鋰電池一階RC等效電路模型的動力學特性分析

徐東輝

(1.南昌師范學院數(shù)學與計算機科學系，江西南昌 330032；2.長沙理工大學汽車與機械工程學院，湖南長沙 410076)

電動汽車由于具有節(jié)能環(huán)保效應，世界各國正出臺各項政策促進電動汽推廣使用。鋰離子電池由于具有無記憶效應、能量密度高、循環(huán)壽命長和對環(huán)境無污染等優(yōu)點，目前廣泛地使用在航空、航海、電動汽車等領域[1-3]。世界各國學者對鋰離子電池開展了各項深入研究，如：張云江等[4]從機理方面分析了鋰離子電池電芯在不同工況下的產(chǎn)熱效應及其與電化學性能的關聯(lián)性，并設計了與之相應的機械電子結構和電池熱管理材料及方案。歐陽明高、鄭岳久等[5-6]對電池組的一致性問題開展了一系列研究，并提出了電池組一致性辨識及相應的均衡算法和故障診斷方法。近期有許多學者針對鋰離子電池的荷電狀態(tài)及健康狀態(tài)等方面開展許多相關的研究，如：顏湘武等[7]應用適應無跡卡爾曼濾波算法對鋰離子動力電池的SOH進行在線實時估算，并依據(jù)實時估算結果確定鋰離子動力電池組的梯次利用方案。何志剛等[8]采用遞推最小二乘法對電池的二階RC 等效電路模型參數(shù)進行實時辨識，并將自適應迭代引入無跡卡爾曼濾波，構成自適應迭代無跡卡爾曼濾波，結果顯示提高了SOC的估算精度。文獻[9]采用基于狀態(tài)評估的邊緣計算深度學習對電池剩余使用壽命進行預測，并將預測結果傳輸?shù)交谠频姆掌魃线M行監(jiān)控和維護。

以上都是針對鋰離子動力電池某一方面特性開展研究，未對電池整體的非線性混沌特性進行分析研究，并且相關報道也甚少。因此，本文將荷控憶阻器、電阻及電感作為一階RC 等效電路的負載構成一個四階混沌動力學數(shù)學模型，運用四階變步長Runge-Kutta 法詳細分析該動力學數(shù)學模型隨一階RC 等效電路中歐姆內(nèi)阻變化過程中的Lyapunov 指數(shù)計算、時頻特征分布、相軌圖等一系列動力學特性，研究系統(tǒng)隨一階RC 等效電路歐姆內(nèi)阻變化的混沌特性演變過程，以此實時獲取一階RC 等效電路歐姆內(nèi)阻值。

1 荷控憶阻器模型

憶阻器是繼電阻、電容和電感之外的第四種基本雙端電路元件，由蔡少棠在1971 年根據(jù)電路變量的完備性提出。它代表的是電荷和磁鏈之間的關系，當時沒有現(xiàn)實可行的物理模型。2008 年，惠普公司的Williams 團隊成功制作出了基于金屬和金屬氧化物的憶阻器，證實了憶阻器的存在，也即HP憶阻器，它由摻雜部分TiO2和非摻雜部分TiO2組成。因此，憶阻器可以看成摻雜與非摻雜兩個部分互相耦合而構成的可變電阻，其憶阻值可以表示為：

式中：M(t)為憶阻值，與電阻具有同一量綱；D為憶阻器總長度；ROFF為憶阻器未摻雜時的最大電阻值導通阻抗；RON為全部摻雜時的最小電阻值；w(t)表示憶阻器摻雜部分隨時間變化的長度。

當HP 憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量的變化率為電流i的函數(shù)，即HP 憶阻器成為荷控憶阻器：

常用的憶阻器特性曲線為三次光滑連續(xù)的單調上升的曲線，表示如下：

為了進一步簡化設計基于憶阻器的一階RC 等效電路，本文將采用上述三次光滑連續(xù)的單調上升的曲線描述荷控憶阻器的本構關系，則其增益憶阻M(q)可表示為：

式中：φ為磁通量；q為電荷量；a、d為常數(shù)，且a＜0，d＞0。

2 一階RC 等效電路模型的建立

一階RC 模型如圖1 所示。其中UOC(SOC)為電池開路電壓，R0為歐姆內(nèi)阻，i為放電電流,圖中方向為正，UL為端電壓，C1為極化電容，R1為極化電阻，R1與C1構成表示電池極化現(xiàn)象的并聯(lián)R1C1網(wǎng)絡。

圖1 一階RC等效電路模型

當電池放電時，根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律可得：

一階RC 模型考慮了電池的瞬態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，該模型的精度和計算復雜度都比較適中，是模擬電池特性較好的一個選擇。因此，本文選擇一階RC 模型作為研究鋰離子電池動力學特性的等效電路模型。

3 基于憶阻器的一階RC 等效電路的混沌判別

由于鋰離子電池系統(tǒng)具有高度復雜的非線性特性，難于用準確的方程對其各種狀態(tài)進行在線精確計算。混沌是非線性系統(tǒng)中由于其非線性變量改變而產(chǎn)生的一系列貌似隨機性現(xiàn)象，并且系統(tǒng)參數(shù)的改變會引起系統(tǒng)動力學特性隨之變化，因此適合于對鋰離子電池動力學系統(tǒng)進行研究。為此本文將荷控憶阻器、電感及電阻作為負載引入一階RC 模等效電路模型(圖2)中，并建立四階混沌動力學數(shù)學模型。分析該四階混沌動力學數(shù)學模型隨一階RC 等效電路參數(shù)變化過程中相軌圖、時序圖和Lyapunov指數(shù)計算等一系列動力學特性。

圖2 基于憶阻器的RC 等效電路模型

圖中，uOC為開路電壓；R0為歐姆內(nèi)阻；R1、C1分別為極化電阻和極化電容；L1、L2為電感；R為電阻；M(q)為荷控憶阻器。

由圖2 所示建立基于憶阻器的一階RC 等效電路，假設i1、i2、i3的方向為電流參考方向，根據(jù)基爾霍夫電流及電壓定律可以得到電路方程組為：

根據(jù)電阻、電容、電感及憶阻器等元器件的伏安特性，可得上述電路方程組的微分方程組如下：

上式即為由荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路構成一個四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型，當該混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型的參數(shù)取為：α=8.6，β=1.1，γ=14.29，R=1.14，R0=0.2，R1=142.48，a=－1.34，d=0.4，且系統(tǒng)的初始值設置為[0,0.01,0,0]，可得系統(tǒng)的相軌圖如圖3 所示，時域波形如圖4 所示。由圖3 和圖4 可知該四階混沌系統(tǒng)生成了雙渦卷混沌吸引子。

圖3 系統(tǒng)的相軌圖

圖4 系統(tǒng)的時序圖

計算該四階混沌動力學數(shù)學模型的Lyapunov 指數(shù)為LE1=0.208，LE2=0.014，LE3=－1.212，LE4=－3.238，Lyapunov 維數(shù)d=2.043。由此可知該四階混沌動力學數(shù)學模型在上述參數(shù)設置下處于混沌狀態(tài)。

4 混沌動力學特性分析

4.1 系統(tǒng)的耗散性和吸引子存在性分析

4.2 電路歐姆內(nèi)阻對混沌系統(tǒng)的影響

由于R0為鋰離子電池歐姆內(nèi)阻，由式(13)可知，通過R0的變化可以掌握鋰離子電池的健康狀態(tài)(SOH)變化情況。

式中：REOL為電池壽命結束時的內(nèi)阻；R0為當前電池的內(nèi)阻；RNEW為新電池的內(nèi)阻。

本文考慮當α=8.5，β=1，γ=14.29，R=1.14，R1=142.48，a=－1.34，d=0.4，q=0.2 固定時，由式(12)可知，改變R0歐姆內(nèi)阻大小，系統(tǒng)的混沌動力學特性也發(fā)生相應改變，如系統(tǒng)的相軌圖及時序圖都發(fā)生改變，因此可以通過改變一階RC 等效電路中R0參數(shù)分析數(shù)學模型中的動力學變化情況，反之可以通過分析系統(tǒng)的動力學變化情況進一步掌握R0參數(shù)變化情況。

當R0取值范圍為[0.125，0.25)，即SOH為100%～85%時系統(tǒng)的李氏指數(shù)形式為(+，+，－，－)，表明系統(tǒng)處于超混沌運動狀態(tài)，系統(tǒng)生成了雙渦卷混沌吸引子；當R0取值范圍為[0.25，0.30)，也即SOH為85%～80%時，系統(tǒng)的李氏指數(shù)形式為(+，0，－，－)，表明系統(tǒng)處于混沌運動，系統(tǒng)生成了單渦卷混沌吸引子；當R0取值范圍為[0.30，1]，也即SOH為80%～0%時，系統(tǒng)的李氏指數(shù)形式為(0，－，－，－)，表明系統(tǒng)以周期軌道運行。圖5 為由荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路構成一個四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型在初始值取q=0.2 及R0=0.125，SOH=100%時的相軌圖和時序圖。圖6 為該四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型在初始值取q=0.2 及R0=0.28，SOH=82.3%時的相軌圖和時序圖。圖7 為該四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型在初始值取q=0.2 及R0=0.42，SOH=66.3%時的相軌圖和時序圖。圖8 為該四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型在初始值取q=0.2 及R0=0.8，SOH=22.9%時的相軌圖和時序圖。通過圖5～圖8可知該四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型隨鋰離子電池的一階RC 等效電路歐姆內(nèi)阻參數(shù)的變化具有復雜的動力學行為。隨一階RC 等效電路模型的歐姆內(nèi)阻增大，該四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型通常由雙渦卷混沌經(jīng)單渦卷混沌進入倍周期分岔序列，且歐姆內(nèi)阻越小，則該四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型的混沌現(xiàn)象越明顯。當用荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路建立一個四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型后，通過對該四階混沌系統(tǒng)動力學數(shù)學模型的動力學特性分析，可掌握一階RC 等效電路模型的歐姆內(nèi)阻變化情況，同時可進一步監(jiān)測鋰離子電池的健康狀態(tài)。

圖5 初始值q=0.2及R0=0.125，SOH=100%時的相軌圖和時序圖

圖6 初始值q=0.2及R0=0.28，SOH=82.3%時的相軌圖和時序圖

圖7 初始值q=0.2及R0=0.42，SOH=66.3%時的相軌圖和時序圖

圖8 初始值q=0.2及R0=0.8，SOH=22.9%時的相軌圖和時序圖

5 結論

(1)將荷控憶阻器、電阻及電感作為一階RC 等效電路的負載構成了一個四階混沌系統(tǒng)，并根據(jù)基爾霍夫電流及電壓定律建立了該四階混沌系統(tǒng)的動力學數(shù)學模型。通過相軌圖、時序圖和Lyapunov 指數(shù)的計算，表明該四階混沌系統(tǒng)在參數(shù)及初始值確定的情況下具有混沌特性。

(2) 運用四階變步長Runge-Kutta 法所建立的四階混沌系統(tǒng)的動力學數(shù)學模型進行仿真求解，從系統(tǒng)的耗散性和吸引子存在性、電路參數(shù)的改變等方面對系統(tǒng)的混沌動力學特性進行分析。

(3) 結果表明，該混沌系統(tǒng)隨一階RC 等效電路歐姆內(nèi)阻參數(shù)的變化具有復雜的動力學行為，隨歐姆內(nèi)阻增大，系統(tǒng)通常經(jīng)混沌進入倍周期分岔序列，且歐姆內(nèi)阻越小，則系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象越明顯。通過對系統(tǒng)的動力學特性分析，可以在線獲取歐姆內(nèi)阻值，為鋰離子動力電池壽命的在線監(jiān)測提供一種全新的方法。