基于有限元仿真的齒輪滾切穩(wěn)定性建模與分析

陶振雷，濮瀟楠，田樹(shù)飛，湯海川，郝繼銘，王禹林

(1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)(2.重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 重慶 400044)(3.重慶藍(lán)黛動(dòng)力傳動(dòng)機(jī)械股份有限公司， 重慶 402760)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，高速干切加工已成為最廣泛、最先進(jìn)的齒輪加工技術(shù)之一。在滾齒干切加工過(guò)程中，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)或滾削參數(shù)選用不當(dāng)時(shí)，刀具與工件之間會(huì)產(chǎn)生顫振，這已成為限制滾齒加工精度的重要約束[1]。顫振在齒輪表面留下的振紋，會(huì)降低齒面質(zhì)量，影響產(chǎn)品的合格率。此外，顫振還會(huì)帶來(lái)機(jī)床損傷、刀具磨損加速等不良影響[2]。

抑制或避免顫振的可行途徑是確定滾齒加工參數(shù)，使其遠(yuǎn)離所預(yù)測(cè)的顫振發(fā)生臨界條件[3-4]。穩(wěn)定性葉瓣圖分析法是顫振臨界條件預(yù)測(cè)的主流方法之一，葉瓣圖可以簡(jiǎn)單而清晰地描述刀具切深與刀具主軸轉(zhuǎn)速的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)加工參數(shù)落在葉瓣圖上的位置預(yù)測(cè)加工系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因而在切削顫振分析中得到廣泛應(yīng)用[5]。

目前，穩(wěn)定性葉瓣圖分析法主要應(yīng)用在切削深度恒定的車(chē)、銑削工藝中。鄧聰穎等[5]針對(duì)機(jī)床運(yùn)行狀態(tài)切削穩(wěn)定性的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)問(wèn)題,提出一種切削穩(wěn)定性葉瓣圖研究方法，但建模參數(shù)需通過(guò)試驗(yàn)確定，試驗(yàn)方案繁瑣。趙鐵民等[6]針對(duì)銑削穩(wěn)定性中經(jīng)常出現(xiàn)的顫振現(xiàn)象進(jìn)行了研究，分析了銑削顫振穩(wěn)定域。夏玉等[7]通過(guò)滾齒切削力模型研究了滾齒顫振機(jī)理。陳鵬等[8]建立了一種齒輪高速干切工藝參數(shù)優(yōu)化模型，基于工件材料屬性和相關(guān)試驗(yàn)推算滾刀轉(zhuǎn)速與切削厚度的推薦值。以上研究都沒(méi)有解決葉瓣圖建模參數(shù)獲取問(wèn)題。將葉瓣圖運(yùn)用于滾齒加工時(shí)存在以下兩個(gè)難點(diǎn)：1)葉瓣圖所需的動(dòng)力學(xué)參數(shù)一般通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取，但由于滾齒運(yùn)動(dòng)復(fù)雜，相關(guān)試驗(yàn)不易開(kāi)展；2)滾齒運(yùn)動(dòng)由一系列展成運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，不是單純的正交切削，而滾削過(guò)程中的切削方向隨著刀刃切入切出而不斷變化，其極限切厚不可控。本文將針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題展開(kāi)研究。

本文針對(duì)葉瓣圖應(yīng)用于滾齒穩(wěn)定性分析時(shí)動(dòng)力學(xué)參數(shù)獲取困難等問(wèn)題，通過(guò)模態(tài)和切削力有限元仿真方法，獲取滾刀系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)，建立滾齒穩(wěn)定性葉瓣圖。

1 滾齒葉瓣圖理論模型

首先通過(guò)滾齒動(dòng)力學(xué)模型建立滾齒加工系統(tǒng)的微分方程，推導(dǎo)建立滾齒穩(wěn)定性葉瓣圖模型所需關(guān)鍵參數(shù)，基于有限元模態(tài)和動(dòng)力學(xué)仿真獲取模態(tài)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)并繪制出葉瓣圖，再通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式建立滾齒進(jìn)給量和切厚的函數(shù)關(guān)系，從而確定合理的工藝參數(shù)。

1.1 滾齒動(dòng)力學(xué)模型

為方便研究，將滾齒系統(tǒng)簡(jiǎn)化為由滾刀和毛坯組成的振動(dòng)模型，并建立振動(dòng)模型的特征方程，利用特征方程求解維持系統(tǒng)穩(wěn)定的加工參數(shù)。滾齒的二維平面動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 滾齒的二維平面動(dòng)力學(xué)模型

通過(guò)滾齒動(dòng)力學(xué)模型建立的振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為[9]

(1)

式中:t為時(shí)間;x(t)為振動(dòng)位移量；fd(t)為動(dòng)態(tài)切削力；me為振動(dòng)系統(tǒng)等效質(zhì)量；c為振動(dòng)系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)；k為振動(dòng)系統(tǒng)等效剛度；β為螺旋角。將切削力代入式(1)得

(2)

式中：kf為切削剛度系數(shù)；b為切削寬度；T為前后兩轉(zhuǎn)的延時(shí)時(shí)間。對(duì)式(2)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到其傳遞函數(shù)Γ(s)為

(3)

式中：ωn為無(wú)阻尼自然振蕩頻率；ξ為阻尼系數(shù)；s=σ+jω，且僅當(dāng)實(shí)部σ=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，ω為系統(tǒng)的顫振頻率。其極限切削寬度blim可以表示為

(4)

在其他參數(shù)都確定的情況下，可根據(jù)式(4)確定極限切削寬度blim與主軸轉(zhuǎn)速n的關(guān)系，構(gòu)建滾齒系統(tǒng)的穩(wěn)定域極限，對(duì)于極限切削寬度blim，還未確定的參數(shù)有滾刀系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)以及動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

1.2 滾齒加工參數(shù)確定

與車(chē)削、銑削加工相比，滾齒切削的運(yùn)動(dòng)方式更為復(fù)雜，其運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)方面組成，分別是滾刀與毛坯件之間的展成運(yùn)動(dòng)和滾刀沿坯件軸線方向的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。因此，滾齒切削加工的切寬主要表現(xiàn)為滾齒展成運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的滾刀頂刃最大切削厚度h1max。Fabre等[10]建立了滾刀頂刃切削厚度與工件每轉(zhuǎn)的軸向進(jìn)給量關(guān)系式。

本文研究的齒輪參數(shù)為法向模數(shù)1.7，齒數(shù)37，全齒高5.275 mm，齒輪外徑79.15 mm。滾刀參數(shù)為外徑70 mm，刃數(shù)10，頭數(shù)3，中心距70 mm。由已知參數(shù)可以建立滾齒進(jìn)給量fa與切削厚度h1max的函數(shù)關(guān)系，獲得葉瓣圖與滾齒加工參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2 滾齒系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)確定

2.1 滾刀系統(tǒng)模態(tài)仿真

為獲得構(gòu)建滾齒穩(wěn)定性葉瓣圖所需的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，采用ABAQUS有限元分析軟件對(duì)滾刀進(jìn)行了有限元模態(tài)分析。滾刀材料為M35鋼，其具有高硬度、高紅硬性和高耐磨性等特點(diǎn)，宜用來(lái)制造強(qiáng)力切割用耐磨、耐沖擊的工具。在分析步中將階次設(shè)置為4階。滾刀材料屬性表見(jiàn)表1[11]。

表1 滾刀材料屬性表

模態(tài)仿真結(jié)果圖如圖2所示，滾刀模態(tài)參數(shù)見(jiàn)表2。

圖2 模態(tài)仿真結(jié)果

表2 滾刀模態(tài)參數(shù)

2.2 滾刀系統(tǒng)模態(tài)力錘試驗(yàn)

為驗(yàn)證滾刀模態(tài)分析的正確性，采用錘擊法對(duì)滾齒機(jī)床滾刀系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)力錘試驗(yàn)，以獲得相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)。

通過(guò)力錘試驗(yàn)獲得的滾刀系統(tǒng)前4階固有頻率及其對(duì)應(yīng)的阻尼比見(jiàn)表2。通過(guò)模態(tài)仿真獲得的滾齒系統(tǒng)固有頻率參數(shù)與模態(tài)力錘試驗(yàn)獲得的固有頻率相近，從而為滾齒穩(wěn)定性葉瓣圖的建模提供了固有頻率及阻尼比。

3 滾齒系統(tǒng)切削力系數(shù)確定

首先確定材料的相關(guān)參數(shù)，本文所采用的齒輪毛坯材料為20CrMnTi，查找相關(guān)文獻(xiàn)[12]得到其性能參數(shù)，見(jiàn)表3，其中A，B，n，C，m為材料本構(gòu)常數(shù)。

表3 20CrMnTi齒輪材料性能參數(shù)

本文采用Jonhson-Cook強(qiáng)度模型作為本構(gòu)模型，采用Jonhson-Cook剪切失效準(zhǔn)則作為刀屑分離的準(zhǔn)則。20CrMnTi齒輪的失效參數(shù)D1～D5見(jiàn)表4。

表4 材料失效參數(shù)

滾刀以其螺旋升角安裝在滾刀軸上，滾齒進(jìn)給量fa采用0.5 mm/r，轉(zhuǎn)速為450 r/min，持續(xù)時(shí)間選取1 s，進(jìn)行滾削仿真。

在實(shí)際的加工中，切削力系數(shù)與切削參數(shù)、切削條件、刀具-工件材料組合有關(guān)，由其切削力及切削總量共同決定，通過(guò)滾削力仿真，得到滾削時(shí)間為0.2 s內(nèi)的滾削力圖，并通過(guò)布爾運(yùn)算求得此期間的滾削總量為2.356 mm3，對(duì)滾削力每個(gè)波峰波谷所得出的切削力變化量進(jìn)行加權(quán)平均并除以滾削量，得到kf=2.414×1011N/m3。至此已獲得建立葉瓣圖所需所有參數(shù)。

4 滾齒葉瓣圖建模及加工試驗(yàn)

4.1 葉瓣圖建模

顫振穩(wěn)定性葉瓣圖可以直觀說(shuō)明轉(zhuǎn)速與切厚的關(guān)系，是顫振穩(wěn)定性分析的常用方法。葉瓣圖分為穩(wěn)定切削域、不穩(wěn)定切削域和條件穩(wěn)定域。在實(shí)際加工中，穩(wěn)定切削域越大，機(jī)床的穩(wěn)定性能越好。

通過(guò)2和3中的仿真及試驗(yàn)獲得模態(tài)參數(shù)和切削力系數(shù)，結(jié)合式(4)，可繪制出滾齒加工穩(wěn)定性葉瓣圖，如圖3所示。

圖3 滾齒加工穩(wěn)定性葉瓣圖

圖中曲線下方為穩(wěn)定切削域，上方為不穩(wěn)定切削域，曲線附近為條件穩(wěn)定域。波谷處的極限切厚為0.65～0.67 mm，下文將取各極限切厚下對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速進(jìn)行滾齒試驗(yàn)，以驗(yàn)證葉瓣圖的正確性。

4.2 滾齒加工試驗(yàn)

4.2.1試驗(yàn)系統(tǒng)及條件

在僅改變進(jìn)給量和轉(zhuǎn)速的情況下，若系統(tǒng)出現(xiàn)激烈振動(dòng)且伴隨強(qiáng)烈噪聲，則認(rèn)為系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，通過(guò)分析振動(dòng)加速度傳感器采集的振動(dòng)信號(hào)來(lái)判斷是否發(fā)生顫振，并將轉(zhuǎn)換得出的最大切削厚度h1max與所建立的葉瓣圖模型取值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證葉瓣圖的正確性。試驗(yàn)參數(shù)設(shè)定見(jiàn)表5。

表5 試驗(yàn)參數(shù)設(shè)定值

將帶磁座的振動(dòng)加速度傳感器安裝于滾刀軸的X和Y進(jìn)給方向上。傳感器安裝位置如圖4所示。

圖4 振動(dòng)傳感器安裝位置

4.2.2試驗(yàn)分析

由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)量大，受篇幅限制，本文僅以轉(zhuǎn)速480 r/min為例進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，其他試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法相類(lèi)似，不再贅述。此轉(zhuǎn)速下各進(jìn)給量通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的最大切厚，分別為0.2，0.4，0.6 mm?？辙D(zhuǎn)及各切厚下振動(dòng)信號(hào)幅值如圖5所示。

圖5 振動(dòng)時(shí)域圖

由圖5可知，當(dāng)滾刀頂刃最大切削厚度為0.2 mm時(shí)，振動(dòng)幅值均在5 m/s2以下，當(dāng)切削厚度增加到0.4 mm時(shí)，振動(dòng)幅值略有增加，但仍在5 m/s2附近，當(dāng)增加到0.6 mm時(shí)，振動(dòng)幅值發(fā)生明顯突增，突變處增加到7 m/s2，由此判斷出當(dāng)切削厚度為0.6 mm時(shí)滾齒系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

分別對(duì)切削厚度為0.2 mm和0.6 mm時(shí)的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，得到頻域下系統(tǒng)的振動(dòng)幅值圖如圖6所示。

由圖可知，在切削厚度為0.2 mm時(shí)，滾刀軸在800 Hz左右處振動(dòng)幅值最大，為2.8 m/s2，當(dāng)切削厚度增加到0.6 mm時(shí)，800 Hz處的振動(dòng)幅值明顯增大，為7 m/s2，并且振動(dòng)頻率與仿真所得的固有頻率值接近，說(shuō)明滾刀系統(tǒng)的顫振頻率在800 Hz附近。

對(duì)3種進(jìn)給量下加工出的齒輪產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)項(xiàng)目為齒形和齒向，檢測(cè)結(jié)果見(jiàn)表6。

表6 加工試件齒形、齒向檢測(cè)值

根據(jù)滾齒粗加工質(zhì)量檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)試件的齒形、齒向檢測(cè)值在20 μm以下時(shí)，認(rèn)為零件為合格產(chǎn)品。由表6可知，當(dāng)切削厚度為0.2和0.4 mm時(shí)，被加工試件的齒形、齒向平均檢測(cè)值均小于標(biāo)準(zhǔn)值，當(dāng)切削厚度為0.6 mm時(shí)，齒形、齒向平均檢測(cè)值遠(yuǎn)大于標(biāo)準(zhǔn)值，由此可知,此時(shí)滾齒系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，加工出的試件為不合格產(chǎn)品。

對(duì)比試驗(yàn)得到的極限切厚點(diǎn)與基于仿真方法繪制的穩(wěn)定性葉瓣圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)點(diǎn)可知，圖3所示的滾齒穩(wěn)定性葉瓣圖得出的波谷處的極限切厚值為0.66 mm，與試驗(yàn)所得的極限切厚0.6 mm相接近，說(shuō)明通過(guò)仿真參數(shù)建立滾齒穩(wěn)定性葉瓣圖來(lái)分析滾齒加工穩(wěn)定性具有可行性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)模態(tài)和滾齒有限元仿真分析獲得模態(tài)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)，并建立滾齒穩(wěn)定性葉瓣圖模型?；诜€(wěn)定性葉瓣圖設(shè)計(jì)開(kāi)展不同轉(zhuǎn)速和進(jìn)給量下的滾齒切削試驗(yàn)，并以480 r/min下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析，所得極限切厚約為0.6 mm，略小于葉瓣圖所示的極限切厚值0.66 mm，驗(yàn)證了通過(guò)仿真參數(shù)建立穩(wěn)定性葉瓣圖并分析滾齒加工穩(wěn)定性的可行性。本文通過(guò)仿真方法解決了滾齒加工動(dòng)力學(xué)參數(shù)獲取困難的問(wèn)題，可為滾齒工藝穩(wěn)定性分析、切削參數(shù)選擇提供參考。