關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的運(yùn)動學(xué)建模

于連棟 ，曹家銘 ，趙會寧 *，賈華坤 ，蒲 松

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽合肥230009；2. 測量理論與精密儀器安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽合肥230009）

1 引 言

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)是一種高精度的幾何量測量儀器，相較于傳統(tǒng)的正交式三坐標(biāo)測量機(jī)，具有測量范圍大、質(zhì)量輕、便攜性好等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于汽車制造、航空航天、大型零件制造等領(lǐng)域［1］。

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)在結(jié)構(gòu)上與工業(yè)機(jī)器人的相似，因此人們在機(jī)器人運(yùn)動學(xué)建模方法的基礎(chǔ)上，改進(jìn)并建立其運(yùn)動學(xué)模型。目前，DH 模型被認(rèn)為是最經(jīng)典的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)建模理論［2］，但當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)軸線相互平行時，傳統(tǒng)的四參數(shù)DH 模型無法準(zhǔn)確地描述相鄰關(guān)節(jié)之間的結(jié)構(gòu)參數(shù)且存在病態(tài)性。Hayati 等［3］提出了一種改進(jìn)的四參數(shù)DH 模型，以克服兩個相鄰關(guān)節(jié)軸線平行或接近平行時出現(xiàn)的病態(tài)性。在經(jīng)典四參數(shù)DH模型的基礎(chǔ)上，Veitschegger 等［4］通過增加一項(xiàng)繞y軸結(jié)構(gòu)參數(shù)，提出了一種改進(jìn)的五參數(shù)DH 模型。Zhuang 等［5］以 CPC（Complete and Parametri?cally Continuous）模型為基礎(chǔ)，提出了一種直接從運(yùn)動學(xué)模型中識別未知運(yùn)動學(xué)參數(shù)的方法。He 等［6］以 POE（Product of Exponential）模型為基礎(chǔ)，提出了一種參數(shù)校準(zhǔn)模型；Liu 等［7］在 Local POE 模型的基礎(chǔ)上，提出了一種基于位置測量的結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定模型，并以SCARA 機(jī)器人和5DOF 鉆床為例開展了實(shí)驗(yàn)，通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該校準(zhǔn)模型的有效性。Zhao 和 Jiang 等［8-9］分別采用廣義幾何誤差模型減少非幾何參數(shù)誤差對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)或者機(jī)器人精度的影響。Feng 等［10］在利用模擬退火算法優(yōu)化的 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上，提出了一種關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)長度誤差修正模型。

但上述關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)或者機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型中僅包含結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，未考慮旋轉(zhuǎn)軸的誤差運(yùn)動對測量精度的影響。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)因其串聯(lián)式結(jié)構(gòu)，旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差運(yùn)動對其精度的影響呈放大效應(yīng)。

為進(jìn)一步提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的測量精度，本文研究了旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差運(yùn)動分離方法并搭建測試系統(tǒng)，并在DH 模型的基礎(chǔ)上，提出了一種具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差運(yùn)動補(bǔ)償?shù)年P(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)運(yùn)動學(xué)建模方法，建立了基于空間距離的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差標(biāo)定模型。最后，開展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的有效性。

2 傾斜誤差測試與分離

理想情況下，旋轉(zhuǎn)軸只有一個繞z軸旋轉(zhuǎn)的自由度，其他5 個自由度均受到約束，即旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動不存在誤差。但在實(shí)際情況中，由于旋轉(zhuǎn)軸零部件的加工、裝配、溫度及使用磨損等誤差的存在，旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動情況與理想狀態(tài)之間存在差異，有 6 項(xiàng)運(yùn)動誤差（徑向誤差δx和δy，軸向誤差δz，傾斜誤差εx和εy和角定位誤差εz），如圖 1 所示。本文僅研究旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)測量精度的影響。

圖1 旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動誤差Fig.1 Motion errors of rotation axis

2.1 傾斜運(yùn)動誤差測試

對于旋轉(zhuǎn)軸傾斜運(yùn)動誤差的測試，國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB1801-93《慣性技術(shù)測試設(shè)備主要性能試驗(yàn)方法》［11］中已明確規(guī)定旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差的測試方法，即水平儀法和自準(zhǔn)直儀法。本文使用自準(zhǔn)直儀配合平面反射鏡對旋轉(zhuǎn)軸的傾斜誤差進(jìn)行測量。

旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差測試系統(tǒng)如圖2 所示，由自準(zhǔn)直儀、平面反射鏡、被測旋轉(zhuǎn)軸（主軸及軸套）和支撐架組成。測試過程中，自準(zhǔn)直儀、平面反射鏡和主軸需保持共線，測試主軸與軸套之間因加工等誤差而產(chǎn)生的傾斜誤差。

圖2 傾斜誤差測試原理Fig.2 Measuring principle of rotation axis tilt error

主軸和輔助夾具通過螺紋進(jìn)行配合。平面反射鏡及其調(diào)整機(jī)構(gòu)固定在輔助夾具上，控制調(diào)整機(jī)構(gòu)使得平面反射鏡的回光十字靶標(biāo)盡可能地位于自準(zhǔn)直儀的視場中心，并保證在主軸旋轉(zhuǎn)一周的情況下，十字靶標(biāo)均在自準(zhǔn)直儀的視場中。

為保證數(shù)據(jù)處理效果及繪制曲線的準(zhǔn)確性及重復(fù)性，需按照固定轉(zhuǎn)動角度旋轉(zhuǎn)被測旋轉(zhuǎn)軸，并記錄圓光柵傳感器的讀數(shù)θi以及自準(zhǔn)直儀在x和y方向的讀數(shù)。

2.2 傾斜誤差分離方法

通常情況下，自準(zhǔn)直儀、平面反射鏡和旋轉(zhuǎn)軸相互之間存在安裝誤差，需要進(jìn)行剔除。將自準(zhǔn)直儀的二維測量數(shù)據(jù)（x和y兩個方向）中的一階項(xiàng)進(jìn)一步分解為旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動誤差產(chǎn)生的一階項(xiàng)和平面反射鏡安裝誤差所造成的一階項(xiàng)兩個部分，從而更準(zhǔn)確地評估旋轉(zhuǎn)軸的傾斜誤差［12］。

基坐標(biāo)系o0x0y0z0固定在自準(zhǔn)直儀上，o0z0方向與自準(zhǔn)直儀的軸向方向重合，坐標(biāo)系符合右手定則，軸套坐標(biāo)系o1z1與o0z0的夾角為Δβ，即自準(zhǔn)直儀安裝誤差。主軸坐標(biāo)系o2x2y2z2是在軸套坐標(biāo)系o1x1y1z1的基礎(chǔ)上，繞o1x1旋轉(zhuǎn)εx(θ)，再繞o1y1旋轉(zhuǎn)εy(θ)，最后繞o1z1軸轉(zhuǎn)動θ。平面反射鏡坐標(biāo)系o3x3y3z3是在主軸坐標(biāo)系o2x2y2z2的基礎(chǔ)上，繞o2x2旋轉(zhuǎn) Δ?x，再繞o2y2旋轉(zhuǎn)Δ?y。

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可知：

將式（1）展開，可得到：

式中：Δβy和 Δβx為自準(zhǔn)直儀繞著x和y軸的安裝誤 差 ，(Δ?y?cosθi+ Δ?x?sinθi)和 (Δ?y?sinθi-Δ?x?cosθi)為一階項(xiàng)。

因一階項(xiàng)由部分旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差及平面反射鏡安裝誤差共同組成，不能將一階項(xiàng)全部剔除，需要將一階項(xiàng)中的平面反射鏡安裝誤差剔除，保留一階項(xiàng)中的旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差。因此，將消除平面反射鏡及自準(zhǔn)直儀安裝誤差后獲得的旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差分別記為εx和εy。εx和εy隨旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動角度θi的變化而變化，存在一一映射關(guān)系，可表示為：

將εxi和εyi進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開：

3 新型運(yùn)動學(xué)建模方法

3.1 DH 模型

DH 模 型［2］是 由 Denavit 和 Hartenber 于 1955年提出的，廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人或者關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的運(yùn)動學(xué)建模。DH 模型通過齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣來確定相鄰桿件之間的相對位姿，如圖3 所示。

圖3 DH 模型連桿坐標(biāo)系Fig.3 Linkage coordinate system of DH model

式中：θi表示關(guān)節(jié)變量，li表示桿件長度，di表示偏置量，αi表示扭轉(zhuǎn)角。

3.2 旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差運(yùn)動補(bǔ)償方法

如圖4 所示，對各個旋轉(zhuǎn)軸的傾斜誤差進(jìn)行 補(bǔ) 償［13-17］，分 別 繞 著x和y方 向 旋 轉(zhuǎn)εxi和εyi，即可對旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差運(yùn)動造成的影響進(jìn)行補(bǔ)償。

圖4 傾斜誤差運(yùn)動補(bǔ)償方法Fig.4 Tilt error motion compensation method

建立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程：

因?yàn)棣舩和εy數(shù)值較小，對式（6）進(jìn)行簡化得到：

3.3 具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)模型

在DH 模型的基礎(chǔ)上，考慮到旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差對相鄰兩個坐標(biāo)架之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的影響，則其轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

式中：Areali為旋轉(zhuǎn)軸的實(shí)際坐標(biāo)系，Ai為旋轉(zhuǎn)軸的理想坐標(biāo)系。

因此，自主研制的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖5 所示。建立具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的運(yùn)動學(xué)模型：

圖5 具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)模型Fig.5 Kinematic modeling method with tilt error com?pensation of rotation axis

自主研制的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)旋轉(zhuǎn)軸圓光柵的物理零位和其建模零位不一致，存在零位誤差，需要進(jìn)一步修正，即有：

式中：Δθi為關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)旋轉(zhuǎn)軸圓光柵的物理零位與其建模零位之間的差值。

則式（4）和式（5）分別改寫為：

4 距離誤差標(biāo)定模型

因關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的零部件加工、裝配等誤差的存在，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的實(shí)際值和名義值之間存在差異，故關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的整機(jī)裝配完成后，需對其參數(shù)誤差進(jìn)行精確標(biāo)定［18-19］。為獲得關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)精確的結(jié)構(gòu)參數(shù)，以自制長度標(biāo)準(zhǔn)件作為距離誤差標(biāo)定的長度標(biāo)準(zhǔn)量，建立基于空間距離的參數(shù)誤差標(biāo)定模型。

自制長度標(biāo)準(zhǔn)件如圖6 所示，由石英棒及兩端的支撐座等零部件組成。石英棒的熱膨脹系數(shù)較小，熱穩(wěn)定性較高，受溫度變化的影響較小，被選作長度標(biāo)準(zhǔn)件主體。另外，支撐座上錐窩孔與關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)校準(zhǔn)測頭相匹配，采用自制長度標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集。

圖6 自制長度標(biāo)準(zhǔn)件Fig.6 Home-made length standard parts

假設(shè)兩點(diǎn)P1和P2相對于關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī) 的 基 坐 標(biāo) 系 (x0，y0，z0) 的 空 間 坐 標(biāo) 為P1i(x1i，y1i，z1i)，P2i(x2i，y2i，z2i)，則 兩 點(diǎn) 之 間 的 測量距離di為：

假 設(shè)P1i(x1i，y1i，z1i)，P2i(x2i，y2i，z2i)之 間 的空間距離名義值為l，可知測量距離和實(shí)際距離之間的差值vi為：

根據(jù)最小二乘原理，目標(biāo)函數(shù)為：

式（9）中共包含25 項(xiàng)待標(biāo)定參數(shù)，除去冗余參數(shù)，將其中 Δθ2~Δθ6，Δα1~Δα5，l1~l5，d2~d5，Zp這 21 項(xiàng)線性無關(guān)的參數(shù)記為b=為參數(shù)向量，其初值為b(0)=

利用L-M 算法即可求得參數(shù)向量b的最佳估計值。

5 實(shí) 驗(yàn)

5.1 旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差測試

利用圖2 所示測試系統(tǒng)，分別對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)6 個旋轉(zhuǎn)軸的傾斜誤差進(jìn)行實(shí)際測試，并在式（11）的基礎(chǔ)上，對各個旋轉(zhuǎn)軸的傾斜誤差測量結(jié)果進(jìn)行擬合。每個軸系進(jìn)行3 次傾斜誤差測試實(shí)驗(yàn)，以保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重復(fù)性。

因旋轉(zhuǎn)軸 3 和 5，4 和 6 的結(jié)構(gòu)相同，僅列出部分旋轉(zhuǎn)軸測試數(shù)據(jù)，旋轉(zhuǎn)軸1~4 的傾斜誤差測量結(jié)果、傅里葉級數(shù)擬合情況及殘差如圖7 所示。各個旋轉(zhuǎn)軸在x和y方向的傾斜誤差的原始數(shù)據(jù)和擬合后殘差如表1 所示。

圖7 部分旋轉(zhuǎn)軸的傾斜誤差測量結(jié)果及擬合曲線Fig.7 Measurement results and fitting curves of tilt error of part of rotating axes

表1 各旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差運(yùn)動原始數(shù)據(jù)及擬合殘差Tab.1 Original data and fitting residuals of tilt error of rotation axes （″）

由圖7 和表1 可知，各軸系旋轉(zhuǎn)軸的傾斜誤差擬合殘差結(jié)果均在0.50″以內(nèi)，原始數(shù)據(jù)和擬合曲線的貼合程度較高。

5.2 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

在關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的標(biāo)定過程中，為更加準(zhǔn)確地獲得參數(shù)向量b的最佳估計值，在其各關(guān)節(jié)處的采樣數(shù)據(jù)應(yīng)盡可能地覆蓋整個關(guān)節(jié)空間［21］。自制長度標(biāo)準(zhǔn)件兩錐窩孔之間的距離為749.481 mm，具體采樣策略如圖8所示：以關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的基坐標(biāo)系o-xyz為中心，將自制長度標(biāo)準(zhǔn)件分別放置于3 個位置，位 置 1 與oxy平 面 的 夾 角 為 45°、位 置 2 平 行 于oxy平面、位置 3 與oxy平面的夾角為 90°。

圖8 自制長度標(biāo)準(zhǔn)件的分布情況Fig.8 Distribution of home-made length standard parts

為更加準(zhǔn)確地獲得關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在其各關(guān)節(jié)處的采樣數(shù)據(jù)盡可能地覆蓋整個關(guān)節(jié)空間。參考ASME B4.22 關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)性能評價標(biāo)準(zhǔn)中的單點(diǎn)精度測試方法，每個位置采集800 組數(shù)據(jù)，共采集2 400 組數(shù)據(jù)。

以具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)模型作為整機(jī)建模方法，結(jié)合距離誤差標(biāo)定模型，利用L-M 算法求解出關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)標(biāo)定后的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2 所示。分別使用標(biāo)定前后的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)對自制長度標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行測量，測量誤差如圖9 所示。標(biāo)定前測量標(biāo)準(zhǔn)差為0.345 mm，標(biāo)定后測量標(biāo)準(zhǔn)差為0.037 mm，對比可知關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的測量誤差減小了近9/10。

表2 標(biāo)定后結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 The calibrated kinematic parameters

圖9 標(biāo)定前后測量自制長度標(biāo)準(zhǔn)件的測量誤差Fig.9 Measurement errors of home-made length stan?dard parts before and after calibration

5.3 對比實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)模型的有效性，分別使用DH 模型及具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)模型作為整機(jī)建模方法，以關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)作為圓心，將自制長度標(biāo)準(zhǔn)件均布放置于4 個不同的位置，每個位置測量50 組長度距離［22］，計算得到測量誤差，對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10 所示。最后，分別計算基于兩種不同運(yùn)動學(xué)模型的測量標(biāo)準(zhǔn)差。結(jié)果表明，具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)建模方法相比DH 模型，標(biāo)準(zhǔn)件的測量標(biāo)準(zhǔn)差由0.055 mm 減少到0.037 mm。

圖10 基于兩種不同模型的自制長度標(biāo)準(zhǔn)件測量結(jié)果比較Fig.10 Comparison of measurement results of homemade length standard parts based on two differ?ent models

6 結(jié) 論

針對旋轉(zhuǎn)軸系傾斜誤差對關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)測量精度的影響，本文在DH 模型的基礎(chǔ)上提出了一種具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)模型。以具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)模型作為整機(jī)建模方法，使用距離誤差標(biāo)定模型求解出關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差從0.345 mm（標(biāo)定前）降低至0.037 mm（標(biāo)定后）。對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于DH 模型，使用該模型作為整機(jī)建模方法的測量標(biāo)準(zhǔn)差從0.055 mm 減少到0.037 mm，有效地提高了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機(jī)的測量精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分證明了具有旋轉(zhuǎn)軸傾斜誤差補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動學(xué)模型的有效性。