基于非線性能量阱的彈性支承梁振動抑制

符 翔，彭 劍，童俊輝，顏世軍

（湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動抑制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201）

梁結(jié)構(gòu)作為基本構(gòu)件廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)，其在外部荷載和環(huán)境作用下易發(fā)生大幅振動。特別是在大跨度斜拉橋中，梁結(jié)構(gòu)的振動往往會導(dǎo)致斜拉索的大幅振動，能量在各子結(jié)構(gòu)之間傳遞，易激發(fā)系統(tǒng)的大幅振動。因此，梁的振動抑制成為實際工程中的亟需解決的問題之一[1]。

振動抑制技術(shù)中常見的方法為附加阻尼裝置，其中的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（Tuned mass damper，TMD）工作頻帶較窄，對激勵的響應(yīng)不敏感，當(dāng)子系統(tǒng)能量積累至一定值時，TMD才能對主結(jié)構(gòu)振動起到抑制效果，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比較大時，TMD 的抑制效果下降[2]。而非線性能量阱(Nonlinear energy sink，NES)由于具有質(zhì)輕、工作頻帶寬、能量單向傳遞等優(yōu)點，在振動控制領(lǐng)域得到學(xué)者的廣泛關(guān)注。工作原理為多自由度非線性振動系統(tǒng)在特定條件下會出現(xiàn)靶向能量傳遞現(xiàn)象(Targeted energy transfer，TET)[3]，或者能量泵浦現(xiàn)象(Energy pump)現(xiàn)象[4]，從而可實現(xiàn)非線性振動系統(tǒng)的減振[5－6]。王杰[7]等針對一種新型非線性微振動流體隔振器的Octo-strut平臺，對其振動耦合性、安全冗余性等動力學(xué)特性進行了理論分析和數(shù)值仿真驗證。張新華和曹保鋒[8]基于非線性模態(tài)動力學(xué)理論，針對一個兩自由度非線性振動系統(tǒng)，給出了其頻能圖以及內(nèi)共振情形下的局部化非線性模態(tài)。Yao 等[9]研究了接地NES 對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減振問題。Tian等[10]研究了利用NES對三維梯形機翼的非線性氣動彈性行為的振動抑制問題。李爽等[11]研究艦船設(shè)備受外部沖擊激勵擾動時NES 的振動抑制效果。劉艮和張偉[12]利用NES對在航空航天領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的懸臂矩形板進行減振研究。王菁菁等[13]對一個兩自由度主體結(jié)構(gòu)附加SSVI 軌道NES 進行了理論分析、數(shù)值優(yōu)化和試驗驗證。劉濤等[14]通過線性減振彈簧構(gòu)建具有NES的Duffing振子，提出一種切實可行的NES 減振系統(tǒng)構(gòu)建方法。Geng 等[15]提出了帶有分段線性彈簧的有限非線性能量吸收器。Gomez等[16]開展了基于NES的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地震響應(yīng)振動抑制的優(yōu)化設(shè)計研究。

本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，利用NES 技術(shù)的優(yōu)勢，采用NES 對彈性支承梁進行振動抑制研究，分析了在不同參數(shù)下，彈性支承梁的非線性主共振動力響應(yīng)?；谀芰糠▌t，得到了彈性支承梁及NES耗散能量隨時間變化的關(guān)系圖，分析了NES 的能量耗散效果。

1 數(shù)學(xué)模型及控制方程

圖1 為軸力作用下彈性支承梁，并附加NES 進行振動抑制。其中梁假定為Euler-Bernoulli梁，不可伸長且忽略其扭轉(zhuǎn)和剪切變形。

圖1 附加NES彈性支承梁振動抑制系統(tǒng)示意圖

基于Hamilton原理，考慮軸力、彈性支座和外激勵作用，可得受控梁的運動方程為[17－18]：

邊界條件為：

其中：v和y分別表示受控梁和NES 的位移，m、c分別表示梁的線密度、阻尼，E為梁的彈性模量，A為梁的橫截面積，l為梁的長度，p(t)為軸向作用力，kc為梁的彈性剛度系數(shù)，I為截面慣性矩，f、Ω分別為外激勵的幅值和頻率，k、ξ、mNES分別表示非線性能量阱的非線性剛度、阻尼系數(shù)和質(zhì)量，δ是Kronecker函數(shù)。

運用Galerkin方法對位移函數(shù)v(x,t)進行展開：

其中：φn(x)為振型函數(shù)，表達式如下[17]：

其中：ri由以下超越方程給出：

將式(4)代入式（1）、式（2），并進行Galerkin 積分，可以得到：

其中：

2 數(shù)值仿真

本節(jié)研究不同參數(shù)下NES 對彈性支承梁的非線性主共振的振動抑制效果，即Ω=ωn+σ，(σ為調(diào)諧參數(shù))。運用能量法對受迫激勵下系統(tǒng)總能量、NES耗散的能量、外部輸入能量進行分析。梁的幾何尺寸和材料特性參數(shù)選取如下：

根據(jù)能量準(zhǔn)則[2,18]，系統(tǒng)總能量為：

輸入能量是總能量在零時刻的值與外部激勵提供的能量的總和，其表達式為：

其中：

NES耗散的能量為：

假定μ=0.012，f=0.008。取NES參數(shù)為：k=10，ξ=0.06，σ=0.46，xc =L/4，比較NES 質(zhì)量比ε對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，分別取ε為0.05、0.1和0.2，得到梁的響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2 不同ε值下帶NES主共振響應(yīng)對比圖

設(shè)定ε=0.01,xc=L/8，其他參數(shù)不變，分析非線性剛度對結(jié)構(gòu)的影響。取NES 的非線性剛度系數(shù)為100、300 和500，得到3 種取值下的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)如圖3 所示。圖2 是不同ε值、k值下附加了NES 的彈性支承梁時程曲線。從中可知，NES質(zhì)量越大，其減振效果更好。而從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)，隨著非線性剛度的改變，梁的振動幅值變化并不明顯。

圖3 不同k值下帶NES主共振響應(yīng)對比圖

取不同阻尼系數(shù)值ξ=0.05、0.07、0.09，設(shè)定k=100，ε=0.01，xc =L/4，彈性支承梁在不同阻尼系數(shù)下的響應(yīng)曲線如圖4所示?？梢钥闯鯪ES的阻尼對主結(jié)構(gòu)減振起到主要作用，阻尼比越大效果較好。

設(shè)定ξ=0.06，ε=0.01，k=200，得到NES 處于梁不同位置時的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)如圖5 所示。可以得知，NES 在梁的L/8 和L/4 處的減振效果比L/2 處的更好。從圖4 和圖5 可以看出，當(dāng)NES 參數(shù)選取合理時，NES減振效果顯著。

圖4 不同ξ值下帶NES主共振響應(yīng)對比圖

圖5 NES不同安裝位置時主共振響應(yīng)對比圖

圖6 為系統(tǒng)能量圖。輸入能量、總能量和NES消耗能量之間的關(guān)系是Etot=EInput-。其中，Etot為系統(tǒng)總能量，為NES耗散能量，EInput為輸入能量?？傁到y(tǒng)在附加NES 的情況下，能量明顯減少。輸入能量和總能量的走勢大致相同，NES 消耗的能量在t=10 s 時有一個小高峰，之后趨于平穩(wěn)，NES 對主結(jié)構(gòu)振動起到了明顯抑制作用。

圖6 系統(tǒng)能量圖

3 結(jié)語

本文研究了NES 作用下彈性支承梁主共振的振動抑制，運用能量法分析得到了該系統(tǒng)能量變化規(guī)律。通過數(shù)值仿真，得出結(jié)果如下：

(1)采用NES可以有效抑制其大幅振動，其主共振響應(yīng)受非線性能量各參數(shù)影響；

(2)調(diào)整NES非線性剛度、阻尼、質(zhì)量和位置，可以得到較好的振動抑制效果；

(3)非線性剛度和質(zhì)量對減振幅值影響較小，僅使時程曲線產(chǎn)生偏移，幅值上沒有明顯變化。起主要抑制振動作用的元器件是阻尼部分，由結(jié)果可以看出，隨著阻尼比增大，減振效果越來越好。