l,m可以取從 1 到 N 的整數(shù),是Majorana費(fèi)米子的模式數(shù),χj是Majorana 費(fèi)米子.Jjklm滿足:

其中上橫線表示無(wú)序平均,J是一個(gè)實(shí)數(shù)參數(shù),表示費(fèi)米子之間的耦合強(qiáng)度.這里為了滿足大 N 極限以及強(qiáng)耦合極限,需要要求N ?βJ ?1.接下來(lái)假設(shè)環(huán)境是無(wú)序的自由費(fèi)米子,

其中上橫線表示無(wú)序平均,J′是一個(gè)實(shí)數(shù)參數(shù).ψk,α是復(fù)費(fèi)米場(chǎng).系統(tǒng)和環(huán)境之間的相互作用為

其中g(shù)是耦合常數(shù).在上面的假設(shè)下,發(fā)現(xiàn)有關(guān)的譜函數(shù)可以給出,為

因此,根據(jù)之前建立的熵變的一般公式得到:

由此發(fā)現(xiàn),在短時(shí)間的極限下:

注意這個(gè)因子是可正可負(fù)的.在較長(zhǎng)時(shí)間里,線性的規(guī)律比較接近熱傳導(dǎo).接下來(lái)展示環(huán)境溫度較高和環(huán)境溫度較低時(shí),進(jìn)入SYK 模型非微擾區(qū)的現(xiàn)象.

首先在圖5中考慮環(huán)境初始溫度比較高的情況.可以發(fā)現(xiàn)在初始時(shí)刻的平方增長(zhǎng)以后變?yōu)榫€性增長(zhǎng).

圖5 當(dāng)環(huán)境比SYK 系統(tǒng)溫度高時(shí)系統(tǒng)的熵隨時(shí)間的變化 (a)環(huán)境和系統(tǒng)的譜函數(shù);(b)系統(tǒng)的熵隨時(shí)間的演化,可以看到經(jīng)過(guò)初期的平方增長(zhǎng)后變?yōu)榫€性增大.系統(tǒng)的溫度 β=10,相互作用強(qiáng)度 J=4;環(huán)境溫度 βE=2,相互作用強(qiáng)度 J′=8.該圖引用自文獻(xiàn)[3]Fig.5.(a)Spectral functions of the environment and the system;(b) entropy dynamics after the quench interaction between the system and the environment.Here the temperature of the environment is higher than the system’s initial temperature.The entropy dynamics shows a typical thermalization case.Cited from Ref.[3].

接下來(lái)考慮環(huán)境溫度比較低的情況,這正好對(duì)應(yīng)于類似黑洞蒸發(fā)的過(guò)程(如圖6所示).從圖6可以看出,由于最終的λ ＜0,而初始時(shí)刻的熵是平方增加的,因此一定存在一個(gè)熵變反轉(zhuǎn)的時(shí)刻.由于直接計(jì)算的是SYK 模型的細(xì)致熵,也就是說(shuō)對(duì)應(yīng)于黑洞的細(xì)致熵.其變化應(yīng)和霍金輻射的熵相同,因此我們也預(yù)期熵的變化服從Page 曲線.這正是我們的微擾理論給出的結(jié)果.

圖6 (a)系統(tǒng)的譜和環(huán)境的譜;(b)“黑洞蒸發(fā)”的熵的變化圖.系統(tǒng)的溫度 β=2,相互作用強(qiáng)度 J=2;環(huán)境的溫度 βE=20,相互作用強(qiáng)度 J′=2.該圖引自文獻(xiàn)[3]Fig.6.(a) Spectral functions of the environment and the system;(b) entropy dynamics after the quench interaction between the system and the environment.Here the temperature of the environment is lower than the system’s initial temperature.The entropy dynamics shows a typical cooling case.Here it can be compared with“Black Hole Evaporation”and the entropy dynamics looks like a Page curve.Cited from Ref.[3].

以下問(wèn)題值得注意:1)首先現(xiàn)在的計(jì)算對(duì)于相當(dāng)一大類相互作用費(fèi)米子體系都是正確的,即類似Page 曲線的熵變規(guī)律并非是有引力對(duì)偶的模型的特有特征,而很有可能是非常一般性的普適規(guī)律;2)初步理論測(cè)試的成功讓我們可以更加細(xì)致地研究在不同時(shí)間點(diǎn)上量子力學(xué)側(cè)發(fā)生的物理現(xiàn)象,同時(shí)通過(guò)引力對(duì)偶的假說(shuō)映射回引力體系來(lái)看在黑洞蒸發(fā)問(wèn)題中的一些物理細(xì)節(jié),甚至包括在黑洞內(nèi)部的物質(zhì)狀態(tài)的細(xì)節(jié);3)微擾的更高階效應(yīng)所產(chǎn)生的物理效應(yīng)也是非常值得關(guān)注的.

值得一提的是,同時(shí)間Dadras和Kitaev[52]也創(chuàng)始了這種一般性的對(duì)熵的微擾線性響應(yīng)方法,并計(jì)算了一些高階的微擾效應(yīng).后來(lái)蘇凱翔等[53]也計(jì)算了SYK4和SYK2 之間的耦合造成的熵變.他們的計(jì)算利用了SYK4 的可解性質(zhì)和replica 技術(shù),能給出長(zhǎng)時(shí)間的熵變結(jié)果,因此對(duì)于環(huán)境和系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度沒(méi)有限制.

5 總結(jié)與展望

本文綜述了可以用于一般相互作用系統(tǒng)與一般環(huán)境在弱耦合情況下的線性響應(yīng)理論,這一理論包括了原來(lái)沒(méi)有被計(jì)入的耗散造成響應(yīng)動(dòng)力學(xué).文中給出了系統(tǒng)性的展開(kāi)和用圖形學(xué)方法來(lái)計(jì)算的技術(shù).回顧了這種方法在用于非厄米線性響應(yīng)動(dòng)力學(xué)中與量子臨界現(xiàn)象的研究,以及利用線性響應(yīng)的技術(shù)如何來(lái)計(jì)算熵的變化.為了展示計(jì)算效果,在有引力對(duì)偶的模型中模擬“黑洞蒸發(fā)”的過(guò)程,發(fā)現(xiàn)了類似Page 曲線的熵變曲線.值得一提的是,由于本文的方法可以繞過(guò)對(duì)密度矩陣在耗散動(dòng)力學(xué)過(guò)程中的直接計(jì)算,而僅僅和初態(tài)下的關(guān)聯(lián)函數(shù)有關(guān),因此大大簡(jiǎn)化了耗散動(dòng)力學(xué)的計(jì)算,同時(shí)讓我們可以有能力去計(jì)算一些強(qiáng)相互作用的開(kāi)放系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué).這些計(jì)算在過(guò)去都是比較困難的.同時(shí)還發(fā)現(xiàn),在本文微擾方法的高階貢獻(xiàn)中有超越原先主方程的貢獻(xiàn),可能對(duì)于理解多體耗散動(dòng)力學(xué)等有新的幫助.