未知系統(tǒng)周期激勵(lì)源分離方法的有效性分析

應(yīng)祖光，倪一清，王友武

（1.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027；2. 香港理工大學(xué) 土木及環(huán)境工程學(xué)系 國(guó)家軌道交通工程技術(shù)研究香港分中心，香港 九龍）

復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的故障診斷是一個(gè)重要的實(shí)際問題。復(fù)雜系統(tǒng)難以準(zhǔn)確建模，因系統(tǒng)不確定或模型未知。系統(tǒng)故障導(dǎo)致結(jié)構(gòu)變異，由此產(chǎn)生的激勵(lì)（例如動(dòng)力系統(tǒng)的偏心作用）需要診斷而且是未知的，同時(shí)環(huán)境動(dòng)力激勵(lì)也不確定或未知。已知信息僅為測(cè)量獲得的系統(tǒng)響應(yīng)。因此，形成一個(gè)基于測(cè)量響應(yīng)的未知系統(tǒng)模型、未知激勵(lì)的激勵(lì)源分離或識(shí)別問題，系統(tǒng)與激勵(lì)的雙重未知性決定了其不同于傳統(tǒng)問題，而具有一定的挑戰(zhàn)性。解決此問題通常有兩種途徑，一種是綜合利用先驗(yàn)概率和當(dāng)前觀測(cè)信息按照概率統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行估計(jì)，另一種是僅用當(dāng)前觀測(cè)信息直接作估計(jì)，它更為簡(jiǎn)便，但相應(yīng)方法需要可靠的理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[1]給出一個(gè)基于測(cè)量響應(yīng)2階事件統(tǒng)計(jì)的信號(hào)源分離基本方法，文獻(xiàn)[2]分析說明該方法可用于分離循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)源。文獻(xiàn)[3]和[4]將該分離方法應(yīng)用于多自由度系統(tǒng)，利用自由振動(dòng)響應(yīng)識(shí)別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，文獻(xiàn)[5]運(yùn)用該方法結(jié)合小波變換法分離系統(tǒng)模態(tài)，但是分離方法要求測(cè)量響應(yīng)個(gè)數(shù)不能少于自由度數(shù)。文獻(xiàn)[6]討論分離方法中聯(lián)合對(duì)角化所用相關(guān)函數(shù)的時(shí)延選擇，文獻(xiàn)[7]說明該分離方法可較好地消除環(huán)境因素對(duì)于模態(tài)識(shí)別的影響，從而可將識(shí)別的系統(tǒng)模態(tài)用于健康監(jiān)測(cè)。文獻(xiàn)[8]將該分離方法應(yīng)用于動(dòng)力支承結(jié)構(gòu)缺陷診斷，文獻(xiàn)[9]和[10]給出該分離方法在齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的故障診斷等中的初步應(yīng)用研究。然而，這些研究中尚存在一些基本問題，例如事件統(tǒng)計(jì)與時(shí)域統(tǒng)計(jì)概念混用、缺乏充分的分離有效性理論分析、實(shí)際模態(tài)數(shù)超過測(cè)點(diǎn)數(shù)、模態(tài)激勵(lì)非獨(dú)立源導(dǎo)致不滿足方法條件等，它們給分離方法的有效應(yīng)用與發(fā)展造成很大障礙。另外的分離方法例如獨(dú)立分量法等也存在一定問題。因此，需要進(jìn)一步對(duì)該源分離方法進(jìn)行研究使其得到深入發(fā)展。

本文主要對(duì)基于測(cè)量響應(yīng)的未知系統(tǒng)模型、未知激勵(lì)的激勵(lì)源分離有效性作理論分析，并基于時(shí)域統(tǒng)計(jì)說明分離方法的原理與條件。該分離方法先用測(cè)量所得響應(yīng)構(gòu)造時(shí)域相關(guān)函數(shù)，通過奇異值分解確定主要激勵(lì)源相關(guān)特征值與特征變換，再通過聯(lián)合對(duì)角化確定響應(yīng)的激勵(lì)源混合系數(shù)，從而得到分離的時(shí)域激勵(lì)，同時(shí)給出周期激勵(lì)源分離的有效性分析。然后，將該方法應(yīng)用于多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，說明如何基于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分離出不同頻率的激勵(lì)。最后給出數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)該基于響應(yīng)的未知系統(tǒng)、未知激勵(lì)的激勵(lì)源分離效果與準(zhǔn)確性。

1 源分離問題與分離方法有效性分析

以動(dòng)力系統(tǒng)為例，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為周期激勵(lì)的線性組合，同時(shí)包含一定測(cè)量噪聲，其關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)為：

式中：Y是k維響應(yīng)向量，F(xiàn)是n維激勵(lì)向量，H稱為混合陣，表達(dá)各激勵(lì)到響應(yīng)的傳遞率關(guān)系，W是k維測(cè)量噪聲向量，I是單位陣。式(1)所描述的激勵(lì)源分離問題為：由測(cè)量響應(yīng)Y確定未知的激勵(lì)源F和混合陣H。該源分離問題的特點(diǎn)是系統(tǒng)與激勵(lì)均未知。假定：(1)激勵(lì)F中各周期源相互獨(dú)立，即具有不同的頻率；(2)噪聲W中各元素為獨(dú)立的白噪聲，其均值均為零，且時(shí)域不相關(guān)；(3)測(cè)量響應(yīng)數(shù)k大于或等于激勵(lì)源數(shù)n。式(1)中，因激勵(lì)源F幅值與混合陣H列向量為相乘關(guān)系，故源幅值不能直接確定，可設(shè)為單位值。

定義響應(yīng)Y(t)與Y(t+τ)（τ為延時(shí)）的時(shí)域相關(guān)函數(shù)為：

式中：Ts是響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)。類似地，可定義激勵(lì)F的時(shí)域相關(guān)函數(shù)CF(τ)與噪聲W的時(shí)域相關(guān)函數(shù)CW(τ)。通常Ts越大，相關(guān)函數(shù)值越穩(wěn)定，周期函數(shù)沒有事件統(tǒng)計(jì)特征但有時(shí)域相關(guān)值，隨機(jī)噪聲的時(shí)域相關(guān)函數(shù)當(dāng)Ts很大時(shí)接近于事件統(tǒng)計(jì)值。

式(1)所描述激勵(lì)源分離問題的分離方法包括如下兩個(gè)主要部分。首先，根據(jù)響應(yīng)相關(guān)函數(shù)的奇異值分解確定主要激勵(lì)源的特征值，并對(duì)響應(yīng)作特征變換。將式(1)代入式(2)得相關(guān)函數(shù)關(guān)系（τ=0時(shí)）：

基于假定，CF(0)與CW(0)分別接近于對(duì)角陣，其值相應(yīng)于CY(0)的特征值，故由CY(0)的奇異值分解可確定其特征方向，大于一定值的特征值個(gè)數(shù)即為有效激勵(lì)源數(shù)n。因YYT的維數(shù)大于或等于FFT，則CY(0)可能存在接近零的特征值，相應(yīng)的特征空間可壓縮。假定測(cè)量噪聲強(qiáng)度相對(duì)較小，則其相應(yīng)的特征值也較小，可從中消除。設(shè)CY(0)經(jīng)奇異值分解并壓縮后的特征值對(duì)角陣為Λ、正交陣為U，引入變換：

它將響應(yīng)Y變換到激勵(lì)F的特征方向，且有：

式中：Λ0與U0分別是CY(0)奇異值分解的壓縮前特征值對(duì)角陣、正交陣，IF是單位陣。則變換后向量Z的相關(guān)函數(shù)具有單位特征值，激勵(lì)源被均衡化，但仍然不能確定時(shí)域激勵(lì)F和混合陣H。

其次，通過向量Z時(shí)延相關(guān)函數(shù)的聯(lián)合對(duì)角化確定混合陣，從而得到分離的時(shí)域激勵(lì)源。由式(4)和式(1)得時(shí)延相關(guān)函數(shù)：

基于假定，噪聲時(shí)域不相關(guān)故CW(τ)接近于零陣，而CF(τ)為對(duì)角陣，故可由CZ(τ)對(duì)角化的正交陣確定TH，得到混合陣H。然而，一個(gè)CZ(τ)對(duì)角化的正交陣是不確定的，需要多個(gè)CZ(τ)的聯(lián)合對(duì)角化。選擇m個(gè)延時(shí)τ=τ1,τ2,…,τm，對(duì)相關(guān)函數(shù)陣CZ(τ)進(jìn)行聯(lián)合對(duì)角化，即通過正交變換V使變換后VCZ(τi)VT的非對(duì)角元絕對(duì)值之和極小，確定正交陣V。則比較它與式(6)得：

于是，利用式(4)得到混合陣：

由式(1)得到激勵(lì)源的估計(jì)：

總之，基于測(cè)量響應(yīng)Y，構(gòu)造時(shí)域相關(guān)函數(shù)，通過奇異值分解與聯(lián)合對(duì)角化得到正交陣U和V，由式(8)和式(9)即可確定分離的未知激勵(lì)源F和混合陣H。為保證分離效果，測(cè)量響應(yīng)的采樣頻率需適當(dāng)，太低可能遺漏高頻激勵(lì)，太高將增加測(cè)量噪聲影響，采樣時(shí)長(zhǎng)需包含足夠周期激勵(lì)信息。

上述分離方法的重要基礎(chǔ)是激勵(lì)F的相關(guān)函數(shù)為對(duì)角陣，故其有效性主要取決于相關(guān)函數(shù)陣CF(τ)的特性。設(shè)周期激勵(lì)源為：

式中：aj是幅值，θj是初相位，ωj是頻率（其值對(duì)不同j不相等）。則CF(τ)的對(duì)角元為：

非對(duì)角元為：

可見，相關(guān)函數(shù)陣CF(τ)隨采樣時(shí)長(zhǎng)Ts增加而趨向于對(duì)角陣，從而保證分離有效。式(11)表明CF(τ)的對(duì)角元隨時(shí)延呈周期性變化，故在前半周取延時(shí)τ值用于聯(lián)合對(duì)角化即可。

2 振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)源分離與數(shù)值模擬、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

設(shè)多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，方程為：

式中：X是位移向量，M、C、K分別是質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣與剛度矩陣，F(xiàn)是獨(dú)立的激勵(lì)向量，P是其位置參數(shù)陣。周期激勵(lì)F第j個(gè)元素如式(10)所示，頻率為ωj。則位移X的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

式中：P.j是P的第j列向量式(14)加上測(cè)量噪聲即為式(1)，故可基于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)按照上述方法分離未知激勵(lì)源F，并確定混合陣H，獲得各激勵(lì)到響應(yīng)的傳遞率關(guān)系。

數(shù)值模擬以3 自由度系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)方程式(13)中無量綱質(zhì)量M為單位陣，無量綱剛度陣：

瑞利阻尼C=0.02M+0.01K，兩個(gè)無量綱激勵(lì)參數(shù)a1=1，a2=0.5，ω1=0.9 rad?s-1，ω2=0.5 rad?s-1，θ1=0.349 rad，θ2=0，激勵(lì)分別作用于第一自由度與第二自由度，測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.001。

通過模擬計(jì)算得到3個(gè)自由度的無量綱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖1至圖3所示，它們?yōu)榉呛?jiǎn)單的周期響應(yīng)。僅以該響應(yīng)作為未知系統(tǒng)及激勵(lì)的已知量，按照上述方法分離[即式(9)]可得到2 個(gè)無量綱激勵(lì)源分別如圖4、圖5所示，它們?yōu)椴ㄐ魏?jiǎn)單的周期源，通過傅里葉變換得其頻率分別等于ω1、ω2，與系統(tǒng)周期激勵(lì)頻率完全一致，故圖4 和圖5 所示的分離結(jié)果為原激勵(lì)，但注意到式(1)所描述激勵(lì)源分離問題的特點(diǎn)，激勵(lì)源與混合系數(shù)為相乘關(guān)系，其幅值可以包含在混合系數(shù)中，故不能確定。

圖1 第一自由度響應(yīng)x1

圖2 第二自由度響應(yīng)x2

圖3 第三自由度響應(yīng)x3

圖4 分離的第一激勵(lì)源f1

圖5 分離的第二激勵(lì)源f2

類似地，混合系數(shù)的絕對(duì)值也不能確定，但可歸一化后比較確定其精度。通過分離得到式(8)的無量綱混合陣按第一行歸一化后為：

由式(14)和式(15)計(jì)算得到原系統(tǒng)的實(shí)際混合陣為：

比較可知混合系數(shù)的最大相對(duì)誤差為5.8%，故分離得到的混合陣具有很好的精度。總之，上述方法能僅基于響應(yīng)有效地分離出未知周期激勵(lì)源，并較準(zhǔn)確地確定混合系數(shù)，得到激勵(lì)到響應(yīng)的傳遞率關(guān)系。

此外，按響應(yīng)相關(guān)函數(shù)與噪聲相關(guān)函數(shù)之比的對(duì)數(shù)定義信噪比SNR，可得到通過分離確定的混合系數(shù)與信噪比的關(guān)系，圖6 展示了混合陣H中第二行第一列元素h21隨SNR 增加的變化，當(dāng)SNR＞20時(shí)，其值基本保持恒定，說明該分離方法的魯棒性。

圖6 分離的混合系數(shù)h21隨SNR變化

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型為圖7所示的5層框架結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)固定，各層為集中質(zhì)量，層間具有一定剛度與阻尼。第一層、第五層分別受到激振器的水平激勵(lì)，各層的水平位移由激光傳感器測(cè)量。根據(jù)上述分離方法，無需知道結(jié)構(gòu)的具體情況。實(shí)驗(yàn)時(shí)，兩個(gè)周期激勵(lì)的頻率分別為ω1=10 Hz，ω2=2 Hz，響應(yīng)的采樣頻率為600 Hz。首先，測(cè)得第二層、第三層、第四層的位移響應(yīng)分別如圖8 至圖10 所示，為非簡(jiǎn)單的周期響應(yīng)。然后，僅以該響應(yīng)作為已知量，按照上述方法分離得到2個(gè)無量綱激勵(lì)源分別如圖11、圖12所示，再對(duì)其作傅里葉變換并轉(zhuǎn)化為功率，得到功率譜分別如圖13、圖14 所示，可見它們?yōu)轭l率ω1、ω2的周期源，故為原結(jié)構(gòu)的兩個(gè)激勵(lì)，其幅值包含在混合系數(shù)中。因此，該實(shí)驗(yàn)完全證實(shí)了在有效性條件下上述激勵(lì)源分離方法的準(zhǔn)確性。

圖7 5層框架結(jié)構(gòu)

圖8 第二層位移響應(yīng)x2

圖9 第三層位移響應(yīng)x3

圖10 第四層位移響應(yīng)x4

圖11 分離的第一激勵(lì)源f1

圖12 分離的第二激勵(lì)源f2

圖13 分離的第一激勵(lì)源功率譜(PSD)

圖14 分離的第二激勵(lì)源功率譜(PSD)

3 結(jié)語

本文介紹了一種僅用測(cè)量響應(yīng)的未知系統(tǒng)模型、未知激勵(lì)的直接時(shí)域激勵(lì)源分離方法，基于時(shí)域統(tǒng)計(jì)概念說明了該方法的原理與條件，并給出周期激勵(lì)源分離的有效性理論分析。該分離方法包括兩個(gè)主要部分：先用測(cè)量響應(yīng)構(gòu)造時(shí)域相關(guān)函數(shù)，由響應(yīng)無時(shí)延相關(guān)函數(shù)的奇異值分解確定主要激勵(lì)源的特征值，并對(duì)響應(yīng)作特征變換；再利用將響應(yīng)經(jīng)特征變換后所得的向量構(gòu)造時(shí)延相關(guān)函數(shù)，通過不同時(shí)延相關(guān)函數(shù)的聯(lián)合對(duì)角化確定混合系數(shù)陣，從而得到分離的時(shí)域激勵(lì)源。然后，將該方法應(yīng)用于多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，闡述了如何基于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分離出不同頻率的激勵(lì)。最后通過數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)證實(shí)了該基于響應(yīng)的未知系統(tǒng)、未知激勵(lì)的激勵(lì)源分離方法的有效性、分離的時(shí)域激勵(lì)與混合系數(shù)的準(zhǔn)確性及對(duì)于測(cè)量噪聲的魯棒性等。