聲振耦合聲場(chǎng)分析與聲輻射結(jié)構(gòu)優(yōu)化

王旭東，朱擁勇，王德石

(1.海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，武漢 430033；2.中國(guó)人民解放軍92064部隊(duì)，廣東 東莞 523900)

同時(shí)具有內(nèi)部聲場(chǎng)和外部自由聲場(chǎng)的聲振耦合系統(tǒng)廣泛存在于汽車、飛機(jī)和潛艇等運(yùn)載工具和武器平臺(tái)之中。結(jié)構(gòu)與聲介質(zhì)因振動(dòng)相互作用而產(chǎn)生的中低頻噪聲會(huì)對(duì)人員及設(shè)備產(chǎn)生負(fù)面影響，輻射噪聲影響人員舒適性和造成環(huán)境污染，在軍事上，聲輻射過(guò)大會(huì)影響武器系統(tǒng)的隱身性和自身的聲吶探測(cè)距離[1]。因此在準(zhǔn)確計(jì)算聲輻射的基礎(chǔ)上，通過(guò)適當(dāng)設(shè)計(jì)材料的結(jié)構(gòu)分布以使耦合系統(tǒng)在所關(guān)心的激勵(lì)頻段下具有較低的聲輻射值的研究十分必要。

作為新興的結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化方法，不同于尺寸優(yōu)化[2]和形狀優(yōu)化[3]僅能改變已知設(shè)計(jì)部件的尺寸，拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)是尋求最優(yōu)的結(jié)構(gòu)材料分布以滿足性能和結(jié)構(gòu)工藝等多方面要求[4]。國(guó)、內(nèi)外諸多研究者在減振降噪問題上采用拓?fù)鋬?yōu)化法開展了研究。在內(nèi)聲場(chǎng)優(yōu)化問題中，Akl等[5]采用有限元法建立內(nèi)聲場(chǎng)聲輻射模型，采用MMA法優(yōu)化柔性板厚度，降低了聲腔內(nèi)的聲輻射，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合較好；Dühring等[6]結(jié)合混合有限元法和MMA優(yōu)化法實(shí)現(xiàn)在無(wú)法明確耦合邊界的情況下解決聲-結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化問題；隨后Kook[7]用Comsol軟件實(shí)現(xiàn)將混合有限元法擴(kuò)展至BESO優(yōu)化方法中，優(yōu)化結(jié)果與采用傳統(tǒng)有限元法的文獻(xiàn)[8]結(jié)果一致。在外聲場(chǎng)優(yōu)化問題的研究中，陳爐云等[9]結(jié)合ESO優(yōu)化法和單向耦合的邊界元法研究了簡(jiǎn)支板在低頻率下外場(chǎng)聲輻射優(yōu)化問題；張軍[10]推導(dǎo)了空氣為聲介質(zhì)的有限元-邊界元耦合方法的聲壓級(jí)和輻射聲功率靈敏度公式，并以板厚為設(shè)計(jì)變量對(duì)薄板聲輻射進(jìn)行優(yōu)化；針對(duì)兩相材料板結(jié)構(gòu)的聲輻射拓?fù)鋬?yōu)化問題，文獻(xiàn)[11-12]通過(guò)優(yōu)化布局兩種彈性材料的方式降低聲輻射；此后，黃其柏在上述基礎(chǔ)上研究了板結(jié)構(gòu)聲輻射計(jì)算方法和輻射特性，提出約束阻尼復(fù)合板的拓?fù)鋬?yōu)化方法；Zhang等[13]采用狀態(tài)空間中的復(fù)模態(tài)疊加法求解非比例全局阻尼的復(fù)合板聲響應(yīng)，伴隨變量法進(jìn)行聲壓靈敏度分析，通過(guò)合理分配阻尼層材料達(dá)到最小化指定點(diǎn)聲壓的目標(biāo)。

目前，聲振耦合方法的研究大多針對(duì)單一的有限內(nèi)聲場(chǎng)[5-8]或無(wú)限大/半無(wú)限大自由聲場(chǎng)問題[9-13]，且在處理自由聲場(chǎng)靈敏度分析時(shí)往往忽略了聲介質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)的反作用，無(wú)法適用于內(nèi)聲場(chǎng)和外部自由聲場(chǎng)均存在的聲輻射問題和強(qiáng)耦合問題?；谏鲜鰡栴}，本文結(jié)合聲振耦合有限元方程和邊界元法，推導(dǎo)了內(nèi)外聲場(chǎng)聲壓的耦合計(jì)算公式，并提出一種新的強(qiáng)耦合聲功率的靈敏度求解方法，通過(guò)不同設(shè)計(jì)條件下的聲輻射優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果驗(yàn)證了聲輻射預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性和靈敏度方法在優(yōu)化過(guò)程中的適用性。

1 聲輻射問題

1.1 聲學(xué)基本方程

聲振耦合示意圖如圖1所示，假定流體是可壓縮的，無(wú)黏且無(wú)旋，忽略自由表面重力效應(yīng)的均勻理想聲學(xué)介質(zhì)，聲壓滿足如下的波動(dòng)方程：

(1)

?2pf+(ω/c0)2pf=0

(2)

在流固交界面上，應(yīng)滿足如下的運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)條件：

(3)

usns+ufnf=0

(4)

σs|ns=-pf

(5)

式中：ρf為流體密度，nf為耦合表面從聲場(chǎng)指向結(jié)構(gòu)的法向量，ns為耦合表面從結(jié)構(gòu)指向聲場(chǎng)的法向量，σs為結(jié)構(gòu)應(yīng)力，us為結(jié)構(gòu)位移向量。

圖1 聲振耦合示意

1.2 內(nèi)聲場(chǎng)聲振耦合的有限元法

結(jié)構(gòu)域的平衡狀態(tài)方程為

(6)

式中：ρs為結(jié)構(gòu)質(zhì)量密度，fs為結(jié)構(gòu)所受外激勵(lì)。

聯(lián)立式(2)、(3)～式(6)，并采用加權(quán)余量的伽遼金法可得到聲振耦合的有限元方程[14]：

(7)

式中：Ks、Kf分別為結(jié)構(gòu)域和流體域的系統(tǒng)剛度矩陣，Ms、Mf分別為結(jié)構(gòu)域和流體域系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，C為系統(tǒng)耦合矩陣。

為方便后文推導(dǎo)計(jì)算，式(7)可簡(jiǎn)寫為

(Kfe-ω2Mfe)Xfe=Ffe

(8)

1.3 自由場(chǎng)聲振耦合的邊界元法

穩(wěn)態(tài)諧激勵(lì)下，為求解結(jié)構(gòu)表面上受到介質(zhì)的壓力，需要建立介質(zhì)中任一點(diǎn)的聲壓積分方程。對(duì)聲壓和格林函數(shù)應(yīng)用格林第二公式，由Sommerfeld輻射定律，外域自由聲場(chǎng)通過(guò)Helmholtz積分方程求解：

(9)

式中：px為源點(diǎn)聲壓；py為場(chǎng)點(diǎn)聲壓;c為空間角系數(shù)，光滑面上取0.5，聲場(chǎng)內(nèi)取1;G(x,y)為自由空間格林函數(shù);Γbe為自由場(chǎng)聲輻射邊界。

以二維空間為例，對(duì)于二維聲場(chǎng)問題，格林函數(shù)G(x,y)和其對(duì)場(chǎng)點(diǎn)處的法向?qū)?shù)的基本階函數(shù)如下：

(10)

(11)

聯(lián)立式(3)，式(9)～式(11)，并通過(guò)Kronecker函數(shù)合并聲壓項(xiàng)得到邊界積分方程：

Hpbe-Gvbe=0

(12)

式中：H、G分別為采用邊界積分方程得到的頻率相關(guān)的矩陣，pbe、vbe分別為邊界上的聲壓和法向速度向量。

1.4 聲振耦合方程及輻射聲功率

當(dāng)聲場(chǎng)由有限大內(nèi)聲場(chǎng)和無(wú)限大自由聲場(chǎng)組成時(shí)，式(8)的平衡方程須引入自由場(chǎng)聲介質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)表面的反作用力項(xiàng)為

(Kfe-ω2Mfe)Xfe=Ffe+Lpbe

(13)

式中L為結(jié)構(gòu)與自由聲場(chǎng)的邊界壓強(qiáng)與邊界法向作用力的耦合矩陣。

(14)

由穩(wěn)態(tài)諧波激勵(lì)下的界面位移與界面法向速度的界面連續(xù)性條件可知：

(15)

式中：Nu為結(jié)構(gòu)單元的位移形函數(shù)，Γe為自由聲場(chǎng)與結(jié)構(gòu)的單元耦合邊界，m為耦合邊界單元總數(shù)。上式求積分并求逆移項(xiàng)后，將結(jié)構(gòu)位移從邊界單元擴(kuò)充至全局響應(yīng)向量Xfe得到：

(16)

式中：Mbe為邊界質(zhì)量矩陣，其表達(dá)式即為式(15)左端積分項(xiàng)；聯(lián)立式(12)、(13)和式(16)，得到修正后含外部自由聲場(chǎng)的聲振耦合方程

(17)

直接求解式(17)即可得到內(nèi)外聲場(chǎng)聲壓值以及結(jié)構(gòu)邊界位移。同式(14)，采用形函數(shù)Np對(duì)自由場(chǎng)邊界聲速和聲壓進(jìn)行采用統(tǒng)一的插值離散并代入上式，得到聲功率W的數(shù)值計(jì)算公式為[15]

(18)

式中Re為取計(jì)算值的實(shí)部。

式(18)在聲功率靈敏度求解中不便于解耦變量，為方便后文求解單元靈敏度，需要將聲功率公式修改為用結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)表達(dá)的方式。將邊界積分方程式(12)代入上式并由復(fù)共軛矩陣乘法規(guī)則得到采用邊界振速表示的結(jié)構(gòu)聲功率的表達(dá)式：

(19)

聲功率靈敏度是求聲功率對(duì)結(jié)構(gòu)單元狀態(tài)參數(shù)xi求微分，為方便計(jì)算，應(yīng)使式(19)盡量簡(jiǎn)單。由實(shí)部操作符得到式(19)的簡(jiǎn)單表達(dá)式：

(20)

其中

將式(16)代入式(20)，得到輻射聲功率關(guān)于Xfe的關(guān)系式：

(21)

其中

2 單元靈敏度分析與優(yōu)化算法

拓?fù)鋬?yōu)化問題需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)相對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度進(jìn)行分析，由輻射聲功率的表達(dá)式可知，在外載荷和輻射邊界不發(fā)生變化的情況下，輻射聲功率僅與結(jié)構(gòu)表面法向速度vbe有關(guān)，即是結(jié)構(gòu)響應(yīng)Xfe的函數(shù)。Kang等[16-17]利用伴隨變量法(AVM)推導(dǎo)出廣義結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)g(Xfe)的靈敏度分析方法，該方法明確指出靈敏度依賴于結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的幅值，隨后他們團(tuán)隊(duì)采用這種伴隨變量法計(jì)算僅考慮單向耦合的聲壓靈敏度[13]，取得了一定的成果。本文將該方法推廣到強(qiáng)耦合的聲功率靈敏度分析中。

2.1 聲功率單元靈敏度的AVM方法

在本文中，首先將AVM方法擴(kuò)展到重介質(zhì)的靈敏度分析中。對(duì)于依賴于位移響應(yīng)Xfe的結(jié)構(gòu)響應(yīng)g(Xfe)，其目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)引入兩個(gè)拉格朗日乘子的和改寫為

(22)

式中，Kd=Kfe-ω2Mfe。上式中存在與Xfe不統(tǒng)一的變量pbe，聯(lián)立式(12)和式(16)可得

Lpbe=BXfe

(23)

(24)

將式(24)兩邊對(duì)設(shè)計(jì)變量xi求導(dǎo)，可得

(25)

令伴隨向量滿足以下方程：

(26)

式中μ1、μ2滿足μ1=(μ2)H。式(25)可以化簡(jiǎn)為

(27)

由聲振耦合方程(17)求解的Xfe是復(fù)向量，將其分解為實(shí)部與虛部之和的形式代入式(21)，得到輻射聲功率的表達(dá)式：

(28)

式中( )R、( )I分別為取實(shí)部和虛部。式(28)對(duì)Xfe求導(dǎo)得到：

(29)

(30)

將式(29)、(30)代入式(26)可得到伴隨向量的表達(dá)式：

(31)

求解式(31)即可得到拉格朗日乘子μ1，進(jìn)而輻射聲功率靈敏度可由式(27)得出

(32)

由上述伴隨變量法的推導(dǎo)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，該方法推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣，中間變量較多，容易出錯(cuò)。因此，本文提出更為簡(jiǎn)潔高效的直接求導(dǎo)法求解輻射聲功率靈敏度。

2.2 聲功率單元靈敏度的直接求導(dǎo)法

式(21)中的輻射聲功率W直接對(duì)單元變量xi求導(dǎo)，并由實(shí)部操作符得到聲功率的簡(jiǎn)單形式：

(33)

式(13)和式(23)分別對(duì)xi求導(dǎo)得到：

(34)

由式(34)得到：

(35)

將式(35)代入式(33)得到輻射聲功率的單元靈敏度公式：

(36)

對(duì)比本文的直接求導(dǎo)法和AVM法可以發(fā)現(xiàn)，本文方法的推導(dǎo)過(guò)程較為簡(jiǎn)潔高效，中間變量少。最終的靈敏度公式中的各矩陣都在AVM法的最終公式中出現(xiàn)，不需要計(jì)算額外的變量，說(shuō)明靈敏度計(jì)算量也并未增加。

2.3 目標(biāo)函數(shù)與優(yōu)化算法

體積約束條件下，以輻射聲功率C最小化為目標(biāo)函數(shù)，則結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

(37)

式中：V*為結(jié)構(gòu)有效體積，xi為單元狀態(tài)變量(取xmin或1)。

在涉及到特征值問題的優(yōu)化中，低密度區(qū)域容易產(chǎn)生局部模態(tài)。在使用BESO優(yōu)化方法時(shí)，Huang等[18]對(duì)質(zhì)量和剛度采用相同的罰函數(shù)冪率，該模型對(duì)部分優(yōu)化問題是有效的。但是在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，采用這種方法后有些優(yōu)化問題在失效單元區(qū)域仍然會(huì)出現(xiàn)局部模態(tài)，這導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)拓?fù)渫蛔?，迭代不穩(wěn)定難以收斂。Pedersen[19]提出線性化單元?jiǎng)偠鹊姆椒ǎ摲椒梢允箚卧跇O低密度時(shí)仍然能保持較高的剛度質(zhì)量比，可有效避免偽本征模，使優(yōu)化結(jié)果更加合理，罰函數(shù)模型如下：

(38)

式中：ρ0為結(jié)構(gòu)初始密度，E0為結(jié)構(gòu)初始彈性模量，p為罰因子。

結(jié)合BESO方法中單元狀態(tài)變量xi僅可取xmin或1的特點(diǎn)，同時(shí)為保證罰函數(shù)模型的連續(xù)性，本文提出以下改進(jìn)的罰函數(shù)模型：

(39)

拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中需要采用基于半徑濾波法和單元靈敏度歷史平均方法等來(lái)避免“孤立網(wǎng)格”和加速收斂。具體的耦合優(yōu)化的計(jì)算流程如下：

1)初始化結(jié)構(gòu)參數(shù)。定義初始耦合域的物理參數(shù)、定義BESO算法的各初始參數(shù)；

2)生成數(shù)值網(wǎng)格、生成單元矩陣和耦合矩陣并組裝生成有限元聲振耦合方程，生成結(jié)構(gòu)外表面邊界元的各矩陣；

3)根據(jù)步驟2)計(jì)算各矩陣，求解系統(tǒng)響應(yīng)。根據(jù)式(38)計(jì)算單元靈敏度。進(jìn)行靈敏度過(guò)濾和靈敏度歷史平均[20]；

4)判斷失效單元是否與聲學(xué)單元相鄰，如果相鄰，則將失效單元轉(zhuǎn)變?yōu)槁晫W(xué)單元，并更新結(jié)構(gòu)域和流體域；

5)根據(jù)更新后的各域，識(shí)別結(jié)構(gòu)域和流體域的耦合單元和耦合邊界；

6)進(jìn)行收斂性判斷，如不滿足收斂條件，則重復(fù)步驟2)～步驟5)，直到滿足收斂條件。

3 數(shù)值算例

3.1 聲輻射數(shù)值計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文文建立的聲振耦合方程的正確性，設(shè)置驗(yàn)證算例。無(wú)限大水中放置一個(gè)內(nèi)徑為1.0 m外徑為1.2 m的鋁質(zhì)圓環(huán)，結(jié)構(gòu)密度為2 700 kg/m3，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.3，內(nèi)聲場(chǎng)和外聲場(chǎng)介質(zhì)為水，其密度為1 000 kg/m3，聲速為1 450 m/s。圓環(huán)內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)處施加頻率為10 Hz，幅值為1 N，方向?yàn)閥軸方向的激勵(lì)力。

采用Matlab編程計(jì)算圓環(huán)內(nèi)外的耦合聲場(chǎng)，并與無(wú)反射邊界法的計(jì)算計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在無(wú)反射邊界中，取圓環(huán)外側(cè)半徑5 m的同心圓為外側(cè)計(jì)算域，外邊界設(shè)置為無(wú)反射邊界，材料屬性和其他邊界條件與聲振耦合法相同，兩種方式的聲壓計(jì)算結(jié)果如圖2所示。對(duì)比可知，本文的聲振耦合法與無(wú)反射邊界法計(jì)算的內(nèi)、外場(chǎng)聲壓分布基本一致。

圖2 圓環(huán)內(nèi)外聲場(chǎng)聲壓分布

圖3給出圓環(huán)外邊界聲壓實(shí)部的分布曲線，為方便比較，設(shè)置起始點(diǎn)為圓環(huán)左側(cè)中點(diǎn)(與圖3中弧度為0處相對(duì)應(yīng))，沿順時(shí)針方向。兩種數(shù)值方法計(jì)算的整體匹配度較好，但在谷值處誤差相對(duì)較大，原因在于有限元的無(wú)反射邊界對(duì)正入射波吸收性較好，但對(duì)傾斜入射波有一定的反射作用，因此與實(shí)際值有一定誤差。此外可明顯看出無(wú)反射邊界法的曲線在對(duì)稱節(jié)點(diǎn)上的聲壓值略微不對(duì)稱，而邊界條件和外載荷均是對(duì)稱，其邊界聲壓實(shí)部也應(yīng)該是對(duì)稱的。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是劃分有限元網(wǎng)格無(wú)法做到完全對(duì)稱，造成一定的誤差。因此，可以認(rèn)為采用聲振耦合方程可獲得良好的聲壓預(yù)報(bào)結(jié)果。

圖3 結(jié)構(gòu)表面聲壓實(shí)部分布

3.2 算例1

圖4為算例1的設(shè)計(jì)模型，設(shè)計(jì)域?yàn)橐煌獠堪霃?.0 m，內(nèi)部半徑2.0 m的半圓環(huán)，外圈厚度0.1 m部分為非設(shè)計(jì)域，初始設(shè)計(jì)域?yàn)槿O(shè)計(jì)域的80%(即圖中半徑2.2 m部分)，半圓環(huán)兩側(cè)的底部固定約束，內(nèi)部流體的底部邊界為零聲壓邊界。內(nèi)外聲場(chǎng)的聲介質(zhì)均為水，聲介質(zhì)屬性和結(jié)構(gòu)材料屬性同聲輻射數(shù)值計(jì)算結(jié)果。內(nèi)聲場(chǎng)中點(diǎn)Pin點(diǎn)為一幅值大小為100 Pa的聲壓激勵(lì)，激勵(lì)頻率為125 Hz。本算例以結(jié)構(gòu)外表面輻射聲功率最小化為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)置目標(biāo)體積為全結(jié)構(gòu)域的80%不變。計(jì)算域用最大0.03 m尺寸的四邊形四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元離散，過(guò)濾半徑rmin=0.1 m，罰函數(shù)因子p=3，xmin=0.000 1。

圖4 拱形梁設(shè)計(jì)模型

為驗(yàn)證本文所提靈敏度方法的設(shè)計(jì)效果，同條件下采用AVM靈敏度法進(jìn)行對(duì)比。迭代過(guò)程的聲功率級(jí)和靈敏度計(jì)算消耗時(shí)間如圖5所示，其中基準(zhǔn)聲功率為1×10-12W。兩種方法的目標(biāo)函數(shù)在迭代過(guò)程中除了在開始有小幅波動(dòng)之外，均很快達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，說(shuō)明兩種靈敏度方法的魯棒性較好，且最終的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)一致。對(duì)比兩種方法在迭代過(guò)程中靈敏度部分消耗的時(shí)間可以發(fā)現(xiàn)，兩種靈敏度求解方法在每一個(gè)迭代步中的分析時(shí)間沒有明顯差異。從式(32)和式(36)看出，兩個(gè)靈敏度計(jì)算公式都包含相似的變量，因此計(jì)算時(shí)間沒有太大差異。

圖5 目標(biāo)函數(shù)和靈敏度計(jì)算時(shí)間的迭代曲線

結(jié)構(gòu)對(duì)外聲輻射情況也體現(xiàn)在外部聲場(chǎng)的聲壓級(jí)分布情況上。圖6為優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)拓?fù)鋱D與內(nèi)部聲場(chǎng)和部分外部聲場(chǎng)的聲壓級(jí)響應(yīng)分布，外部聲場(chǎng)截取10 m×6 m范圍。對(duì)比內(nèi)部聲場(chǎng)，優(yōu)化前、后僅分布范圍改變，強(qiáng)度未發(fā)生明顯變化，但從外部聲場(chǎng)的聲壓級(jí)分布可以看出，初始設(shè)計(jì)的外聲場(chǎng)存在大范圍的高聲壓級(jí)區(qū)域。優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中，該區(qū)域聲壓級(jí)明顯低于初始設(shè)計(jì)，這也印證了優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的聲輻射得到有效的降低。

圖6 優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)拓?fù)浜吐晧杭?jí)分布

3.3 算例2

算例1為鋁在水介質(zhì)中的聲輻射優(yōu)化，為研究不同聲介質(zhì)和結(jié)構(gòu)材料的優(yōu)化效果，算例2的設(shè)計(jì)模型同算例1，改變聲介質(zhì)和結(jié)構(gòu)材料。初始設(shè)計(jì)域?yàn)槿O(shè)計(jì)域，半圓環(huán)兩側(cè)的底部固定約束，流體下邊界為剛性邊界。圓環(huán)內(nèi)部和外部輻射聲場(chǎng)的聲介質(zhì)均為空氣，密度為1.21 kg/m3，聲速為343 m/s。結(jié)構(gòu)的材料密度為800 kg/m3，彈性模量為2 GPa，泊松比為0.3。聲壓激勵(lì)源位于圓心處Pin點(diǎn)，幅值大小為100 Pa，激勵(lì)頻率為205 Hz。以結(jié)構(gòu)外表面輻射聲功率最小化為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)置目標(biāo)體積為全結(jié)構(gòu)域的65%。單次迭代的體積縮減率為2%，過(guò)濾半徑rmin=0.1 m，罰函數(shù)因子p=3，xmin=0.000 1。

為方便對(duì)比外聲場(chǎng)情況，截取外部半徑為6 m的圓環(huán)區(qū)域。圖7為優(yōu)化前、后同色度范圍的聲壓級(jí)分布圖和結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螒B(tài)。結(jié)構(gòu)拓?fù)涞倪吔缜逦逸^為規(guī)整，內(nèi)部聲場(chǎng)和外部聲場(chǎng)的聲壓級(jí)得到大幅的降低。這與圖8的迭代曲線相對(duì)應(yīng)，結(jié)構(gòu)拓?fù)錆u變穩(wěn)定，迭代曲線未出現(xiàn)大幅波動(dòng)，聲功率級(jí)從初始的104.8 dB降低至62.1 dB，降低幅度達(dá)到40.7%。從優(yōu)化前、后內(nèi)部聲場(chǎng)的分布情況看，由激勵(lì)源聲波、邊界反射聲波以及結(jié)構(gòu)振動(dòng)輻射聲波相互疊加形成環(huán)形的低聲壓帶，由于結(jié)構(gòu)拓?fù)涞母淖?，低聲壓帶分布位置和個(gè)數(shù)發(fā)生改變。為方便觀察內(nèi)部聲壓帶與外部輻射聲場(chǎng)的關(guān)系，圖7還給出聲壓級(jí)高對(duì)比圖，從圖中圈出部分可以看出，圓環(huán)內(nèi)邊界上的聲壓帶個(gè)數(shù)與外聲場(chǎng)高(或低)聲壓是對(duì)應(yīng)的。

圖7 優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)拓?fù)浜吐晧杭?jí)分布

圖8 目標(biāo)函數(shù)和約束體積的優(yōu)化迭代曲線

3.4 算例3

圖9為算例3的設(shè)計(jì)模型，結(jié)構(gòu)域?yàn)?.0 m×0.2 m的固支梁，梁頂部0.02 m部分為非設(shè)計(jì)域，初始設(shè)計(jì)域即為全設(shè)計(jì)域，結(jié)構(gòu)密度為2 700 kg/m3，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.3，設(shè)置目標(biāo)體積為全結(jié)構(gòu)域的85%。結(jié)構(gòu)域下側(cè)聲介質(zhì)域?yàn)?.0 m×0.2 m的矩形域，聲介質(zhì)為水，梁上側(cè)聲介質(zhì)為空氣，各介質(zhì)屬性與上文相同。聲壓激勵(lì)源為矩形流體域的下邊界，幅值大小為100 Pa，激勵(lì)頻率為1 940 Hz。同樣以聲功率最小化為目標(biāo)函數(shù)。設(shè)計(jì)域離散為200×40個(gè)四邊形單元，體積縮減率設(shè)置為1%，過(guò)濾半徑rmin=0.015 m，罰函數(shù)因子p=3，xmin=0.000 1。

圖9 固支梁設(shè)計(jì)模型

截取固支梁上方2.0 m×1.0 m區(qū)域的聲壓級(jí)分布來(lái)比較優(yōu)化結(jié)果，如圖10所示。可以看出，優(yōu)化后的外聲場(chǎng)聲壓得到明顯降低。圖中的等值線上數(shù)值表明，初始設(shè)計(jì)的輻射聲場(chǎng)最大聲壓級(jí)達(dá)到100 dB，且占據(jù)固支梁上方的大部分區(qū)域，優(yōu)化構(gòu)型的最大輻射聲壓級(jí)降低至65 dB，降低幅度約35%。圖11顯示了兩種模型在不同激勵(lì)頻率下的聲功率級(jí)曲線，激勵(lì)頻率位于初始設(shè)計(jì)模型的第2個(gè)響應(yīng)峰值處，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)輻射聲功率峰值頻率降低，避開激勵(lì)頻率所在位置，使其位于響應(yīng)谷值附近，聲功率級(jí)從初始的70.6 dB降低至54.7 dB，降低幅度達(dá)22.5%。圖12為優(yōu)化迭代曲線，與前文一致，迭代曲線平緩，結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问轿窗l(fā)生突變，說(shuō)明本文算法的穩(wěn)定性較好。

圖10 優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)拓?fù)浜吐晧杭?jí)分布

圖11 聲功率頻率響應(yīng)曲線

圖12 目標(biāo)函數(shù)和約束體積的優(yōu)化迭代曲線

4 結(jié) 論

1)建立的含內(nèi)部聲場(chǎng)的強(qiáng)耦合有限元/邊界元模型計(jì)算精度較高，可用于求解耦合系統(tǒng)的聲輻射問題。

2)提出的直接求導(dǎo)法與經(jīng)典的伴隨變量法得到的優(yōu)化結(jié)果一致，且魯棒性較好。

3)本文的線性化剛度模型和靈敏度分析法適用于不同結(jié)構(gòu)材料與聲介質(zhì)問題，因此使用本文的優(yōu)化算法可以得到最優(yōu)拓?fù)洹?/p>