基于最小二乘法的曲線擬合及其簡(jiǎn)化算法

王榮忠 高秋英,2 王得軍

1. 青島海爾洗衣機(jī)有限公司，山東省青島市 266100；2. 數(shù)字化家電國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東省青島市 266100

0 前言

在控制器的研發(fā)過(guò)程中，經(jīng)常需要對(duì)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合處理，以便找到變量之間的關(guān)系，目前較為常用的方法是最小二乘法，而其中多項(xiàng)式擬合應(yīng)用最為廣泛。在實(shí)際計(jì)算中，通過(guò)對(duì)偏差的平方和對(duì)每個(gè)系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，使偏導(dǎo)數(shù)為零來(lái)建立方程組，經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)，得到系數(shù)公式，然后求得系數(shù)[1]。在多項(xiàng)式的系數(shù)求解計(jì)算中會(huì)有大量的運(yùn)算，而控制器通常會(huì)使用單片機(jī)作為采集和運(yùn)算單元，其運(yùn)算能力不足，所以對(duì)運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化是非常有必要的[2]。本文結(jié)合最小二乘法多項(xiàng)式擬合的算法原理，在自變量為自然數(shù)序列時(shí)，對(duì)應(yīng)用較為廣泛的多項(xiàng)式曲線擬合進(jìn)行了公式推導(dǎo)，得出一種簡(jiǎn)化算法，并舉出實(shí)例說(shuō)明了其應(yīng)用方法。

1 最小二乘法擬合原理

設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為(xi,yi)i=1, 2,…,n，其擬合函數(shù)為下式：

其中，a0,a1, …,an是n+1個(gè)待定參數(shù)，y是與x有一定依賴關(guān)系的變量，根據(jù)最小二乘法原理，則應(yīng)使

對(duì)函數(shù)S求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即可得：

若對(duì)于任意函數(shù)h(x)，g(x)引入記號(hào)：即：

其中，f為yi與xi依賴關(guān)系式，寫(xiě)成矩陣形式為[3]：

上式稱為正規(guī)方程組。當(dāng)φ0(x),φ1(x),…,φn(x)線性無(wú)關(guān)時(shí)，方程組有唯一解。取φ0(x)=1,φ1(x)=x,…,φn(x)=xn，相應(yīng)的方程組為[4-5]：

從中可以解出a0,a1,…,an。

2 簡(jiǎn)化算法公式推導(dǎo)

設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1, 2,…,n，其中，x為一組自然數(shù)序列，取值從1到n，y為實(shí)測(cè)值，設(shè)該組數(shù)據(jù)的一次曲線擬合函數(shù)為[4]：

由上述式（6）可得出其擬合公式為：

其中，a0，a1——要求解的系數(shù)；

n——采集數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；

xi——數(shù)據(jù)的序號(hào)；

yi——測(cè)得的數(shù)據(jù)。

由式（8）可得a0表達(dá)式為：

將a0代入式（8）可得a1的表達(dá)式為：

使用式（10）進(jìn)行計(jì)算，可以不用將每個(gè)變量的值都進(jìn)行存儲(chǔ)，只需累加計(jì)算，便可進(jìn)行曲線擬合的計(jì)算。

根據(jù)等差數(shù)列平方和公式，可得：

將公式（12）、（13）代入式（10），則有：

分子分母同時(shí)消掉n：

進(jìn)一步進(jìn)行簡(jiǎn)化：

可見(jiàn)，公式（16）已得到很大簡(jiǎn)化，且b、d的計(jì)算已被省略掉。在單片機(jī)中計(jì)算時(shí)，為了減少計(jì)算步驟，可簡(jiǎn)化為如下形式：

得到a1的表達(dá)式之后，將式（17）代入式（9）可得到a0的計(jì)算公式：

至此，擬合公式中的兩個(gè)系數(shù)求解都得到了簡(jiǎn)化后的計(jì)算公式，計(jì)算公式中僅與和數(shù)據(jù)采集的個(gè)數(shù)n有關(guān)，省去了兩個(gè)復(fù)雜變量的計(jì)算。

3 應(yīng)用實(shí)例

以一個(gè)溫度傳感器的數(shù)據(jù)擬合為例，表1給出實(shí)際采集到的一組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)從1到60，即n=60。

將c、e、n及a1的值代入式（18），可計(jì)算出a0=30.1472，至此，我們可以得到該組溫度數(shù)據(jù)的擬合曲線公式為：

利用Excel表格中的曲線擬合工具，對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到的公式如下，可以看出，與我們的計(jì)算結(jié)果是一致的。

表1 溫度傳感器數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在使用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合時(shí)，可以使用自然數(shù)序列作為自變量，或經(jīng)過(guò)變換將自變量變?yōu)樽匀粩?shù)序列，從而可以使用本文推導(dǎo)后的簡(jiǎn)化算法，省掉多個(gè)中間變量以及復(fù)雜的運(yùn)算環(huán)節(jié)，有效節(jié)省運(yùn)算資源，且不影響最終的計(jì)算結(jié)果。本文提出的簡(jiǎn)化后的系數(shù)計(jì)算方法非常適用于一些計(jì)算能力不足的應(yīng)用場(chǎng)合，對(duì)于實(shí)用場(chǎng)景中的非線性關(guān)系，可以進(jìn)行分段線性化或者一些變量關(guān)系的轉(zhuǎn)換變?yōu)榫€性關(guān)系，從而可以應(yīng)用本簡(jiǎn)化方法。另外，按照本文提出的簡(jiǎn)化方法，可以很方便地推廣到曲線擬合的其他應(yīng)用場(chǎng)合。