準零剛度隔振系統(tǒng)自適應控制

陳旭超，刁愛民，楊慶超，柴 凱

(1.海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033；2.海軍工程大學 艦船與海洋學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

艦船機械設備的穩(wěn)定運轉是產(chǎn)生機械振動的主要因素之一，為了減小機械設備的振動幅度，一般采用在基礎與被隔振物體之間設置隔振器。準零剛度隔振系統(tǒng)因其特有的高靜低動剛度特性在減振降噪方面應用廣泛，在參數(shù)設置理想的情況下能展現(xiàn)出很好的隔振性能，而且相比傳統(tǒng)線性隔振器，其在低頻隔振領域應用廣泛。然而在實際工程中，受環(huán)境等因素的影響，系統(tǒng)元器件的參數(shù)會發(fā)生一定的改變，對這些參數(shù)的變化并非能夠隨時隨地的掌握。與此同時，準零剛度隔振系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，含有三次方項，參數(shù)的改變可能使系統(tǒng)從小振幅運動狀態(tài)變換到大振幅運動狀態(tài)，不利于機械設備的正常工作。設計一種控制器，使準零剛度隔振系統(tǒng)在參數(shù)發(fā)生擾動的情況下仍然能夠控制被隔振設備運行在小振幅運動狀態(tài)是本文研究的主要內(nèi)容。

自適應控制經(jīng)過近幾年的發(fā)展，能很好地融入到各種控制系統(tǒng)并取得很好的控制效果，梁翠香等[1]將其應用在Qi系統(tǒng)的混沌控制，在參數(shù)受到較大擾動的情況下仍使系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定。陳學菲等[2]將其應用在參數(shù)不確定的非自治混沌系統(tǒng)，并證明了誤差系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。程春蕊等[3]基于自適應滑?？刂品椒?，對非線性混沌系統(tǒng)在模型不確定和外部擾動的情況下的同步問題進行研究，得到一類帶有模型不確定性和外部擾動項的整數(shù)階及分數(shù)階非線性混沌系統(tǒng)的同步。劉梓豪[4]基于SD振子理論，建立一種載荷自適應的準零剛度隔振系統(tǒng)，解決了振動過程中載荷質(zhì)量變化的問題。姚立強[5]針對一類隨機非線性系統(tǒng)，引入輔助子系統(tǒng)設計控制器，并驗證了控制策略的有效性和可行性。李國軍等[6]提出了一種帶有修正偏差功能的自適應控制策略，解決了控制過程中的顫振問題。

本文延續(xù)自適應控制算法在非線性控制領域的廣泛應用，針對兩自由度準零剛度隔振系統(tǒng)參數(shù)受到擾動的情況，首先對隔振系統(tǒng)進行動力學建模得到系統(tǒng)的動力學方程，對系統(tǒng)的動力學特性進行分析，利用數(shù)值仿真的方法得到系統(tǒng)的分岔圖，然后設計基于系統(tǒng)變量為觀測量的參數(shù)自適應控制器，并利用直接方法證明受控系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。最后通過數(shù)值仿真證明所設計的控制器的有效性。

1 兩自由度準零剛度隔振系統(tǒng)建模

兩自由度準零剛度隔振系統(tǒng)一階形式無量綱動力學微分方程[7]為：

其中：X=[x1,y1,x2,y2]T∈R4為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；參數(shù)γ，f， ω ，w，k2， ξi(i=1,2)均為正實數(shù)。

2 動力學特性數(shù)值分析

對系統(tǒng)剛度k2的分岔特性展開研究，設定系統(tǒng)參數(shù) γ =2，f=6.8， ξi=0.1，w=0.5， 初 始 狀 態(tài) 向 量（位移、速度）選擇X=[0,0,0,0]T。在艦船機械設備中，系統(tǒng)的振動是通過基座向外部傳遞，選取基座的位移進行分岔分析，通過數(shù)值計算得到當k2為分岔參數(shù)時的局部分岔圖如圖1所示。

圖1 k2為分岔參數(shù)時的局部分岔圖Fig.1 k2 is a local bifurcation diagram with bifurcation parameters

圖1表明當 0 ＜k2＜1.92時，系統(tǒng)處于漸近穩(wěn)定狀態(tài)，處于周期運動，且基座的振幅隨參數(shù)的增大逐漸增大，當k2=1.92時系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。k2＞2.22時，系統(tǒng)的周期軌道失去穩(wěn)定性最后通向混沌。取k2=1,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖和功率譜圖如圖2和圖3所示；取k2=2.1，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖和功率譜圖如圖4和圖5所示；取k2=2.5，穩(wěn)態(tài)之后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖和功率譜圖如圖6和圖7所示。由圖2～圖7可知隨著系統(tǒng)參數(shù)k2的不斷增大，系統(tǒng)的運動狀態(tài)發(fā)生明顯的改變，并且系統(tǒng)的功率譜也逐漸增大，不利于設備的正常工作。

圖2k2=1時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖Fig.2 Steady state phase diagram fork2=1

圖3 k 2=1時系統(tǒng)功率譜圖Fig.3 Power spectrum of the system atk2=1

圖4 k 2=2.1時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖Fig.4 Steady state phase diagram fork2=2.1

圖5 k 2=2.1時系統(tǒng)功率譜圖Fig.5 Power spectrum of the system atk2=2.1

圖6 k 2=2.5時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖Fig.6 Steady state phase diagram fork2=2.5

圖7 k 2=2.5時系統(tǒng)功率譜圖Fig.7 Power spectrum of the system atk2=2.5

3 參數(shù)自適應控制

3.1 控制器的設計

選取隔振系統(tǒng)結構參數(shù)γ =2，f=6.8，ω=1.6，ξi=0.1，w=0.5，初始狀態(tài)向量（被隔振物體和基座的位移和速度）選擇X=[0,0,0,0]T時，k2為受到擾動的參數(shù)，此時受控系統(tǒng)為：

設式（2）的參考模型為：

當參數(shù)k2發(fā)生變化，由局部分岔分析結果可得當參數(shù)達到一定值時，系統(tǒng)運動狀態(tài)發(fā)生變化，振幅逐漸增大，功率譜也逐漸增大，這些都不利于艦船設備的正常工作?，F(xiàn)要求隔振系統(tǒng)可以在參數(shù)發(fā)生變化的情況下始終運行到期望的小振幅運動狀態(tài)，根據(jù)參數(shù)自適應控制理論，設計如下以被隔振物體和基座位移之差為觀測量的自適應控制器：

則式（2）變?yōu)椋?/p>

為證明所設計控制器的穩(wěn)定性，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，首先構造Lyapunov函數(shù)：

求導得：

由式（6）和式（7）可知V有極值且收斂于某一值，又由于參數(shù)k2在沒有受到干擾的情況下是隔振器的理想?yún)?shù)，是一個定值，所以有如下關系式：

式(8)表明當t→∞時，它的積分極限存在，故必有

由于式（7）中(x1-x2)2當t→∞時并不常為0，故有

由此證明受控系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，實現(xiàn)了兩自由度準零剛度隔振系統(tǒng)在參數(shù)受到擾動情況下的穩(wěn)定控制。

3.2 數(shù)值仿真

采用Matlab對所設計的自適應控制算法進行數(shù)值仿真，當準零剛度隔振系統(tǒng)中的參數(shù)k2受到擾動而發(fā)生改變時，假設理想的結構參數(shù)k2=0.1，通過3種情況對所設計的參數(shù)自適應控制器進行數(shù)值驗證。參數(shù)值改變k2=1.5，圖8和圖9為初始參數(shù)k2=1.5的t-k2和t-x2曲線圖。由圖8可知系統(tǒng)在t=500s時施加控制，大約1.5 s后參數(shù)k2恢復到期望的參數(shù)值。由圖9可知施加控制之后系統(tǒng)的振幅相對于控制前明顯降低。繼續(xù)增大擾動量，圖10～圖13為初始參數(shù)為k2=2.1和k2=2.5的t-k2和t-x2曲線圖，可知系統(tǒng)在參數(shù)變化的情況下，施加自適應控制后參數(shù)恢復到期望的參數(shù)值，運動狀態(tài)也明顯的發(fā)生變化。由此可見所設計的自適應控制器可以很好的達到參數(shù)自適應控制的效果。

圖8 初始參數(shù)k2=1.5的t-k2曲線Fig.8 t -k2 curve of initial parameterk2=1.5

圖9 初始參數(shù)k2=1.5的t -x2曲線Fig.9 t -x2 curve of initial parameterk2=1.5

圖10 初始參數(shù)k2=2.1的t -k2曲線Fig.10 t -k2 curve of initial parameterk2=2.1

圖11 初始參數(shù)k2=2.1的t-x2曲線Fig.11 t -x2 curve of initial parameterk2=2.1

圖12 初始參數(shù)k2=2.5的t-k2曲線Fig.12 t -k2 curve of initial parameterk2=2.5

圖13 初始參數(shù)k2=2.5的t -x2曲線Fig.13 t -x2 curve of initial parameterk2=2.5

4 結 語

準零剛度隔振系統(tǒng)的動力學微分方程含有三次方項，系統(tǒng)參數(shù)微小的改變都有可能會使系統(tǒng)的運動狀態(tài)發(fā)生變化，對其動力學行為的控制比較復雜，本文基于參數(shù)自適應控制方法，設計參數(shù)自適應控制器，使系統(tǒng)在參數(shù)發(fā)生變化情況下仍能運行到期望的小振幅運行狀態(tài)，得出結論如下：

準零剛度隔振系統(tǒng)動力學模型隨結構參數(shù)的改變，表現(xiàn)出豐富的動力學特性。

設計的控制器能使準零剛度隔振系統(tǒng)在參數(shù)（剛度）發(fā)生變化的情況下能很快恢復到期望值，并且系統(tǒng)的運動狀態(tài)也能維持在理想的小振幅運動狀態(tài)。

在隔振器結構參數(shù)（剛度）不斷發(fā)生改變的情況下所設計的控制器仍能保證準零剛度隔振系統(tǒng)運行于小振幅運動狀態(tài)，說明所設計的自適應控制器在一定范圍內(nèi)是有效的。