基于MATLAB 三維空間下的鯡魚群運動規(guī)律算法模型

張國勖

（重慶交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，重慶 400074）

鯡魚群在每年由南至北的大遷徙中，為了對抗沿途強(qiáng)大的捕食者聯(lián)盟，會自發(fā)地聚集成一個個直徑達(dá)數(shù)十米的近乎完美球形的“魚球”，且個體能在遇到威脅時快速地傳遞威脅信號給其它個體而及時退避，使得強(qiáng)大數(shù)倍的捕食者們難以得逞。本文通過建立數(shù)學(xué)模型來模擬鯡魚群的集群運動行為，探索鯡魚群中的信號傳遞機(jī)制。分析鯡魚在自然狀態(tài)下和捕食狀態(tài)下的運動規(guī)律，并基于鯡魚的感知范圍建立兩種狀態(tài)下的鯡魚三維空間運動數(shù)學(xué)模型和海豚在捕食狀態(tài)下的三維空間運動數(shù)學(xué)模型。其次，結(jié)合鯡魚群的“六大運動規(guī)則”和數(shù)學(xué)模型，給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型公式。最后，利用MATLAB 對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真。

1 模型建立

1.1 捕食狀態(tài)下魚群運動模型

在空間三維坐標(biāo)系中，將鯡魚群中每條鯡魚看做為一個一個具有空間坐標(biāo)和運動方向的矢量點。假定初始時刻t=0 時鯡魚之間無任何感知，初始運動速度相同且大小不變，初始運動方向隨機(jī)給定。研究鯡魚群t 時刻在捕食狀態(tài)下的運動規(guī)律，就相當(dāng)于研究鯡魚Si在t 時刻的空間坐標(biāo)和運動方向。鯡魚魚群在捕食狀態(tài)下主要分為兩大魚群：一類是直接感應(yīng)到海豚的威脅并接收到其它鯡魚傳來的警告信號；另外一類是只接收到其它鯡魚傳來的警告信號。這兩大類鯡魚的運動遵守Reynolds 模型的六大規(guī)則：慣性運動規(guī)則、排斥運動規(guī)則、吸引運動規(guī)則、平行運動規(guī)則、逃避運動規(guī)則、警告運動規(guī)則，其中第二類鯡魚不具有逃避運動規(guī)則。

圖2 捕食狀態(tài)下鯡魚運動規(guī)則

（M1-慣性運動；M2-排斥運動；M3-吸引運動；M4-平行運動；M5-逃避運動；M6-警告運動）

如圖1 所示，取四個運動規(guī)則下的運動方向的合方向為鯡魚Si在t 時刻的運動方向，則鯡魚si在t 時刻的運動方向可以表示為

圖1 自然狀態(tài)下的鯡魚運動規(guī)則

1.2 捕食狀態(tài)下海豚運動模型

在空間三維坐標(biāo)系中，將海豚作為一個具有空間坐標(biāo)和運動方向的矢量點。假定t=0 時海豚的初始運動速度大小不變方向隨機(jī)給定。如圖3 所示，取二個運動規(guī)則下的運動方向的合方向為海豚在t 時刻的運動方向，則海豚在t 時刻的運動方向可以表示為

圖3 捕食狀態(tài)下海豚運動規(guī)則

式中，H0為海豚在初始時刻t=0 時的運動方向；Ht為海豚在t 時刻的運動方向；H1t為海豚的慣性運動方向；H2t為海豚的吸引運動方向。

2 模型求解與仿真分析

2.1 自然狀態(tài)下鯡魚群仿真

利用MATLAB 軟件對無外界威脅自然狀態(tài)下的魚群進(jìn)行運動模型仿真。在三維空間坐標(biāo)系下通過MATLAB 函數(shù)隨機(jī)生成700 個自由分布的鯡魚，如圖4 所示，初始運動方向隨機(jī)設(shè)定。

2.2 捕食狀態(tài)下鯡魚群仿真

利用MATLAB 軟件對有外界捕食威脅狀態(tài)下的魚群進(jìn)行運動模型仿真。對魚群進(jìn)行無外界威脅狀態(tài)模型迭代500 次，迭代后的魚群狀態(tài)作為有外界捕食威脅狀態(tài)模型的初始狀態(tài)。

通過對捕食狀態(tài)下魚群空間分布的仿真發(fā)現(xiàn)：當(dāng)捕食者逐漸逼近于鯡魚群時，靠近捕食者一側(cè)的鯡魚呈現(xiàn)出以捕食者為中心，以威脅范圍為半徑的球面的分布狀態(tài)，不同迭代次數(shù)下的魚群空間分布狀態(tài)如圖5 所示，仿真結(jié)果與實際情況相符合。

3 結(jié)論

本文針對鯡魚運動規(guī)律提出了優(yōu)化算法。在無外界干擾的自然狀態(tài)下，鯡魚群具有趨于集群抱團(tuán)現(xiàn)象，形成一個“魚團(tuán)”，魚群系統(tǒng)保持一個相對平穩(wěn)的狀態(tài)。當(dāng)遇到海豚捕食的威脅時，外部魚群最先發(fā)現(xiàn)來自捕食者的威脅信息，并將信息迅速向魚群內(nèi)部傳遞，從而使整個魚群遠(yuǎn)離捕食者。通過MATLAB對魚群兩種狀態(tài)下的運動模型進(jìn)行仿真，得出的結(jié)果和實際情況相吻合，從而驗證了該運動規(guī)律模型的合理性。