一種基于中心矩和相關(guān)系數(shù)閾值的SVD重構(gòu)算法

何益宏 饒紅疆 汪倩文

(五邑大學(xué)智能制造學(xué)部 廣東 江門 529020)

0 引 言

奇異值分解去噪可以有效地分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)，消除信號(hào)中的隨機(jī)噪聲[1]。而且重構(gòu)信號(hào)不存在相位偏移和時(shí)間延遲[2]，具有良好的穩(wěn)定性和不變性[3]，在信號(hào)處理領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用[4-7]。與其他信號(hào)處理技術(shù)相比，SVD速度更快且易于實(shí)現(xiàn)[8]。

奇異值分解去噪是將一維信號(hào)映射到二維Hankel矩陣中，利用有效秩階次確定信號(hào)空間和噪聲空間的邊界，對(duì)信號(hào)空間進(jìn)行降維處理得到去噪后的信號(hào)。在矩陣結(jié)構(gòu)確定的前提下，有效秩階次是決定去噪效果的關(guān)鍵因素?，F(xiàn)有的階次確定方法很多，如奇異值差分譜[9]、奇異值峭度相對(duì)變化率[10](SVK)等，但這些方法所確定的階次存在結(jié)果偏大或偏小的問題。例如當(dāng)原始信號(hào)由多個(gè)信號(hào)分量疊加形成，信號(hào)能量弱于噪聲能量的部分容易被淹沒，對(duì)應(yīng)奇異值譜中幅值較小的奇異值，使用SVK容易將這些奇異值去除，然而這些較小奇異值代表原始信號(hào)的某些特征分量，如旋轉(zhuǎn)機(jī)械的早期故障微弱特征[11]。這些信號(hào)能量較弱的分量丟失會(huì)導(dǎo)致去噪后的信號(hào)信噪比偏低，而在噪聲能量較強(qiáng)的情況下，SVK容易選擇過多的奇異值影響SVD去噪的結(jié)果。因此，為了提高奇異值分解的去噪性能，研究一種無須選擇有效秩階次的SVD去噪方法具有重要應(yīng)用價(jià)值。

為了解決上述問題，本文提出一種基于中心矩和相關(guān)系數(shù)閾值的SVD去噪方法，重新優(yōu)化了Hankel矩陣維數(shù)，更小的矩陣維數(shù)使奇異值分解速度更快，顯著降低計(jì)算量，采用相關(guān)系數(shù)閾值選取有用分量實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)。本文方法無須選擇有效秩階次，避免了階次選擇不當(dāng)帶來的去噪效果不理想的問題。

1 方法設(shè)計(jì)

1.1 傳統(tǒng)SVD去噪方法

傳統(tǒng)的SVD去噪方法利用測量信號(hào)構(gòu)建Hankel矩陣，對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解得到奇異值譜，奇異值以衰減的形式排列，在信號(hào)不含噪聲的情況下，奇異值譜中只有少數(shù)較大的奇異值，而其余的奇異值都為零。因此信號(hào)可用少數(shù)較大的奇異值重構(gòu)逼近。對(duì)于含噪信號(hào)，奇異值譜中所有奇異值都不為零，當(dāng)信號(hào)能量強(qiáng)于噪聲時(shí)，代表信號(hào)的奇異值要大于噪聲的奇異值，因此可取前幾個(gè)較大的奇異值來重構(gòu)信號(hào)，可將其等效為原始信號(hào)的有效逼近，而其余的奇異值則代表噪聲予以去除。

假設(shè)一個(gè)含有噪聲的數(shù)字信號(hào)可以表示為：

y(n)=x(n)+e(n)

(1)

式中：y(n)是無噪信號(hào)x(n)和噪聲e(n)的線性疊加；n表示采樣點(diǎn)數(shù)。利用測量數(shù)據(jù)可以構(gòu)造Hankel矩陣為：

(2)

式中：N為信號(hào)長度；m為矩陣行數(shù)；l為矩陣列數(shù)；1

G=USVT

(3)

其中：U∈Rm×m、V∈Rl×l是左右正交奇異矩陣，S=diag(σ1,σ2,…,σr)是只含有不為零的奇異值和零兩種元素的對(duì)角矩陣，且σ1≥σ2≥…≥σr≥0，r=min(m,l)。若以單個(gè)奇異值及相應(yīng)左右奇異向量表示，G可以表示為r個(gè)子矩陣的線性疊加，計(jì)算式表示為：

(4)

式中：q是奇異值序列的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，前q個(gè)奇異值代表有效信號(hào)。信號(hào)矩陣為：

(5)

對(duì)式(5)所得矩陣進(jìn)行反對(duì)角算術(shù)平均可得到去噪信號(hào)，本文選取SVK作為階次確定方法。

1.2 改進(jìn)的SVD去噪方法

傳統(tǒng)的SVD去噪方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，構(gòu)建的Hankel矩陣通常采用最大維數(shù)法[12-13]，即矩陣列數(shù)和行數(shù)盡可能最大，且行列數(shù)之差最小。文獻(xiàn)[14]研究了不同矩陣列數(shù)下奇異值的概率分布，發(fā)現(xiàn)代表信號(hào)的奇異值分布在相對(duì)較寬的范圍內(nèi)；而代表噪聲的奇異值分布在相對(duì)較窄的范圍內(nèi)，而且分布類似于正態(tài)?；诖颂岢鲇盟碾A中心矩的四階根(FRFCM)來確定矩陣列數(shù)，去除了探底雷達(dá)測量數(shù)據(jù)噪聲。本文在此研究基礎(chǔ)上繼續(xù)計(jì)算了一階、三階和四階中心矩的k次冪，可同時(shí)得到三個(gè)矩陣列數(shù)：

(6)

根據(jù)式(4)可得：

(7)

(8)

設(shè)定一個(gè)閾值δ，若相關(guān)系數(shù)滿足：

c(l)={i|CR(i)≥δ}l

(9)

則取對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的分量信號(hào)進(jìn)行線性疊加，得到去噪信號(hào)：

(10)

本文認(rèn)為若某分量屬于有效信號(hào)，則該分量與第一個(gè)分量的相關(guān)系數(shù)應(yīng)該大于等于0.1，因此將所有相關(guān)系數(shù)大于等于0.1的分量疊加起來便可形成去噪后的信號(hào)。

1.3 改進(jìn)方法流程

(1) 利用一階、三階和四中心矩的k次冪的峰值坐標(biāo)確定Hankel矩陣的列數(shù)，再根據(jù)信號(hào)長度等于矩陣行列數(shù)之和減1確定矩陣行數(shù)，由此得到三個(gè)新的Hankel矩陣。

(2) 對(duì)每個(gè)矩陣進(jìn)行奇異值分解，根據(jù)奇異值分布規(guī)律依次取單個(gè)奇異值重構(gòu)信號(hào)，得到一系列信號(hào)分量，信號(hào)分量的個(gè)數(shù)等于奇異值個(gè)數(shù)，計(jì)算分量之間的相關(guān)系數(shù)，取相關(guān)系數(shù)大于等于0.1的分量重構(gòu)信號(hào)。

(3) 根據(jù)三個(gè)矩陣去噪結(jié)果選出最優(yōu)的去噪信號(hào)作為最終結(jié)果。

2 實(shí) 驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法的有效性,首先對(duì)仿真極化電流信號(hào)進(jìn)行測試與分析,然后再驗(yàn)證對(duì)實(shí)測極化電流信號(hào)的去噪效果。為了定量分析本文方法的去噪性能，以信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)和擬合優(yōu)度(R2)為評(píng)判指標(biāo)，SNR越大、RMSE越小、R2越接近1則說明去噪效果越好。三種評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算如下：

(11)

2.1 仿真信號(hào)疊加實(shí)測噪聲

為分析本文方法的去噪性能，建立絕緣介質(zhì)仿真模型，參數(shù)取自一臺(tái)大型電力變壓器極化支路辨識(shí)結(jié)果[16]，具體參數(shù)見表1。極化支路總共有6條，極化支路最大時(shí)間常數(shù)為763.7 s，加壓1分鐘內(nèi)第6條支路極化電流變化幅度不大。第5、6條極化支路的極化電阻相對(duì)較大，根據(jù)歐姆定律可得這兩條支路產(chǎn)生的極化電流非常微弱，電流幅值低于1 μA。取測試電壓5 kV，仿真時(shí)間10 s，采樣間隔為0.01 s，信號(hào)采樣數(shù)為1 000，同時(shí)利用安捷倫3 4461 A采集現(xiàn)場噪聲。

表1 極化支路參數(shù)

向仿真極化電流混入1倍實(shí)測噪聲，實(shí)測噪聲和含噪極化電流如圖1所示。SNR=43.994 9 dB，表明信號(hào)的能量強(qiáng)于噪聲。從圖中可以看出噪聲主要分布在曲線變化較為緩慢的階段，對(duì)信號(hào)初始階段幾乎沒有影響。

圖1 實(shí)測噪聲與含噪極化電流

根據(jù)表1參數(shù)可知，前3條極化支路的時(shí)間常數(shù)很小，極化電阻相對(duì)也比較小，因此前3條極化支路電流衰減速度較為快速且電流幅值相對(duì)較大。第4、5、6條時(shí)間常數(shù)較大，特別是第6條極化支路時(shí)間常數(shù)接近1 000 s，極化電阻僅次于第5條極化支路，因此電流衰減非常緩慢，且電流幅值較小容易被噪聲干擾，據(jù)此可判定圖1中含噪極化電流初始階段主要由前3條極化支路的電流值和噪聲疊加形成，中后段主要由第4、5、6條極化支路電流和噪聲疊加形成。

圖2列出了一階、三階和四階中心矩的8次冪計(jì)算結(jié)果，由此可確定Hankel矩陣列數(shù)分別為290、794和312，矩陣維數(shù)分別711×290、794×207和312×689。與傳統(tǒng)最大維數(shù)法確定的矩陣結(jié)構(gòu)G501×500相比，本文方法確定的矩陣維數(shù)更小。從圖2可以看出除一階中心矩以外，其余均是對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

圖2 一階、三階和四階中心矩的8次冪確定矩陣列數(shù)

表2給出了本文方法和傳統(tǒng)SVD的去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)，結(jié)果表明兩種方法均能有效去噪，SNR都有一定程度的提高。其中l(wèi)2=794時(shí)SNR最大，相比l=500提升幅度約為52%。從擬合優(yōu)度和均方根誤差看，本文方法去噪信號(hào)更加接近理想信號(hào)，均方根誤差明顯比傳統(tǒng)SVD去噪信號(hào)小，擬合優(yōu)度更加接近于1，說明去噪信號(hào)保留了更多有用成分。綜上所述，l2=794的去噪指標(biāo)最優(yōu)，將其作為最終的去噪結(jié)果。

表2 仿真信號(hào)加1倍的外界噪聲的去噪指標(biāo)

為了體現(xiàn)本文方法對(duì)不同程度實(shí)測噪聲的適用性，分別對(duì)疊加不同程度噪聲的仿真信號(hào)進(jìn)行處理。當(dāng)仿真信號(hào)疊加4倍噪聲時(shí)，信噪比為16.269 0 dB。由中心矩的8次冪確定Hankel矩陣列數(shù)的結(jié)果分別為l1=700、l2=232、l3=339，由此確定的Hankel矩陣結(jié)構(gòu)分別為G700×301、G232×769和G339×662。表3給出了去噪信號(hào)的評(píng)判指標(biāo)，信噪比反映了去噪信號(hào)的能量強(qiáng)度，去噪信號(hào)的能量強(qiáng)度越高，信噪比越大。由表3中數(shù)據(jù)可知本文方法去噪性能優(yōu)于傳統(tǒng)SVD方法，信噪比可提高39%～45%。且本文方法的去噪信號(hào)更加接近原始信號(hào)，擬合優(yōu)度非常接近于1。綜上所述，l2=232的去噪指標(biāo)最優(yōu)，將其作為最終的去噪結(jié)果。

表3 仿真信號(hào)加4倍的外界噪聲的去噪指標(biāo)

向仿真信號(hào)疊加10倍實(shí)測噪聲時(shí)，信噪比為-2.056 8 dB。由中心矩的8次冪確定的Hankel矩陣列數(shù)分別為l1=615、l2=709、l3=356，由此確定的Hankel矩陣結(jié)構(gòu)分別為G615×386、G709×292和G356×645。表4給出了去噪信號(hào)的評(píng)判指標(biāo)，相比之下，傳統(tǒng)SVD方法去噪效果不明顯，擬合優(yōu)度低于0.5，說明去噪信號(hào)失真程度嚴(yán)重，而本文方法在Hankel矩陣列數(shù)為709時(shí)信噪比約為34 dB，為傳統(tǒng)方法的2.5倍，擬合優(yōu)度達(dá)到0.9以上，說明去噪信號(hào)更加接近原始信號(hào)。在噪聲比較嚴(yán)重的情況下本文方法仍然有較好的去噪能力和信號(hào)保留能力。

表4 仿真信號(hào)加10倍的外界噪聲的去噪指標(biāo)

2.2 仿真信號(hào)疊加高斯白噪聲

為驗(yàn)證在高斯白噪聲中本文方法有效，向仿真信號(hào)中加入115 dB的高斯白噪聲，如圖3所示。含噪信號(hào)除了初始階段外全都被噪聲覆蓋，信噪比為16.633 5 dB。

圖3 疊加白噪聲的極化電流

圖4給出了中心矩的8次冪確定的Hankel矩陣列數(shù)分別為l1=241、l2=267、l3=294，由此確定的Hankel矩陣結(jié)構(gòu)分別為G760×241、G267×734和G294×707。所確定Hankel矩陣維數(shù)仍然要小于最大維數(shù)矩陣。

圖4 一階、三階和四階中心矩的8次冪確定矩陣列數(shù)

表5給出了兩種方法的去噪指標(biāo)，根據(jù)表5中數(shù)據(jù)可判斷l(xiāng)1=241時(shí)信噪比最高，比傳統(tǒng)SVD方法有明顯提高。因此l1=241所構(gòu)成的矩陣結(jié)構(gòu)是當(dāng)前幾種矩陣結(jié)構(gòu)中去噪效果最好的。

表5 SNR=16.633 5 dB的仿真信號(hào)的去噪指標(biāo)

圖5給出了兩種方法的去噪信號(hào)，從曲線光滑程度對(duì)比，兩者相差不大，肉眼難以分辨，唯一可見的是去噪信號(hào)在初始階段的幅值有很大差異，這說明截取前k個(gè)有效奇異值重構(gòu)信號(hào)保留了信號(hào)強(qiáng)度高于噪聲的部分，而低于噪聲的部分被消除了。

圖5 兩種方法的去噪信號(hào)

當(dāng)含噪信號(hào)的信噪比為-6.463 5 dB時(shí)，由中心矩的8次冪確定Hankel矩陣列數(shù)分別為l1=241、l2=267、l3=294，由此確定Hankel矩陣結(jié)構(gòu)分別為G760×241、G734×267和G294×707。表6給出了去噪指標(biāo)，由于噪聲能量強(qiáng)于信號(hào)能量，重構(gòu)信號(hào)的信噪比最大只有30 dB左右，表明重構(gòu)信號(hào)存在較為嚴(yán)重的有用信息丟失。但相對(duì)而言，本文方法的去噪效果更好。

表6 SNR=-6.463 5 dB的仿真信號(hào)的去噪指標(biāo)

綜上所述，本文方法在去噪方面的性能優(yōu)于以有效秩階次和Hankel矩陣為核心的SVD去噪方法，同時(shí)根據(jù)中心矩準(zhǔn)則優(yōu)化矩陣結(jié)構(gòu)，降低了計(jì)算復(fù)雜度。

2.3 實(shí)際應(yīng)用

電力變壓器是電網(wǎng)系統(tǒng)中重要的變電設(shè)備，而絕緣系統(tǒng)是電力變壓器正常運(yùn)行的基本保障。測量絕緣電阻和吸收比或極化指數(shù)能夠有效地診斷變壓器整體絕緣是否良好。變壓器的絕緣電阻可由直流電源電壓與極化電流測量值計(jì)算得到。極化電流采集原理如圖6所示，其中“L”為電源負(fù)極，“E”為電源正極，“G”為屏蔽端，主要目的是防止變壓器高壓側(cè)瓷瓶上的泄露電流進(jìn)入測量回路。

圖6 極化電流測量示意圖

測量儀器采用34 461 A，設(shè)定PLC積分時(shí)間為0.2 s，采樣間隔為0.02 s，變壓器現(xiàn)場采樣極化電流信號(hào)如圖7所示，信號(hào)采樣數(shù)取613點(diǎn)。現(xiàn)場測量噪聲包括環(huán)境噪聲和儀器的電子噪聲。由圖可知噪聲能量很強(qiáng)，信號(hào)趨勢無法直接觀察出來。一階中心矩確定的矩陣列數(shù)為186,三階中心矩確定的矩陣列數(shù)為214，四階中心矩確定的矩陣列數(shù)為237。由此確定的Hankel矩陣維數(shù)分別為186×428、214×400和237×377。

圖7 實(shí)測極化電流

兩種方法的去噪結(jié)果如圖8所示，由中心矩準(zhǔn)則確定的矩陣結(jié)構(gòu)去噪效果最好的是l1=186，其有效信號(hào)保留最完整，幅值衰減程度最小。相比之下，傳統(tǒng)SVD方法去噪效果不明顯，信號(hào)帶有嚴(yán)重的振蕩成分。去噪結(jié)果說明在噪聲較為嚴(yán)重的情況下，本文方法去噪效果依然優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

圖8 兩種方法去噪結(jié)果

3 結(jié) 語

傳統(tǒng)的SVD方法對(duì)測量信號(hào)去噪時(shí)存在兩個(gè)問題，一是當(dāng)噪聲能量較小時(shí)，有效信號(hào)分量中能量小于噪聲能量的部分被舍去，重構(gòu)信號(hào)存在能量損失；二是噪聲能量強(qiáng)于信號(hào)能量時(shí)，階次選擇結(jié)果偏大使信噪比降低，噪聲去除效果不明顯。因此傳統(tǒng)的SVD方法去噪效果取決于有效秩階次確定是否準(zhǔn)確，這極大地限制了SVD去噪方法的實(shí)際應(yīng)用。為了進(jìn)一步提升去噪效果，本文提出一種基于中心矩和相關(guān)系數(shù)閾值的SVD去噪方法。中心矩的峰值可重新確定Hankel矩陣的維數(shù)，更小的維數(shù)減少了SVD計(jì)算量。利用相關(guān)系數(shù)閾值選取有用信號(hào)分量實(shí)現(xiàn)去噪，避免了有效秩階次選擇不當(dāng)帶來的問題。