基于奇異值分解的盲源提取優(yōu)化算法

劉裕侃，黃高明

(海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

盲信號(hào)處理是當(dāng)前信號(hào)處理領(lǐng)域研究重點(diǎn)，文獻(xiàn)[1 - 5]提出多種針對(duì)盲源分離的成熟算法。盲源提取指從觀測(cè)到的混沌信號(hào)中恢復(fù)出一個(gè)或多個(gè)源信號(hào)，是盲源分離技術(shù)的擴(kuò)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)盲源提取這一課題做了大量的工作。文獻(xiàn)[6]提出及于峭度的穩(wěn)健特定信號(hào)盲提取算法；文獻(xiàn)[7 - 8]提出基于2階統(tǒng)計(jì)量的盲提取算法和基于高階統(tǒng)計(jì)量的自回歸參數(shù)估計(jì)盲信號(hào)提取算法；文獻(xiàn)[9]提出一種改進(jìn)的基于線性預(yù)測(cè)的盲源提取算法，通過(guò)利用待提取信號(hào)與發(fā)射信號(hào)強(qiáng)相關(guān)的先驗(yàn)知識(shí)，采用最小二乘法估計(jì)并固定對(duì)應(yīng)線性預(yù)測(cè)器參數(shù)，然后通過(guò)構(gòu)造最小均方預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則，迭代求取解混向量以提取用于匹配檢測(cè)的期望回波。智能算法由于其較好的性能被越來(lái)越多的學(xué)者運(yùn)用到盲源提取中，文獻(xiàn)[10]提出了一種針對(duì)線性混疊系統(tǒng)的基于鯨魚(yú)優(yōu)化（WOA）和主成分分析（PCA）的有序盲提取算法，利用鯨魚(yú)優(yōu)化算法計(jì)算抽取向量，同時(shí)利用主成分分析對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行降維，去除已提取信號(hào)成分，實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的有序提取。但是該算法基本模型存在一定的缺陷，算法本身忽略了噪聲對(duì)算法的影響，與實(shí)際有所區(qū)別。本文在文獻(xiàn)[10]基礎(chǔ)上，完善了噪聲背景下線性混疊信號(hào)模型，在此算法基礎(chǔ)上提出了2種基于奇異值分解的盲源提取優(yōu)化算法，方法1（WP-S）在利用文獻(xiàn)[10]算法實(shí)現(xiàn)源信號(hào)初步分離后，對(duì)各分離信號(hào)進(jìn)行矩陣化處理，利用奇異值分解去除信號(hào)矩陣中權(quán)值明顯偏小的特征值，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)矩陣的進(jìn)一步“清洗”，去除噪聲成分，達(dá)到降噪的目的。仿真過(guò)程中發(fā)現(xiàn)噪聲成分對(duì)信號(hào)抽取過(guò)程影響較大，即使后期對(duì)抽取信號(hào)做了去噪處理，在波形上有一定的改善，但是在本質(zhì)上沒(méi)有巨大改變，不能有效提高抽取效果。方法2（S-WP）先對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行奇異值分解去除噪聲分量，再利用鯨魚(yú)算法和主分量分析實(shí)現(xiàn)對(duì)盲信號(hào)的逐一提取。S-WP算法在信號(hào)抽取前進(jìn)行去噪處理，消除抽取過(guò)程中噪聲成分對(duì)抽取效果的影響，仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該方法相較于原算法與WP-S算法在噪聲環(huán)境中具有更好的盲源抽取效果。

1 問(wèn)題的描述

有噪信道的線性混疊通信系統(tǒng)模型如圖（1）所示。n個(gè)源信號(hào)經(jīng)線性瞬時(shí)混頻后在接收端收到m個(gè)觀測(cè)信號(hào)。

圖1 盲源抽取示意圖Fig. 1 Schematic diagram of blind source extraction

信號(hào)混合模型可以表示如下：

其中，X=[x1,x2,···,xn]T，為觀測(cè)信號(hào)矩陣；S=[s1,s2,···,sn]T，為源信號(hào)矩陣；N=[n1,n2,···,nm]T為高斯噪聲矩陣；A為m×n維的隨機(jī)混合矩陣。假設(shè)噪聲與通信信號(hào)各統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立且方差為σ2。

經(jīng)過(guò)盲分離器后的輸出：

式中，W表示分離矩陣，能分離出感興趣的通信調(diào)制信號(hào)y，y即為所有得到的源信號(hào)s的恢復(fù)信號(hào)。

當(dāng)m≥n時(shí)，傳統(tǒng)方法需要進(jìn)行n次抽取，按照一定準(zhǔn)則逐一抽取出源信號(hào)對(duì)應(yīng)的恢復(fù)信號(hào)，文獻(xiàn)[10]利用鯨魚(yú)優(yōu)化算法對(duì)源信號(hào)的提取和主成分分析對(duì)分離準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行降維，只需要n-1次抽取就能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的完全分離，簡(jiǎn)化了計(jì)算復(fù)雜度。但其應(yīng)用的模型過(guò)于理想化，不存在噪聲的系統(tǒng)是不符合實(shí)際情況的，因此，本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，優(yōu)化信號(hào)混合模型，以有噪模型檢驗(yàn)算法性能，提出2種基于奇異值分解的盲源提取優(yōu)化算法，對(duì)所提取的源信號(hào)進(jìn)行去噪處理，提高盲源提取的精度。

2 主要算法

2.1 WOA與PCA

WOA和PCA算法在文獻(xiàn)[10]中已經(jīng)做了詳細(xì)的介紹。WOA模擬鯨魚(yú)捕食建立模型，具備一定的局部尋優(yōu)能力和全局尋優(yōu)能力。以信號(hào)峰度絕對(duì)值作為尋優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)通信信號(hào)以峰度絕對(duì)值從大到小的依次提取。PCA在盡可能減少信息損失的情況下對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，同時(shí)把數(shù)據(jù)中對(duì)方差貢獻(xiàn)最大的特征保留下來(lái)。該方法對(duì)數(shù)據(jù)集的協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，特征值分解后，去除小特征值及其所對(duì)應(yīng)的特征向量，進(jìn)行投影空間重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)矩陣的降維。具體操作步驟包括計(jì)算樣本均值、求解協(xié)方差矩陣、計(jì)算協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量、去除小特征值后進(jìn)行空間投影重構(gòu)。

2.2 基于奇異值分解的信號(hào)提純算法

通過(guò)鯨魚(yú)優(yōu)化算法和主成分分析算法可以將原始信號(hào)從噪聲環(huán)境下的線性混疊信號(hào)中逐個(gè)抽取出來(lái)，但是噪聲環(huán)境下所抽取的信號(hào)質(zhì)量不如無(wú)噪聲環(huán)境下抽取的信號(hào)質(zhì)量，因此，為了減少噪聲對(duì)分離純度的影響，本文提出了2種基于奇異值分解的盲源抽取優(yōu)化算法，分別是對(duì)抽取信號(hào)和觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行奇異值分解去噪，其他步驟與文獻(xiàn)[10]一致。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，利用奇異值分解的方法對(duì)每路信號(hào)si單獨(dú)進(jìn)行去噪提純的步驟如下：

1）將一維信號(hào)si轉(zhuǎn)化為矩陣

設(shè)將一維信號(hào)si的表達(dá)式為si=[s(1)s(2)···s(n)]，則構(gòu)造奇異值分解矩陣A的形式為：

其中l(wèi),m的取值范圍為（0，n/2）的整數(shù)。

2）矩陣A的奇異值分解

式中，U=(U1,U2)，為l×l酉矩陣；V=(V1,V2)，為m×m酉矩陣，即

若A的秩為r(r

正定的Hermite矩陣AAH的特征值為：λ1≥λ2≥···，奇異值,。

3）矩陣S′的更新

各λ的規(guī)范正交特征向量為：α1,α2,···,αl，記U1=(α1,α2,···,αr)，U2=(αr+1,αr+2,···,αl)其中V1=AU1S?1為m×r階矩陣，具有規(guī)范正交列β1,β2,···,βr，將其擴(kuò)充為m維空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：β1,β2,···,βm，其中V1=(β1,β2,···,βr)，V2=(βr+1,βr+2,···,βl)。設(shè)AHA的非零r個(gè)特征值中前s（s

4）計(jì)算矩陣A′

由矩陣S′更新后得到矩陣A′：

5）信號(hào)還原

根據(jù)矩陣A的 構(gòu)成方式，通過(guò)對(duì)A′中各元素按順序重新組合排序，就可以得到還原后的信號(hào)，設(shè)A′的任一行為Ri，則還原后的信號(hào)為：

式中，L1,L2,···,Lm為組合系數(shù)。

3 盲信號(hào)抽取步驟

本文提出2種基于奇異值分解的盲源提取優(yōu)化算法，分別為WP-S算法和S-WP算法。2種算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1）WP-S算法盲提取步驟

步驟1當(dāng)前信號(hào)預(yù)處理（中心化、白化）；

步驟2利用WOA根據(jù)峰度絕對(duì)值最大準(zhǔn)則從當(dāng)前信號(hào)抽取源信號(hào)；

步驟3對(duì)當(dāng)前信號(hào)做退化處理，得到不含以提取信號(hào)成分的退化信號(hào)，并更新當(dāng)前信號(hào)；

步驟4利用PCA對(duì)當(dāng)前信號(hào)做降維處理，并更新當(dāng)前信號(hào)；

步驟5跳至步驟1，直至降維后信號(hào)維度為1；

步驟6利用奇異值分解去除各提取信號(hào)的噪聲成分。

2）S-WP算法盲提取步驟

步驟1對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行信號(hào)預(yù)處理（中心化、白化）；

步驟2利用奇異值分解去除各路觀測(cè)信號(hào)的噪聲成分；

步驟3利用WOA根據(jù)峰度絕對(duì)值最大準(zhǔn)則從當(dāng)前信號(hào)抽取源信號(hào)；

步驟4對(duì)當(dāng)前信號(hào)做退化處理，得到不含以提取信號(hào)成分的退化信號(hào)，并更新當(dāng)前信號(hào)；

步驟5利用PCA對(duì)當(dāng)前信號(hào)做降維處理，并更新當(dāng)前信號(hào)；

步驟6跳至步驟3，直至降維后信號(hào)維度為1。

4 仿真結(jié)果分析

利用Matlab平臺(tái)仿真驗(yàn)證2種算法在無(wú)噪聲環(huán)境及有噪聲環(huán)境中的性能，仿真中采用的信號(hào)如下：

采樣頻率為5 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為5 000，混疊矩陣為：

在鯨魚(yú)優(yōu)化算法環(huán)節(jié)中，設(shè)置鯨魚(yú)種群數(shù)為30，尋優(yōu)次數(shù)為100。

仿真結(jié)果如圖2～圖6所示，其中圖2～圖5仿真過(guò)程中信噪比設(shè)定為10 dB。

圖2為源信號(hào)，圖3為在信噪比為10 dB的通信環(huán)境中得到的線性混疊信號(hào)，圖4為利用WP-S算法得到的盲源抽取信號(hào)?？梢灾庇^看出，該方法在此信噪比下雖然能夠消除抽取信號(hào)中的噪聲成分，但不能完全有效的抽取出三路源信號(hào)，只有源信號(hào)1能夠?qū)崿F(xiàn)有效抽取。

圖2 源信號(hào)Fig. 2 Source signal

圖3 有噪線性混疊信號(hào)Fig. 3 Noisy linear alias signal

圖4 WP-S算法抽取信號(hào)Fig. 4 WP-S algorithm extracted signal

為更具體描述算法抽取效果，引入抽取信號(hào)與源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)矩陣ξ，衡量算法的抽取效果，經(jīng)計(jì)算，WP-S算法進(jìn)行去噪步驟前后對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)矩陣ξ1和ξ2為：

從系數(shù)矩陣內(nèi)值的分布可以得到，WP-S算法雖然能去除噪聲成分，但是并不能有效提高與源信號(hào)的相關(guān)性。這是因?yàn)橛^測(cè)信號(hào)中存在的噪聲成分會(huì)降低算法抽取效果，后期的去噪處理無(wú)法改善抽取本身造成的分離性能不理想問(wèn)題。

圖5為S-WP算法得到的盲源抽取信號(hào)，明顯能夠看出，該算法能夠有效地還原三路源信號(hào)。未使用去噪算法的相關(guān)系數(shù)矩陣ξ1與S-WP算法相關(guān)系數(shù)矩陣ξ2為：

相關(guān)系數(shù)矩陣ξ2每一行每一列有且僅有一個(gè)數(shù)值接近1，說(shuō)明算法實(shí)現(xiàn)了在混疊信號(hào)中對(duì)源信號(hào)的高度還原。

對(duì)本文所提WP-S算法、S-WP算法以及文獻(xiàn)[10]所提算法在信噪比為0～30 dB范圍內(nèi)各進(jìn)行1 000次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，取各信噪比下試驗(yàn)所得源信號(hào)與抽取信號(hào)相關(guān)系數(shù)的平均值作為算法抽取效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，得到仿真曲線（見(jiàn)圖6）。

由圖6可知，原算法與WP-S算法在信噪比較低的環(huán)境下抽取效果不理想，且信噪比越低，抽取效果越不理想，WP-S算法雖然去除了抽取信號(hào)中的噪聲成分，對(duì)抽取信號(hào)波形具有一定的改善作用，但是無(wú)法提升信號(hào)抽取的效果，抽取效果與原算法基本沒(méi)有差異。S-WP算法在整個(gè)信噪比范圍內(nèi)都有較好的抽取效果，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，在信噪比較低的環(huán)境中仍然能有效地實(shí)現(xiàn)信號(hào)的抽取，該算法性能顯著優(yōu)于原算法與WP-S算法。

圖5 S-WP算法抽取信號(hào)Fig. 5 S-WP algorithm extracted signal

圖6 算法性能分析圖Fig. 6 Algorithm performance analysis chart

必須說(shuō)明的是，S-WP算法抽取效果穩(wěn)定在0.9附近而不是接近于1，造成這個(gè)現(xiàn)象的原因是鯨魚(yú)優(yōu)化算法是一種基于隨機(jī)數(shù)的啟發(fā)式搜索算法，由于自動(dòng)生成的隨機(jī)數(shù)的不同會(huì)造成最終抽取結(jié)果有好有壞，上述性能分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果為1 000次重復(fù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)平均值，包含所有理想與不理想的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不理想實(shí)驗(yàn)結(jié)果導(dǎo)致抽取效果穩(wěn)定在0.9附近。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)辨別，實(shí)際抽取效果能夠?qū)崿F(xiàn)接近于1。

5 結(jié) 語(yǔ)

為解決噪聲環(huán)境中通信信號(hào)線性混疊問(wèn)題，本文提出2種基于奇異值分解的盲源提取算法。方法1（WP-S）利用WOA和PCA算法初步實(shí)現(xiàn)信號(hào)的逐一抽取，再利用奇異值分解對(duì)抽取信號(hào)進(jìn)行去噪處理；方法2（S-WP）先利用奇異值分解對(duì)各路觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行去噪處理，利用WOA和PCA算法對(duì)去噪后信號(hào)進(jìn)行注逐一抽取。仿真實(shí)驗(yàn)證明，相較于原算法，所提2種算法均能有效去除噪聲，但WP-S不能有效提高噪聲環(huán)境算法抽取效果，S-WP能有效提高算法在噪聲環(huán)境下的效果，且在低信噪比環(huán)境下依然能保持良好的抽取效果。存在的問(wèn)題是一方面算法本身受到固定常數(shù)項(xiàng)以及選擇隨機(jī)數(shù)的影響較大，有需要進(jìn)一步改進(jìn)的方面；另一方面選擇的模型為正定模型，對(duì)于欠定、超定的混疊信號(hào)還有待進(jìn)一步研究。