多級平行軸齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)仿真

王 鵬， 李建榮

(1.中國電子科技集團公司第39研究所，陜西 西安 710065； 2.陜西省天線與控制技術(shù)重點實驗室，陜西 西安 710065)

齒輪傳動系統(tǒng)作為機械傳動鏈上的重要組成部分，其健康狀態(tài)事關(guān)整個機械裝備運行性能和功能，對其進行有效的狀態(tài)監(jiān)控有著十分重要的意義[1-2]。由于齒輪箱內(nèi)部的振動信號往往難以通過有效的方式直接獲取[3]，因此，齒輪動力學(xué)仿真成為了當(dāng)前熱點。近年來，齒輪動力學(xué)建模已然成為眾多研究學(xué)者關(guān)注的領(lǐng)域[4-5]。Litak等[6]建立了單自由度齒輪副動力學(xué)仿真模型，分析了具有齒廓缺陷的齒輪副的動態(tài)特性。Li等[7]基于齒輪幾何外形和材料特性確定嚙合剛度，建立了由主動齒輪、從動齒輪、軸、電機和負(fù)載組成的4自由度動力學(xué)仿真模型。Ma等[8]在不考慮嚙合位置摩擦力影響前提下，簡化了軸承和軸的剛度和阻尼，研究了帶有局部裂紋的4自由度齒輪傳動模型?？紤]到時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒輪缺陷引起的激勵以及齒輪輪廓，Parey等[9]提出了包含局部齒缺陷的6自由度齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型。考慮扭轉(zhuǎn)和橫向剛度以及軸的阻尼影響，Omar等[10]建立了9自由度齒輪動力學(xué)仿真模型。

傳統(tǒng)的齒輪動力學(xué)仿真研究多集中于低自由度、單級傳動，多自由度、多級傳動、系統(tǒng)級建模的研究較為少見。較為典型的多級平行軸齒輪傳動動力學(xué)仿真建模研究包括Jia等[11]提出了一個考慮兩級齒輪傳動的動力學(xué)仿真模型；徐玉秀等[12]建立了兩級平行軸外加一級行星輪系的動力學(xué)仿真模型；胡鵬等[13]建立了數(shù)控刀架兩級齒輪傳動動力學(xué)仿真模型。隨著現(xiàn)代裝備的大型化、高度集成化，齒輪傳動系統(tǒng)逐漸由單級向兩級，甚至更高級傳動轉(zhuǎn)變。本文著眼于工程實際需求，建立了4級、46自由度平行軸齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)仿真模型，重點研究時變嚙合剛度對整系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，運用數(shù)值分析方法研究了參數(shù)激勵下的整系統(tǒng)振動穩(wěn)定性和非線性振動特性，并通過模型響應(yīng)和頻譜分析，探究多級傳動齒輪之間的振動耦合效應(yīng)，從而為工程實際中多級平行軸齒輪傳動系統(tǒng)的健康狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷提供理論支撐和科學(xué)指導(dǎo)。

1 基于勢能法的時變嚙合剛度求解

齒輪在嚙合過程中，將經(jīng)歷單雙齒嚙合交替過程。同時，齒輪嚙合剛度也將出現(xiàn)周期性變化，呈現(xiàn)時變性，這一過程如圖1[14]所示。

圖1 齒輪時變嚙合剛度示意圖

齒輪嚙合過程中將儲存4部分勢能，分別是赫茲能Uh、彎曲勢能Ub、徑向壓縮變形能Ua和剪切變形能Us[15]?；谏鲜鰟菽芸梢苑謩e計算獲取赫茲剛度kh、彎曲剛度kb、徑向壓縮剛度ka和剪切剛度ks。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，F(xiàn)為嚙合點處的相互作用力，F(xiàn)可以分解為徑向力Fa和切向力Fb;E為彈性模量;G為切變模量;Ix為距離基圓x處齒輪截面的慣性矩;Ax為截面積;d為嚙合點與基圓之間的距離;h為嚙合點與輪齒對稱線之間的距離。

假設(shè)嚙合齒輪是等彈性體，基于赫茲理論，一對相同材料的嚙合齒在嚙合線上的赫茲剛度與接觸位置無關(guān)，則：

(5)

其中，E為彈性模量;L為齒輪軸向厚度;v為泊松比。

(6)

(7)

(8)

一對嚙合齒輪的總勢能可表示為

(9)

式中，kb1為主動輪彎曲剛度，其他符號遵循類似命名規(guī)則。

2 建立多級齒輪傳動整系統(tǒng)動力學(xué)模型

2.1 4級傳動、46自由度齒輪傳動集中參數(shù)建模

4級傳動、46自由度齒輪傳動集中參數(shù)建模簡圖如圖2所示。

圖2 4級傳動、46自由度齒輪傳動集中參數(shù)建模簡圖

(10)

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式中，Iin為驅(qū)動電機轉(zhuǎn)動慣量；IL為負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量；Ii中i取1～8，為齒輪1～齒輪8轉(zhuǎn)動慣量；Tin為驅(qū)動轉(zhuǎn)矩；TLoad為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Kcp為聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度；Kst為軸扭轉(zhuǎn)剛度；Ks為軸橫向剛度；Kb為軸承支撐剛度；K12為齒輪1、齒輪2嚙合剛度；K34為齒輪3、齒輪4嚙合剛度；K56為齒輪5、齒輪6嚙合剛度；K78為齒輪7、齒輪8嚙合剛度；Ccp為聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)阻尼；Cb為軸承旋轉(zhuǎn)阻尼；C12為齒輪1、齒輪2嚙合阻尼；C34為齒輪3、齒輪4嚙合阻尼；C56為齒輪5、齒輪6嚙合阻尼；C78為齒輪7、齒輪8嚙合阻尼；mi中i取1～8，為齒輪1～齒輪8質(zhì)量；mb為軸承質(zhì)量；ri中i取1～8，為齒輪1～齒輪8基圓半徑；yi中i取1～8，為齒輪1～齒輪8垂直位移；xi中i取1～8，為齒輪1～齒輪8水平位移；ybi中i取1～10，為軸承1～軸承10垂直位移；xbi中i取1～10，為齒輪1～齒輪10水平位移；θin為電機角位移；θout為負(fù)載角位移；θi中i取1～8，為齒輪1～齒輪8角位移。

2.2 時變嚙合剛度及動力學(xué)響應(yīng)求解

所建模對象的相關(guān)參數(shù)如表1和表2所示，輸入轉(zhuǎn)速2000 r/min，計算獲取各級齒輪副嚙合頻率在表2中進行了集中表述。楊氏彈性模量為2.09×1011，泊松比為0.26。

表1 參數(shù)設(shè)置

表2 齒輪參數(shù)

將上述參數(shù)代入，獲取4對齒輪副時變嚙合剛度如圖3～圖6所示。其中各圖描述的是4/3個輪齒對應(yīng)的時變嚙合剛度，具體為嚙合副雙齒-單齒-雙齒的嚙合過程。不同齒輪對的軸級不一樣，對應(yīng)轉(zhuǎn)速不一樣，故將4對齒輪副的時變嚙合剛度分開表示。

基于Matlab和4階Runge-Kutta法獲取模型響應(yīng)及對應(yīng)頻譜,如圖7～圖14所示。

如表2所示，第1級齒輪副的理論嚙合頻率為966.67 Hz，在時域波形對應(yīng)的頻譜圖中能夠明顯找到對應(yīng)的特征頻率966.8 Hz及其倍頻。其中的差異為頻率分辨率誤差導(dǎo)致，后續(xù)頻譜中同樣存在類似情況。第2級齒輪副的理論嚙合頻率為368.25 Hz，在時域波形對應(yīng)的頻譜圖中能夠明顯找到對應(yīng)的特征頻率367.9 Hz及其倍頻。第3級齒輪副的理論嚙合頻率為71.95 Hz，在時域波形對應(yīng)的頻譜圖中能夠明顯找到對應(yīng)的特征頻率71.78 Hz及其倍頻。第4級齒輪副的理論嚙合頻率為16.44 Hz，在時域波形對應(yīng)的頻譜圖中能夠明顯找到對應(yīng)的特征頻率15.7及其倍頻。

圖3 齒輪1、齒輪2時變嚙合剛度

圖4 齒輪3、齒輪4時變嚙合剛度

圖5 齒輪5、齒輪6時變嚙合剛度

圖7 齒輪1時域響應(yīng)及頻譜

圖9 齒輪3時域響應(yīng)及頻譜

圖10 齒輪4時域響應(yīng)及頻譜

圖11 齒輪5時域響應(yīng)及頻譜

圖12 齒輪6時域響應(yīng)及頻譜

圖13 齒輪7時域響應(yīng)及頻譜

圖14 齒輪8時域響應(yīng)及頻譜

由圖中可以清楚地從頻譜中找到各級傳動齒輪對應(yīng)的嚙合頻率以及對應(yīng)的倍頻，說明所建立的4級平行軸齒輪傳動動力學(xué)仿真模型是較為準(zhǔn)確的。同時，從1～3級平行軸齒輪傳動響應(yīng)頻譜中能夠發(fā)現(xiàn)在低頻段存在豐富的頻率成分，說明多級平行軸齒輪傳動振動響應(yīng)之間存在耦合效應(yīng)，各級響應(yīng)之間存在相互影響。

3 結(jié)束語

首先基于Matlab平臺建立了4級傳動、46自由度平行軸齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，從模型響應(yīng)的頻譜來看，能夠準(zhǔn)確找到對應(yīng)的特征頻率。因此，所建立的動力學(xué)仿真模型是較為準(zhǔn)確的。同時，基于能量法獲取了齒輪的嚙合剛度，從獲取的試驗結(jié)果來看，其具有時變性，時變嚙合剛度成為模型響應(yīng)非線性激勵源之一。從模型響應(yīng)的頻譜來看，各級傳動齒輪振動響應(yīng)之間存在較為復(fù)雜的耦合效應(yīng)。工程實際中，由于噪聲等環(huán)境因素以及研究對象本身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、傳遞路徑的復(fù)雜性，綜合導(dǎo)致基于傳感器獲取的振動信號時也必將存在類似耦合效應(yīng)。因此，在運用傳感器獲取的振動信號進行設(shè)備故障診斷分析時，應(yīng)該將部件耦合振動考慮進來，從而獲取更為準(zhǔn)確的診斷結(jié)果。