區(qū)域轉(zhuǎn)換模型的建模合理性研究
——以呼和浩特市為例

王莉梅，劉克英

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言

天氣衍生品是金融衍生品的一種,但是它與傳統(tǒng)的金融衍生品不同,天氣衍生品的基礎(chǔ)產(chǎn)品是一類基礎(chǔ)指數(shù),比如說氣溫指數(shù)﹑降雨指數(shù)﹑降雪指數(shù)﹑風(fēng)力指數(shù)等.雖然對天氣指數(shù)衍生品的研發(fā)比較早,但是市場對指數(shù)產(chǎn)品并沒有充分的認(rèn)識,對現(xiàn)金交割也有所懷疑.與發(fā)達(dá)國家相比,我國尚未開展標(biāo)準(zhǔn)化的天氣期貨交易,但隨著我國農(nóng)業(yè)﹑旅游﹑能源﹑零售等天氣敏感行業(yè)的逐步發(fā)展,國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中對天氣風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的需求持續(xù)增長.一些保險(xiǎn)和再保險(xiǎn)公司通過天氣保險(xiǎn)產(chǎn)品為市場提供天氣風(fēng)險(xiǎn)對沖工具,但仍然不能完全滿足市場需求.天氣指數(shù)期貨的研究和推出,可以在現(xiàn)有天氣保險(xiǎn)產(chǎn)品的基礎(chǔ)上,為實(shí)體經(jīng)濟(jì)提供另一種有效﹑高效的天氣風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避手段.

Türkvatan A等[1]改進(jìn)了傳統(tǒng)的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型,并比較提出的模型與傳統(tǒng)模型的性能，結(jié)果表明,該模型在短時(shí)間預(yù)測范圍內(nèi)優(yōu)于現(xiàn)有模型,而在長時(shí)間預(yù)測范圍內(nèi)與現(xiàn)有模型基本一致.Wang Zhiliang等[2]建立了天氣衍生產(chǎn)品統(tǒng)一的定價(jià)方法,利用鄭州市62年的歷史氣溫?cái)?shù)據(jù)建立隨機(jī)模型,并利用蒙特卡羅方法對HDD看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià).Elias等[3]首次討論了氣溫的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型的基本原理,并研究了用區(qū)域轉(zhuǎn)換方法建立加拿大多倫多市的氣溫動力學(xué)模型,結(jié)果表明用一個(gè)均值回復(fù)和一個(gè)布朗運(yùn)動模型可以更好地模擬多倫多市的氣溫變化.

本文基于Elias的結(jié)論，利用一個(gè)均值回復(fù)和一個(gè)布朗運(yùn)動的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型對呼和浩特市的氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬,并用EM(期望最大化)算法對模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[4-6],選取HDD和CDD指數(shù)做誤差分析,結(jié)果表明區(qū)域轉(zhuǎn)換模型是可以用于天氣衍生品的定價(jià).

1 樣本數(shù)據(jù)的選取與統(tǒng)計(jì)分析

研究使用的氣溫?cái)?shù)據(jù)為呼和浩特市2016年7月1日到2020年6月30日的日平均氣溫T(t)數(shù)據(jù)(去除閏年2月29日的氣溫?cái)?shù)據(jù)),數(shù)據(jù)均來源于中國天氣網(wǎng),對于缺失的數(shù)據(jù)采用均值替補(bǔ)法插補(bǔ),共1460項(xiàng)數(shù)據(jù).

用MATLAB軟件對1460項(xiàng)氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到呼和浩特市日平均氣溫的描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如表1所列.

表1 日平均氣溫的描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

在進(jìn)行詳細(xì)的建模之前，對日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)有一個(gè)全面的了解是很有必要的.利用MATLAB作出呼和浩特市2016年7月1日至2020年6月30日的日平均氣溫平化圖及描述日平均氣溫的概率分布直方圖，如圖1、圖2所示.

圖1 呼和浩特市日平均氣溫變化圖

圖2 呼和浩特市日平均氣溫分布直方圖

從圖1和圖2可以看出,呼和浩特市日平均氣溫并不服從正態(tài)分布,但日平均溫度存在明顯的周期性,季節(jié)效應(yīng)明顯，類似于正弦函數(shù).此外，由于受到全球變暖和溫室效應(yīng)的影響，溫度還呈現(xiàn)出逐年上升的微弱趨勢，可假設(shè)該趨勢是線性的，用a+bt表示.參考Xiong等[7]的工作,周期性和趨勢性的函數(shù)為

(1)

其中：a、bt、ck、dk均為未知參數(shù)，k=1,2,3,4.

利用MATLAB軟件對日平均氣溫歷史數(shù)據(jù)應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得出各個(gè)參數(shù)估計(jì)結(jié)果如下:

a=5.7298，b=0.0014，c1=16.4923，c2=2.2477，c3=6.5817，c4=6.0590，d1=-80.0461，d2=-219.3431，d3=-140.8643，d4=277.1958.

因此在t時(shí)刻,日平均氣溫歷史T(t)去除周期性和趨勢性函數(shù)S(t)后,日平均氣溫殘差yt可以表示為

yt=T(t)-S(t).

(2)

利用MATLAB軟件得到每日平均氣溫殘差yt并做出日平均氣溫殘差的概率分布直方圖，如圖3所示.

圖3 呼和浩特市日平均氣溫殘差的分布直方圖

從圖3可知日平均氣溫殘差較為接近正態(tài)分布.

2 區(qū)域轉(zhuǎn)換模型對氣溫變化模擬的 實(shí)證分析

2.1 模型的構(gòu)建

由于日平均氣溫殘差近似服從正態(tài)分布,參考Elias[3]的結(jié)論,考慮使用一個(gè)均值回復(fù)和一個(gè)布朗運(yùn)動過程來構(gòu)建區(qū)域轉(zhuǎn)換氣溫模型:

(3)

其中：yt,1和yt,2分別表示區(qū)域1(均值回復(fù)過程)和區(qū)域2(布朗運(yùn)動過程)的每日平均氣溫殘差,yt位于區(qū)域1的概率為π1,yt位于區(qū)域2的概率為π2,且π1+π2=1；β1∈R表示均值回復(fù)速度；μ1和μ2分別表示均值回復(fù)和布朗運(yùn)動的均值；σ1和σ2分別表示均值回復(fù)和布朗運(yùn)動的波動率；Wt表示維納過程的增量.

為得到隨機(jī)微分方程式(3)的解,需要分別對式(3)的兩個(gè)區(qū)域進(jìn)行積分.利用伊藤引理,可以推導(dǎo)出模型的顯式解為

(4)

結(jié)合式(2)和式(4),得到日平均氣溫T(t)的解為

(5)

2.2 模型參數(shù)估計(jì)

使用日平均氣溫殘差數(shù)據(jù),利用MATLAB軟件編寫EM算法的迭代計(jì)算程序估計(jì)模型參數(shù),其參數(shù)估計(jì)結(jié)果如下：

π1=0.61，π2=0.39，β1=0.42, μ1=-1.51,μ2=0.87,σ1=2.62, σ2=1.12.

2.3 誤差分析

氣溫是天氣衍生品交易中使用最廣泛的天氣指數(shù),關(guān)于氣溫常見的指數(shù)有:取暖指數(shù)(HDD)和制冷指數(shù)(CDD).在一段時(shí)間〈t1,t2〉內(nèi),根據(jù)美國CME交易所的相關(guān)界定,HDD和CDD的計(jì)算公式分別為

(6)

(7)

其中K是基準(zhǔn)溫度,取K=18℃.

模擬誤差計(jì)算公式為

(8)

本文主要選擇HDD和CDD兩種指數(shù)做誤差分析,根據(jù)呼和浩特市氣溫的實(shí)際情況,由于HDD指數(shù)大多集中在1～4月份和10～12月份,CDD指數(shù)大多集中在6～8月份,有時(shí)也包括5月和9月.使用Elias[3]的網(wǎng)格分析法并用MATLAB軟件編寫程序,計(jì)算出2019年7月1日～2020年6月30日的主要月份氣溫的實(shí)際指數(shù)值和模擬指數(shù)值,并對其進(jìn)行誤差分析,結(jié)果見表2和表3.

表2 HDD的實(shí)際值和模擬值與相對誤差

表3 CDD的實(shí)際值和模擬值與相對誤差

從表2和表3可知,在基準(zhǔn)溫度K=18℃下,HDD指數(shù)的實(shí)際值和模擬值差別不大,模擬HDD指數(shù)對實(shí)際HDD指數(shù)的誤差絕對值最大為0.17,最小為0.01.CDD指數(shù)的實(shí)際值和模擬值差距比CDD指數(shù)的稍微明顯一些,模擬CDD指數(shù)對實(shí)際CDD指數(shù)的誤差絕對值最大為0.23,最小為0.15.

總體來說,具有一個(gè)均值回復(fù)和一個(gè)布朗運(yùn)動的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型很好地模擬了呼和浩特市氣溫的變化,模型穩(wěn)定性較好,可以用于天氣衍生品的定價(jià).

3 結(jié)語

本文基于呼和浩特市4年的氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,利用一個(gè)均值回復(fù)和一個(gè)布朗運(yùn)動的區(qū)域轉(zhuǎn)換模型模擬氣溫的動態(tài)變化,但由于使用的模型是直接參考Elias[2]的結(jié)論,并沒有做詳細(xì)的多個(gè)模型實(shí)證對比分析,可能存在一些誤差,但由于全球氣候的多樣性,地區(qū)不同,必然會有不同的天氣模型.為了更加準(zhǔn)確地描述氣溫的隨機(jī)特征,在未來的研究中,應(yīng)該首先在定價(jià)時(shí)對當(dāng)?shù)貧鉁財(cái)?shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證對比分析,選擇能夠描述氣溫最佳的模型.本文的研究只是對天氣衍生品進(jìn)行了初步探討,并沒有涉及到具體的定價(jià)研究,仍然有需要完善之處.

天氣衍生品可以幫助企業(yè)管理特定的天氣風(fēng)險(xiǎn),因此具有重大的經(jīng)濟(jì)意義.雖然天氣期貨和期權(quán)合約目前在整個(gè)衍生品市場中所占的比重相對較小,但隨著越來越多的企業(yè)開始認(rèn)識到天氣風(fēng)險(xiǎn)與企業(yè)利潤之間的關(guān)系,天氣衍生品的交易量將實(shí)現(xiàn)快速的增長.