淺談數(shù)形結(jié)合思想方法

張建榮

(重慶市墊江縣坪山小學(xué)校 重慶 408317)

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淺談數(shù)形結(jié)合思想方法

張建榮

(重慶市墊江縣坪山小學(xué)校 重慶 408317)

數(shù)形結(jié)合由來(lái)已久，早在數(shù)學(xué)被抽象、分離為一門學(xué)科之前，人們?cè)谏钪卸攘块L(zhǎng)度、面積和體積時(shí)，就已經(jīng)把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)了。在宋元時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關(guān)系描述成代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)上半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾通過(guò)坐標(biāo)系建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。

數(shù)與形是貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線,數(shù)與形的結(jié)合更是解題的重要方法。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！彼耙孕沃鷶?shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)側(cè)面。

下面主要從“以形助數(shù)”這個(gè)側(cè)面在解題中的應(yīng)用來(lái)進(jìn)行研究，“以形助數(shù)”是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，借助圖形的生動(dòng)和直觀來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，以形為手段，數(shù)為目的。使抽象思維與形象思維結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法研究解決有理數(shù)和方程、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于溝通代數(shù)、三角與幾何的聯(lián)系，具有重要的意義。

1 數(shù)學(xué)課程中蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合思想方法是現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程所滲透的重要思想方法之一。教材中的內(nèi)容可以很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，加強(qiáng)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的認(rèn)識(shí)與理解，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

在有理數(shù)的內(nèi)容里，數(shù)軸是學(xué)生理解“相反意義的量”、“正數(shù)與負(fù)數(shù)”、“絕對(duì)值”等一些基本概念的數(shù)形結(jié)合的工具。數(shù)軸上的“點(diǎn)”與“數(shù)”對(duì)應(yīng)的數(shù)形關(guān)系使“直線上的點(diǎn)”與“有理數(shù)”兩個(gè)截然不同的概念得到了完美的統(tǒng)一，為我們解決有關(guān)數(shù)的問(wèn)題提供了新的空間。一元一次方程的解可以用坐標(biāo)系中直線和x軸的交點(diǎn)表示，一元二次方程的解可以用拋物線和x軸交點(diǎn)來(lái)討論，這些方程的解與圖象的點(diǎn)的數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中有著明顯的優(yōu)勢(shì)，關(guān)于高中數(shù)學(xué)課程中的數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容更是處處可見。當(dāng)然教材并沒(méi)有明確指出來(lái)，但是就這樣才能潛移默化地影響學(xué)生的思維，無(wú)聲無(wú)息地滲透到學(xué)生的大腦，與已有的思想方法融為一體，建立數(shù)形結(jié)合思想。教材中的數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透對(duì)發(fā)展學(xué)生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導(dǎo)性的作用，可以從思想層面上指引思維進(jìn)行正確的分析、比較、合理聯(lián)想，逐步形成正確的解題觀；教材中的數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透還可以在學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)抽象概念給予形象化的理解和記憶，迅速建立新舊概念之間的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)能力，并由此提升已有的對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不斷完善自己。

2 數(shù)形結(jié)合思想方法的基本思路

數(shù)形結(jié)合思想方法的基本思路是，一方面根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適用的集合圖形后圖象，然后利用圖形的基本性質(zhì)和直觀明了的特點(diǎn)去處理解答數(shù)的問(wèn)題；另一方面也可以依據(jù)幾何圖形的有關(guān)信息轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，利用代數(shù)關(guān)系的確定性和易于變形處理的特點(diǎn)討論幾何問(wèn)題。下面就由數(shù)化形這個(gè)思想方法進(jìn)行討論。

在平時(shí)的課堂教學(xué)中，充分利用教材內(nèi)容滲透數(shù)形結(jié)合思想，優(yōu)化解題思路，提高數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展解題能力。數(shù)形結(jié)合思想不是一朝一夕就能領(lǐng)悟的，要在平時(shí)教學(xué)、練習(xí)中加強(qiáng)培養(yǎng)，鼓勵(lì)自覺(jué)運(yùn)用數(shù)與形的關(guān)系，課堂上加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的幾何意義的理解和學(xué)習(xí)，訓(xùn)練啟發(fā)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)自已的解題行為。要從具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提煉總結(jié)，形成數(shù)形結(jié)合思想，然后繼續(xù)研究并應(yīng)用于學(xué)習(xí)，逐步使這種思想方法具有一般意義和相對(duì)穩(wěn)定的特征，最終成為學(xué)生思想和能力的一部分。

在數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)滲透中，有兩個(gè)值得重視的問(wèn)題。第一要用理性思維看待數(shù)形結(jié)合思想方法。任何一種思想方法都不是萬(wàn)能的，數(shù)形結(jié)合思想方法同樣也不是萬(wàn)能的，學(xué)習(xí)中千萬(wàn)不可牽強(qiáng)附會(huì)，認(rèn)為只要畫個(gè)幾何圖形就是數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)。我們必須要求學(xué)生進(jìn)入更高的理性思維階段，充分運(yùn)用辨證思維區(qū)分哪些適合數(shù)形結(jié)合思想方法，哪些不是數(shù)形結(jié)合思想方法，這樣辨證的思考問(wèn)題會(huì)更有利于數(shù)形結(jié)合思想的形成。第二是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，真正掌握數(shù)形結(jié)合思想方法的精髓必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧，那種只依賴于幾個(gè)典型習(xí)題的理解就認(rèn)為可以領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的做法，只能是一種舍本逐末的短視之舉。為此要認(rèn)真上好每一堂課，深入學(xué)習(xí)教材的系統(tǒng)知識(shí)，掌握各種函數(shù)的圖象特點(diǎn)，理解各種幾何圖形的性質(zhì)，只有這樣數(shù)形結(jié)合思想方法才能應(yīng)運(yùn)而生，才能不斷深化提高。

3 數(shù)形結(jié)合思想解題的常用思維方法

“以形助數(shù)”的思想方法是數(shù)形結(jié)合思想的常用思維方法，它是根據(jù)題設(shè)條件通過(guò)數(shù)軸或坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，表示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。然后根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特性，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀及揭示隱含的數(shù)量關(guān)系。

總之，數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)思想中最基本，最重要的一種，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不可缺少的內(nèi)容之一。中學(xué)數(shù)學(xué)就思想方法而言主要有方程和函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)換思想。數(shù)形結(jié)合思想是思想觀。方法觀中主要的一種。數(shù)學(xué)的進(jìn)步與活力，總是依賴于具體對(duì)抽象的幫助，數(shù)形結(jié)合建立在數(shù)與形之間對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上，而數(shù)軸和直角坐標(biāo)系的建立使這種對(duì)應(yīng)成為現(xiàn)實(shí)。引進(jìn)坐標(biāo)，建立數(shù)〔或數(shù)對(duì)〕與點(diǎn)、方程與曲線的聯(lián)系，就可用幾何形象來(lái)表現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題，用代數(shù)運(yùn)算代替幾何推理，使代數(shù)性質(zhì)圖示化，使抽象問(wèn)題變得直觀易懂。

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