定點運動轉(zhuǎn)軸唯一性與歐拉角位移矢量性討論

徐晨昊，張亞紅

（1.西安交通大學 機械學院，陜西 西安 710049；2.西安交通大學 航天學院，陜西 西安 710049）

剛體的定點運動可看成剛體繞一系列過定點的瞬時轉(zhuǎn)軸的連續(xù)轉(zhuǎn)動，關(guān)于定點運動的討論是理論力學研究中的重要問題［1，2］.理論力學教材中通常先采用幾何法證明達朗貝爾-歐拉定理，即定點運動剛體的任何有限位移可通過繞過定點的等效轉(zhuǎn)軸的一次轉(zhuǎn)動實現(xiàn)，再令運動時間趨于無窮小，定性地得到存在瞬時轉(zhuǎn)軸的結(jié)論.幾何證明法因不能確定等效轉(zhuǎn)軸和瞬時轉(zhuǎn)軸是否唯一而有失完整性.

目前已有文獻使用幾何法直接證明瞬時轉(zhuǎn)軸的存在性，用反證法證明其唯一性［3］，也有文獻利用解析法證明等效轉(zhuǎn)軸的存在性［4］，經(jīng)典理論力學教材中也包含瞬時轉(zhuǎn)軸存在性的解析證明［5］.若能采用解析法進一步對等效轉(zhuǎn)軸和瞬時轉(zhuǎn)軸的唯一性進行論證，對于充實和完善剛體定點運動的描述將具有重要意義.

現(xiàn)行理論力學教材公認剛體定點運動的角速度矢量與瞬時轉(zhuǎn)軸共線，通過反證法說明有限歐拉角位移具有不可換序性，從而證明了有限歐拉角位移不是矢量，不能合成為繞等效轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的角位移.同時通過特例證明無限小歐拉角位移是矢量，角速度矢量與歐拉角變化率之間的關(guān)系為

ω ＝ ψ·+θ·+φ·（1）

若能夠?qū)τ谑剑?）進行嚴格的一般性證明，則可進一步完善剛體定點運動的描述，并對本部分教學工作具有很好的參考意義.

本文采用解析法，通過矩陣運算闡明等效轉(zhuǎn)軸與初末狀態(tài)的過渡矩陣之間的關(guān)系，進而對等效轉(zhuǎn)軸的唯一性進行證明，并嚴格證明有限歐拉角位移不是矢量的結(jié)論.之后證明瞬時轉(zhuǎn)軸的唯一性，并對無限小歐拉角位移是矢量的結(jié)論進行嚴格證明，同時基于該結(jié)論印證式（1）的正確性，并建立了瞬時轉(zhuǎn)軸的方位與歐拉角之間的關(guān)系.

1 等效轉(zhuǎn)軸與過渡矩陣的關(guān)系

設剛體做定點運動，定點為坐標原點O.［i j k］和［i′j′k′］分別為定坐標系和結(jié)體坐標系的單位方向向量，則

矩陣 A 為［i j k］到 [ i′ j′ k′]的過渡矩陣.同一個向量在這兩組基底下的坐標之間的關(guān)系為

滿足式（6）的向量是等效轉(zhuǎn)軸的方向向量，該向量在定坐標系下的坐標向量記作e，由式（5）得

式（7）表明等效轉(zhuǎn)軸的方向向量為過渡矩陣A的特征值1所對應的特征向量.

2 矩陣法證明等效轉(zhuǎn)軸的唯一性

如式（2）所述，A是兩組三維標準正交基 Q＝［i j k］和 Q′＝ [ i′ j′ k′]之間的過渡矩陣，滿足

標準正交基構(gòu)成的矩陣是正交矩陣.正交矩陣可逆，其逆矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣也是正交矩陣，正交矩陣的乘積依然是正交矩陣.由以上性質(zhì)可知A＝Q-1Q′也是正交矩陣.

剛體定點運動可用圖1所示歐拉角描述.設Q到Q′的歐拉角為ψ、θ、φ，則過渡矩陣A可表示為

圖1 歐拉角示意圖

其中

因為歐拉角與剛體定點運動的位置一一對應，所以任意一個有限位移的過渡矩陣是唯一的.經(jīng)運算可知

正交矩陣的特征值具有以下性質(zhì):若特征值為實數(shù)，則其必為+1或-1；若特征值為復數(shù)，則其必成對出現(xiàn)，且互為模等于1的共軛復數(shù).A為三階正交矩陣，在復數(shù)域內(nèi)有三個特征值λ1、λ2、λ3，且三個特征值滿足

結(jié)合式（14）和正交矩陣特征值的性質(zhì)分析可知，矩陣A只可能有一對復特征值或不含復特征值.當矩陣A有一對復特征值時，剩下的一個特征值必為1；當矩陣A沒有復特征值時，因為A不是單位矩陣，所以三個特征值只能為λ1＝1，λ2＝ -1，λ3＝-1.由此可知，過渡矩陣 A一定有單特征值1，所以式（7）中的特征向量e存在，即等效轉(zhuǎn)軸存在.

特征值 1的代數(shù)重數(shù)是指代數(shù)方程det（A-λI）＝0的根 λ＝1的重數(shù)，由上文可知其為1.特征值1的幾何重數(shù)是指特征方程（7）的基礎解系所含有的向量個數(shù).根據(jù)線性代數(shù)理論可知，矩陣A的任何特征值的幾何重數(shù)不大于其代數(shù)重數(shù)，又因為幾何重數(shù)至少為1，所以幾何重數(shù)只能等于1，即A的特征值1對應的特征向量只在一維向量空間中分布，因此等效轉(zhuǎn)軸是唯一的.

至此，剛體定點運動有限位移的等效轉(zhuǎn)軸的唯一性證明完畢.

3 有限歐拉角位移的矢量性討論

剛體定點運動有限位移可以分解為進動、章動和自轉(zhuǎn).假設歐拉角位移具有矢量性，根據(jù)位移的等效性，三個歐拉角位移合成結(jié)果應當?shù)扔趧傮w繞等效轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的角位移.

如圖1所示，進動、章動、自轉(zhuǎn)的角位移分別沿z軸、節(jié)線 ON、z′軸.z軸、節(jié)線 ON、z′軸的方向向量以k、n、k′表示，則歐拉角位移在定坐標系下的表示形式為

設向量 b＝ψ+θ+φ，則

根據(jù)式（9）—（12），利用 MATLAB 計算可知

由此可見向量b不滿足式（7），所以其不是該有限位移的等效轉(zhuǎn)軸的方向向量.該結(jié)論與位移的等效性相違背，所以假設本身即是錯誤的.

綜上可知，歐拉角位移不是矢量.

4 矩陣法證明瞬時轉(zhuǎn)軸的唯一性

在無限小的時間間隔Δt內(nèi)截取上述有限位移中的任意一段無限小位移，并且其初末狀態(tài)的結(jié)體坐標系不重合.設結(jié)體坐標系在無限小位移前后的標準正交基 [ i1j1k1]和 [ i2j2k2]對應于定坐標系[i j k]的過渡矩陣分別為 B和 C，且 B＝B1B2B3，C＝C1C2C3，其中

B和C滿足

根據(jù)式（19）和式（20），設 [ i1j1k1]到 [ i2j2k2]的過渡矩陣為D，則

因為B和C皆為行列式為1的正交矩陣，所以D 也是正交矩陣，且 det（D）＝ det（BT）det（C）＝ 1.因此，依照與第2部分完全相同的證明方式可知，該無窮小位移的等效轉(zhuǎn)軸是唯一的.由于 Δt→0，所以該等效轉(zhuǎn)軸即為瞬時轉(zhuǎn)軸.又因為該無窮小位移是任意選取的，所以剛體定點運動任意時刻的瞬時轉(zhuǎn)軸具有唯一性.

5 無限小歐拉角位移的矢量性討論

由上文可知剛體位移趨于零時滿足

因為矩陣B的所有元素均可視作為關(guān)于ψ、θ、φ的一階連續(xù)可導函數(shù)，所以B存在全微分

矩陣C和矩陣B無限接近，因此矩陣C可表示為

將式（22）代入上式可得

據(jù)上文所述，矩陣D＝BTC代表無限小位移的過渡矩陣，將式（23）代入矩陣 D并利用 MATLAB軟件進行計算，得到過渡矩陣D的表達式，它是一個單位矩陣I與一個無窮小量矩陣 H的和.矩陣D的第一行元素為

第二行元素為

第三行元素為

求解矩陣D的特征值1對應的特征（坐標）向量，從而得到瞬時轉(zhuǎn)軸的方向向量.

設r為坐標原點到剛體上某一點的向量，則

dr是其經(jīng)過該無限小位移后的變化量

經(jīng)MATLAB軟件計算可得

由此可知dβ是該無限小位移所等效的旋轉(zhuǎn)角位移.

將式（24）展開可得

對比式（15）—（17）中的表達式，并假設無限小歐拉角位移是矢量，可得

由式（26）可知，無限小歐拉角位移的矢量和等于繞瞬時轉(zhuǎn)軸的等效旋轉(zhuǎn)角位移，滿足位移的等效性，因此假設成立.綜上所述，無限小歐拉角位移是矢量.

圖2 剛體定點運動角速度示意圖

6 結(jié)論

1）證明了剛體定點運動等效轉(zhuǎn)軸的唯一性，并給出了等效轉(zhuǎn)軸應滿足的條件:方向向量為過渡矩陣A的特征值1對應的特征向量.

2）通過矩陣運算，論述了有限歐拉角位移不滿足矢量運算的性質(zhì)，從而說明有限歐拉角位移不是矢量.

3）在等效轉(zhuǎn)軸唯一性的證明基礎上，進一步利用矩陣及其特征值的性質(zhì)，證明了剛體定點運動瞬時轉(zhuǎn)軸的存在性和唯一性.

4）從角位移和角速度的定義出發(fā)，借助矩陣全微分運算，證明了無限小歐拉角位移是矢量，并建立了瞬時轉(zhuǎn)軸方向向量與歐拉角之間的關(guān)系.

應當指出，上述證明和分析除了對剛體定點運動的相關(guān)結(jié)論給予嚴格的解析證明，分析過程也展示了矩陣及其特征值性質(zhì)在復雜剛體運動分析中的優(yōu)勢.