基于二次重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法

潘懋舜，李利榮，胡永東，柯 凡，鞏朋成

（湖北工業(yè)大學(xué) 太陽能高效利用及儲(chǔ)能運(yùn)行控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430068）

0 引言

穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器可以隨著外界環(huán)境的變化而相應(yīng)地調(diào)整到合適的值，以保持波束主瓣形狀和指向基本不變，并在干擾方位設(shè)置信號(hào)陷阱，使得陣列接收的干擾能量可以忽略，從而讓陣列盡可能接收更多的期望信號(hào)。傳統(tǒng)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器僅在條件為理想時(shí)輸出增益較高，但在實(shí)際波束形成中，因?yàn)殛嚵械男畔㈦y以完整獲取導(dǎo)致陣列模型不完全匹配，使得輸出增益急劇下降。另外，當(dāng)存在嚴(yán)重陣列誤差時(shí)，部分算法的波束主瓣形狀和指向可能被改變，則期望信號(hào)將等同于干擾被部分或者完全消除，這種情況被稱為信號(hào)對(duì)消現(xiàn)象[1]。

傳統(tǒng)的穩(wěn)健波束形成算法在處理陣列模型失配的問題上存在著各種問題，例如，對(duì)角加載波束形成算法的加載量不易快速準(zhǔn)確獲取[2]，不確定類集算法的計(jì)算復(fù)雜度較高以及抗導(dǎo)向矢量較大失配的性能較弱[3?6]。針對(duì)上述缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[7]提出了一種構(gòu)造期望信號(hào)相關(guān)矩陣，結(jié)合信號(hào)子空間與協(xié)方差矩陣的快速估計(jì)導(dǎo)向矢量的穩(wěn)健波束形成算法，該算法能對(duì)抗較大導(dǎo)向矢量失配且計(jì)算復(fù)雜度低，但其主瓣抗干擾性能較差。文獻(xiàn)[8]利用子空間投影方法，能夠抵抗一定的導(dǎo)向矢量角度失配，且它適用范圍廣，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。但該方法抗干擾性能差，不能抵抗較大的角度失配，也不適用于低信號(hào)功率的情況，而且該算法必須提前預(yù)估子空間的維數(shù)。為了得到較理想的協(xié)方差矩陣和準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量，文獻(xiàn)[9]首先提出利用功率譜函數(shù)對(duì)角度的線性積分重新構(gòu)造出干擾加噪聲協(xié)方差矩陣（Interference and Noise Covariance Matrix，INCM），并結(jié)合凸優(yōu)化估計(jì)導(dǎo)向矢量，該算法抗失配性能良好，但仍然沒減少計(jì)算量。文獻(xiàn)[10]提出利用干擾相關(guān)矩陣得到干擾子空間，利用它與信號(hào)的正交性直接剔除接收數(shù)據(jù)期望信號(hào)成分，進(jìn)而重構(gòu)出INCM，并結(jié)合凸優(yōu)化估計(jì)導(dǎo)向矢量，與文獻(xiàn)[9]性能相差不大，但計(jì)算量仍然較大。

針對(duì)陣列失配的問題，本文提出了一種利用正交投影重構(gòu)陣列接收信號(hào)后，再使用積分重新構(gòu)造協(xié)方差矩陣的算法。該算法利用低分辨功率譜對(duì)干擾所在方位區(qū)間構(gòu)造干擾相關(guān)矩陣[4]，再對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解或者特征分解，得到干擾導(dǎo)向矢量子空間，在接收數(shù)據(jù)的同時(shí)，直接利用導(dǎo)向矢量的正交性將快拍中的期望信號(hào)去除，得到重建陣列接收信號(hào)及初步協(xié)方差矩陣[7]，接著利用該矩陣和Capon 功率譜對(duì)干擾所在區(qū)間積分構(gòu)造最終的INCM。利用與INCM 類似的重構(gòu)步驟得到期望協(xié)方差矩陣，并求得該矩陣的信號(hào)子空間，選取信號(hào)子空間中最合適的特征向量作為估計(jì)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。本文通過對(duì)求解噪聲子空間投影算子等理論的分析和設(shè)計(jì)相應(yīng)的仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文算法的可靠性。

1 窄帶信號(hào)模型

設(shè)陣列接收模型為等間距線性陣，每個(gè)陣元的位置相距d（d=0.5λ，λ為信號(hào)波長(zhǎng)），共由M個(gè)全向陣元構(gòu)成?？紤]窄帶信號(hào)源與接收陣列距離很遠(yuǎn)，則每個(gè)信號(hào)入射方向與線陣上任一陣元的夾角可看作相等。選取信號(hào)入射角度集合為{θl,l=0,1,2,…,P}，θ0的方向?yàn)槠谕盘?hào)方向，因此入射信號(hào)源的總數(shù)為l=P+1。則陣列的第k次快拍接收信號(hào)為：

式中：x(k)為M×1維接收信號(hào)向量；A=[a(θ0),a(θ1),a(θ2),…,a(θP)]H，為M×(P+1)的陣列導(dǎo)向矢量矩陣，a(θ0)為期望信號(hào)導(dǎo)向矢量，其余為干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量；s(k)=[s0(k),s1(k),s2(k),…,sN(k)]H為信號(hào)源矢量，(?)H代表共軛轉(zhuǎn)置；n(k)為復(fù)高斯白噪聲，與入射信號(hào)互不相關(guān)。那么陣元接收的采樣協(xié)方差矩陣可以表示為：

式中：為期望信號(hào)的功率，為第l個(gè)干擾的功率，l≠0；E{?}代表取期望；I為M維單位矩陣。一般Capon 最優(yōu)權(quán)矢量表示為：

然而在實(shí)際中，理想的協(xié)方差矩陣R以及無誤差的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量a(θ0)均難以獲得，所以計(jì)算權(quán)矢量時(shí)需要使用采樣協(xié)方差矩陣和名義導(dǎo)向矢量(θ0)替換上述值，則式（3）改寫為：

理論上，在快拍數(shù)取無窮大時(shí)，式（4）的值接近于理想值，但在實(shí)際應(yīng)用中，利用有限的快拍數(shù)不能得到理想?yún)f(xié)方差矩陣，并且期望信號(hào)的存在，使得高輸入SNR的條件下算法輸出增益降低。近些年出現(xiàn)的INCM 重構(gòu)類算法有效剔除了協(xié)方差矩陣中的期望信號(hào)，使得上述權(quán)值矢量計(jì)算更加準(zhǔn)確，但估計(jì)期望導(dǎo)向矢量的運(yùn)算量很大，這也是該類算法亟待解決的問題。本文所提算法在INCM 重構(gòu)類算法的基礎(chǔ)上[10?11]，減少了期望導(dǎo)向矢量的估計(jì)時(shí)間，相比傳統(tǒng)INCM 重構(gòu)類算法性能更優(yōu)。

2 等效信號(hào)子空間

本節(jié)是基于線性代數(shù)和子空間理論的一種理論應(yīng)用推導(dǎo)[12]。

假設(shè)空間中不包含噪聲，則陣列接收信號(hào)模型變?yōu)椋?/p>

可知x(k)為信號(hào)導(dǎo)向矢量矩陣A=[a(θ0),a(θ1),a(θ2),…,a(θP)]H中列向量的線性組合，由線性代數(shù)理論可知，x(k)屬于陣列信號(hào)導(dǎo)向矢量{a(θ0),a(θ1),a(θ2),…,a(θP) }張成的子空間，即：

式中：C 為復(fù)數(shù)域；把上述導(dǎo)向矢量a(θj)線性表示的集合稱為信號(hào)子空間。

在存在噪聲的環(huán)境中，由子空間投影理論知，x(k)可表示為它本身在信號(hào)子空間和噪聲子空間的投影之和，即：

3 基于重構(gòu)信號(hào)的INCM 重構(gòu)算法

與以往的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法不同，本文從重建陣列接收信號(hào)的角度來構(gòu)造INCM，比傳統(tǒng)INCM 重構(gòu)類算法更精確，并且利用與重構(gòu)INCM 相同的理論，得到期望協(xié)方差矩陣，并求得該矩陣的信號(hào)子空間用于估計(jì)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。仿真結(jié)果表明，同等條件下本文算法性能更優(yōu)。

3.1 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

對(duì)于一個(gè)接收陣列模型而言，其入射信號(hào)的數(shù)量是有限的，故它們的位置相對(duì)于整個(gè)入射區(qū)間是稀疏分布的。利用低分辨功率譜搜索能得到各信號(hào)所在的大致方位角扇區(qū)，并將整個(gè)區(qū)域Θ劃分為兩個(gè)互補(bǔ)的信號(hào)角扇區(qū)ΘI和非信號(hào)角扇區(qū)而信號(hào)角扇區(qū)ΘI包含多個(gè)信號(hào)，故可劃分為互不重疊的信號(hào)角扇區(qū)，且每個(gè)角扇區(qū)僅包含單個(gè)信號(hào)。定義Θs和Θi分別為期望信號(hào)角扇區(qū)和干擾角扇區(qū)，且ΘI=Θs+Θi。根據(jù)已知陣列的結(jié)構(gòu)，定義矩陣Qi為：

式中：Θi表示包含干擾的角扇區(qū)(θ)表示陣列導(dǎo)向矢量?？芍猀i包含了干擾區(qū)域的空間信息，將Qi特征分解得到：

式中：Σ=diag[γ1,γ2,…,γM]，Y=[y1,y2,…,yM]分別為對(duì)角矩陣和酉矩陣。由本文第2 節(jié)介紹的等效信號(hào)子空間理論可知，Y中前L個(gè)較大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的子空間Y1=[ ]y1,y2,…,yL，L

式中：j=1,2,…,P，P代表干擾信號(hào)的總數(shù)。因此，可以利用只剔除接收信號(hào)中的期望信號(hào)而保留干擾信號(hào)。式（15）的值與零的接近程度等價(jià)于a(θi) 與子空間Y1的正交程度，而這由L的選取決定，一般L的選擇要保證Y1≠I。本文的仿真實(shí)驗(yàn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇L=5。因此，利用式（15）可以直接從接收信號(hào)的快拍中消除期望信號(hào)分量，達(dá)到重構(gòu)陣列接收信號(hào)和無期望信號(hào)的協(xié)方差矩陣的目的，即：

3.2 期望信號(hào)協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導(dǎo)向矢量估計(jì)

本小節(jié)利用已知先驗(yàn)信息，構(gòu)造期望信號(hào)相關(guān)矩陣，利用干擾在該矩陣的等效信號(hào)子空間投影為零，重建只含期望成分的陣列接收信號(hào)，利用重構(gòu)的陣列接收信號(hào)得到期望協(xié)方差矩陣，從而得到期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。

取期望信號(hào)所在的角扇區(qū)Θs=[θ0-Δθ,θ0+Δθ]，Θs?ΘI，Δθ為包含期望信號(hào)的區(qū)間寬度。利用該區(qū)間和陣列導(dǎo)向矢量構(gòu)造一個(gè)包含期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量相關(guān)矩陣Qs，顯然，它基本包含了全部的期望信號(hào)成分，且假定該區(qū)間無干擾成分，則該矩陣的計(jì)算表達(dá)式如下：

4 仿真分析

為了考察本文算法的綜合性能，將本文算法與下列算法比較：對(duì)角加載（DL）、基于特征子空間波束形成（EIG）、導(dǎo)向矢量校正方法（RCBD）[4]、協(xié)方差矩陣重構(gòu)（INCR）[6]。在仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)陣列接收模型為一個(gè)相鄰陣元間距為d=λ2 的線陣，陣元數(shù)為M=10，其中，λ是信號(hào)的波長(zhǎng)；噪聲矢量設(shè)定為服從N(0,12)的高斯分布。信號(hào)與信號(hào)、信號(hào)與噪聲之間彼此無影響，是獨(dú)立的。此外，為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，在保證每次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立的情況下，將實(shí)驗(yàn)重復(fù)100 次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為100 次實(shí)驗(yàn)值相加的平均值。

實(shí)驗(yàn)一：算法的波束圖對(duì)比

參數(shù)設(shè)置如下：期望信號(hào)入射角為θs=0°，角度誤差為5°，輸入SNR 分別為5 dB 和20 dB，采樣快拍數(shù)為200，兩個(gè)干擾信號(hào)入射角為-40°，50°，其干噪比（Interference and Noise Ratio，INR）均為30 dB。期望信號(hào)分布區(qū)間為Θs=[θs-5°,θs+5°]，干擾信號(hào)分布區(qū)間為Θ1=[θ1-5°,θ1+5°]，Θ2=[θ2-5°,θ2+5°]。

圖1a）表示輸入SNR=20 dB 時(shí)各算法波束圖。從中可以看出，本文算法與EIG 算法、RCBD 算法的主瓣波束均能指向真實(shí)的期望信號(hào)方向，但本文算法高抗干擾能力與DL 算法接近。由于EIG 算法、RCBD 算法是基于信號(hào)子空間的算法，當(dāng)期望信號(hào)較強(qiáng)時(shí)，對(duì)干擾的抑制能力較弱。INCR 算法的主瓣波束指向與真實(shí)方向仍存在較小誤差，而DL 算法雖然能準(zhǔn)確的在干擾位置形成較深的零陷，但主瓣指向與真實(shí)的期望信號(hào)方向存在較大偏差，說明期望信號(hào)被部分抑制。

圖1b）表示輸入SNR=0 dB 時(shí)各算法波束圖，從中可以看出，本文算法與INCR 算法、DL 算法波束形狀基本不變，但EIG 算法和RCBD 算法的零陷加深了，說明它們?cè)谳^低信噪比條件下的抗干擾能力較強(qiáng)。

圖1 干擾位置分別為-40°，50°的波束圖對(duì)比

實(shí)驗(yàn)二：輸入SNR 和輸出SINR 關(guān)系

參數(shù)設(shè)置：圖2輸入SNR的變化范圍設(shè)為-20～50 dB，其他參數(shù)與實(shí)驗(yàn)一相同。

圖2表示各算法輸入SNR和輸出SINR關(guān)系圖。圖2a）表示無導(dǎo)向矢量失配時(shí)各算法輸出SINR 關(guān)系圖，EIG、DL、RCBD 算法因?yàn)閰f(xié)方差矩陣含期望成分，所有在高SNR 情況下的不再上升。圖2b）表示考慮存在導(dǎo)向矢量失配時(shí)輸入SNR 較低的條件下，RCBD 算法的輸出SINR比其他算法低，因?yàn)槠谕盘?hào)導(dǎo)向矢量估計(jì)不夠準(zhǔn)確。當(dāng)輸入SNR 較高時(shí)，本文與INCR 算法的輸出SINR 較高，但本文算法略高，因?yàn)楸疚乃惴?gòu)造的INCM 更準(zhǔn)確，而DL、EIG算法的輸出SINR明顯下降。

圖2 輸入SNR 與輸出SINR 關(guān)系圖

實(shí)驗(yàn)三：輸出SINR 與快拍數(shù)關(guān)系

參數(shù)設(shè)置：圖3a）采樣快拍設(shè)為[0，50]，圖3b）采樣快拍設(shè)為[0，300]。其他參數(shù)設(shè)置與實(shí)驗(yàn)一相同。

圖3a）表明：當(dāng)快拍數(shù)低于50，僅存在角度失配且快拍數(shù)較低的情況下，本文算法的輸出SINR 比其他算法高，說明本文算法能估計(jì)出準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量，經(jīng)過重構(gòu)得到的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣比較理想。圖3b）表明：當(dāng)快拍數(shù)高于50 時(shí)，本文的輸出仍然高于其他算法，DL 算法的協(xié)方差矩陣沒有剔除期望信號(hào)，且期望導(dǎo)向矢量失配，因此輸出性能最低；而EIG 算法雖能夠改善期望導(dǎo)向矢量失配，但改善程度有限，且協(xié)方差矩陣仍包含期望成分，因此輸出性能僅高于DL 算法。

圖3 采樣快拍與輸出SINR 關(guān)系圖

實(shí)驗(yàn)四：角度誤差與輸出SINR 關(guān)系

參數(shù)設(shè)置：導(dǎo)向矢量的角度誤差區(qū)間設(shè)定為[-8°，8°]，其他參數(shù)與前述實(shí)驗(yàn)一致。

從圖4 中可以看出：本文算法與RCBD 算法、INCR算法均能較好地抵抗角度失配，但本文輸出SINR 更高。當(dāng)失配的角度比較大時(shí)，DL 算法、EIG 算法的輸出性能急劇下降，抗導(dǎo)向矢量角度失配性能較差，而EIG 算法不能處理較大的角度失配。

圖4 角度誤差與輸出SINR 關(guān)系圖

5 結(jié)語

針對(duì)傳統(tǒng)的穩(wěn)健波束形成器的不足之處，如計(jì)算復(fù)雜度較高、抗導(dǎo)向矢量較大、失配性能較弱等，本文提出了一種利用正交投影重構(gòu)陣列接收信號(hào)后，再使用積分重新構(gòu)造協(xié)方差矩陣的算法。該算法利用低分辨功率譜對(duì)干擾所在方位區(qū)間構(gòu)造干擾相關(guān)矩陣，再對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解或者特征分解，得到干擾導(dǎo)向矢量子空間，在接收數(shù)據(jù)的同時(shí)，直接利用導(dǎo)向矢量的正交性將快拍中的期望信號(hào)去除，得到重建陣列接收信號(hào)，然后計(jì)算得到初步INCM，接著利用該矩陣和Capon功率譜對(duì)干擾所在區(qū)間積分構(gòu)造最終的INCM。利用與INCM類似的重構(gòu)步驟得到期望協(xié)方差矩陣，并求得該矩陣的信號(hào)子空間，選取信號(hào)子空間中最合適的特征向量作為估計(jì)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。由仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)論可知，本文算法的抗導(dǎo)向矢量角度失配性能較強(qiáng)，即使出現(xiàn)較大的偏差，也能確保主瓣波束指向無偏差，在干擾位置形成的零陷無偏差。