環(huán)Fq2+vFq2上的斜常循環(huán)碼

王艷萍

自1994年，HAMMONS等研究二元線性碼［1］以來(lái)，許多編碼學(xué)者研究有限環(huán).文獻(xiàn)［2-4］研究不同環(huán)上的斜常循環(huán)碼，討論對(duì)應(yīng)環(huán)上相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論.文獻(xiàn)［5-7］構(gòu)造自同構(gòu)，討論環(huán)上斜循環(huán)碼的性質(zhì).文獻(xiàn)［8］中研究環(huán)的MDS常循環(huán)碼.本文研究上的Gray映射、斜常循環(huán)碼及環(huán)上碼的性質(zhì)；在特定條件下，研究環(huán)上對(duì)偶碼的性質(zhì).

1 準(zhǔn)備知識(shí)

?X=(x1,x2,…,xn)，Y=(y1,y2,…,yn)∈?n，定義=x1y1+x2y2+…+xnyn為X，Y的內(nèi)積.

C是?上長(zhǎng)為n的碼，它的對(duì)偶碼：.

引理1［8］若C是?上長(zhǎng)度為n的線性碼，令：

Cv=,vx+(1-v)y∈C}，C1-v=,vx+(1-v)y∈C}，則（1）Cv、C1-v是上的線性碼，長(zhǎng)為n；（2）C=，該表示唯一.

2 Gray映射

?c∈C，c的Gray重量是WG(c)=WH(x,y)，且Φ是一保距雙射.

定理1若C=是?n的線性碼，則

?x∈，有vx+(1-v)y=c′∈C⊥，對(duì)?x′∈Cv，有vx′+(1-v)y′=c∈C，=vxx′=0?xx′=0，即.另 外，x∈，有c′=vx′+(1-v)y′∈C⊥，使 得=vxx′=0?xx′=0，.同 理可證，.

3 斜常循環(huán)碼

定義1設(shè)λ是?的單位，是?上的自同構(gòu)，為?n上的自同態(tài)，若 對(duì)?c=(c0,c1,…,cn-1)∈C滿足，稱C為 斜 常 循環(huán)碼（-λ-常循環(huán)碼）.特別地，λ=-1，稱C是斜負(fù)循環(huán)碼；λ=1，稱C是斜循環(huán)碼.

注1：1-2v是?上的一個(gè)單位，且有(1-2v)v=-v,(1-2v)(1-v)=1-v.

（1）是的理想；

（3）xn-(1-2v)是?[x;]的中心.

其中（2）?（3）對(duì)?f(x)=a0+a1x+…+，有.

其中（3）?（1）由定義可證.

下述結(jié)論均在引理2中（1）成立的條件下進(jìn) 行；并假設(shè)θ為上 的 自同構(gòu)，是?的

設(shè)a=(a0,a1,…,an-1)，b=(b0,b1,…,bn-1)，則a∈Cv，b∈C1-v；又，，θ(bn-2))，得，則.

證明（1）證C=.

設(shè)g(x)=vg1(x)+(1-v)g2(x)，顯然，；又g(x)∈C，即證C=.

又(1-2v)v=-v,(1-2v)(1-v)=1-v，則

4 對(duì)偶碼

（1）(a0,a1,…,an-1)和的系數(shù)向量正交；

（2）(a0,a1,…,an-1)與，…，及其-(1-2v)-常循環(huán)碼移位正交；

定理4C是環(huán)?上的線性碼，則C為-(1-2v)-常循環(huán)碼為-(1-2v)-1-常循環(huán)碼.

證明“?”對(duì)?u=(u0,u1,…,un-1)∈C，有.

則?t=(t0,t1,…,tn-1)∈C⊥，有，t>，即

即

“?”同理可證.

定理5設(shè)C為?的-(1-2v)-常 循環(huán)碼，長(zhǎng)度為n（偶數(shù)），C=，g(x)是首一的，h(x)=(xn-(1-2v))g(x)，則有

5 結(jié)語(yǔ)