變系數(shù)線性微分方程的解法探究

錢(qián)志祥

(廣東理工學(xué)院 基礎(chǔ)課教學(xué)研究部，廣東 肇慶 526100)

對(duì)于一般的n階變系數(shù)線性非齊次微分方程：

(1)

其中：pi(x)(i=1,2,…,n),f(x)是在某區(qū)間I上的連續(xù)實(shí)函數(shù)，若已知其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程：

(2)

的基本解組為：y1(x),y2(x),…,yn(x),x∈I,即已知(2)的通解為y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)+…+cnyn(x),x∈I,則可利用常數(shù)變易法求得(1)的通解.但是變系數(shù)線性齊次微分方程(2)至今還沒(méi)有一般的通用解法，甚至當(dāng)n=2時(shí)，即2階變系數(shù)線性齊次微分方程解法也沒(méi)有一個(gè)萬(wàn)能的方法，目前《常微分方程》[1-3]教材中也沒(méi)有系統(tǒng)地歸納總結(jié)出這方面的解題規(guī)律，只零星地介紹了對(duì)某些類(lèi)型的微分方程有效的解法，為了探究變系數(shù)線性微分方程的解法技巧，筆者把教學(xué)過(guò)程中常用的一些特殊有效的解法和一些常規(guī)的解題方法歸納總結(jié)如下，希望逐步積累解變系數(shù)線性微分方程的經(jīng)驗(yàn)，探究解變系數(shù)微分方程的規(guī)律.

1 變量替換法

許多特殊類(lèi)型的變系數(shù)線性微分方程，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q后可以化為常系數(shù)線性微分方程來(lái)求解.

定理1形如

(3)

的方程稱(chēng)為歐拉方程，其中a1,a2,…,an都是常數(shù).它是一類(lèi)特殊的變系數(shù)線性微分方程，這種類(lèi)型的方程通過(guò)變量替換：x=et，x>0后，都可以化為常系數(shù)線性齊次微分方程.

證明作變量變換x=et，x>0，則有

用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于一切正整數(shù)n都有

(4)

成立，其中β1，β2，…，βn-1都是常數(shù).于是

(5)

將上述關(guān)系式代入方程(3)中，得到常系數(shù)齊次線性微分方程：

(6)

其中b1，b2，…，bn-1都是常數(shù).

解作變換x=et，x>0，則有

將上述等式代入原方程得

(7)

而方程(7)的通解為

y=c1e3t+c2e2t+c3et.

再將t=lnx代入上式得原方程通解為

y=c1x3+c2x2+c3x.

注1所有的歐拉方程通過(guò)變量替換x=et，x>0，都可以化成常系數(shù)線性齊次微分方程來(lái)解，其他類(lèi)型的變系數(shù)微分方程有的可以利用恰當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q化為常系數(shù)線性齊次微分方程來(lái)解，也有的類(lèi)型可以通過(guò)變量替換法降階后來(lái)解.總之，變量替換法是微分方程求解中最常用的方法，也是其他解法的基礎(chǔ).

2 降階法

定理2型如

(8)

的方程稱(chēng)為n階線性齊次微分方程，若y1(x)是它的一個(gè)非零解，則可利用線性變換y=y1z將它化為n-1階齊次微分方程.

證明作線性變換y=y1z，由萊布尼茲公式得

將上述等式代入方程(8)，方程(8)變?yōu)椋?/p>

(9)

整理得

(10)

(11)

z=c1ex-c2e-x+c3.

所以原方程的通解為

注2n階線性齊次微分方程一般都是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)木€性變換降階求解或變?yōu)槌Ｏ禂?shù)線性齊次微分方程求解，另外這種類(lèi)型的方程也可以利用劉維爾公式進(jìn)行降階求其通解.

3 拉普拉斯變換法

應(yīng)用拉普拉斯變換可以求解一些變系數(shù)齊次微分方程，它主要是利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)，具體的方法步驟如下：

(1)對(duì)線性微分方程兩邊取拉氏變換，把微分方程轉(zhuǎn)化為含像函數(shù)F(p)的變換方程；

(2)求解變換方程，得出系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表達(dá)式；

(3)將輸出的象函數(shù)F(p)的表達(dá)式展開(kāi)成部分分式；

(4)對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏逆變換，求出微分方程的解析解；

(5)必要時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證.

解設(shè)F(p)=L[y(x)],對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換得

即

整理得

兩端積分得

F(p)=-arctanp+C.

又因?yàn)?/p>

所以，當(dāng)a=1時(shí)，

于是，對(duì)方程F(p)=L[y(x)]兩端同時(shí)反演可得

注3拉普拉斯變換也只能解決部分變系數(shù)微分方程的解，當(dāng)像函數(shù)F(p)的微分方程無(wú)法解出F(p)時(shí)，此方法失效，但是拉普拉斯變換在解常系數(shù)微分方程時(shí)不失為一種非常有效的方法.

4 劉維爾公式法

(12)

證明見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

根據(jù)劉維爾公式(12)有

這是一個(gè)關(guān)于y的一階線性微分方程，易求得它的通解為

取c=0，得特解為

易知y1(x)與y2(x)是線性無(wú)關(guān)的，從而可得原微分方程的通解為y=c1ex+c2x(c1,c2為任意常數(shù)).

注4由劉維爾公式可知，只要知道變系數(shù)線性齊次微分方程的一個(gè)非零解，就可以求得其通解，但是如何求出變系數(shù)線性齊次方程的一個(gè)非零解，其實(shí)是十分困難的，這說(shuō)明劉維爾公式法的作用也是有限的.

5 常數(shù)變易法

如果求出變系數(shù)齊次線性微分方程的解，那么就可以通過(guò)常數(shù)變易法求出對(duì)應(yīng)的非齊次線性微分方程的通解[1].下面介紹二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法.

設(shè)二階變系數(shù)非齊次線性微分方程為

(13)

Y=c1y1(x)+c2y2(x).

設(shè)y=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)是方程(1)的一個(gè)解，于是

(14)

令

(15)

(16)

(17)

將(16)、(17)代入到方程(13),得

因?yàn)閥1(x)和y2(x)是對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解，所以

于是得方程組：

上述方程組有唯一解，記作：

所以

故微分方程(13)有特解：

解易知對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)特解為y=x.再利用劉維爾公式(12)可求得對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y=(c1+c2xex)x.

下面來(lái)求已知方程形如y(x)=c1(x)x+c2(x)x2ex的特解，利用常數(shù)變易法，得到方程組：

解之得，

所以原方程的通解為

y(x)=c1x+c2x2ex+x2.

注5至于高階變系數(shù)非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法與二階類(lèi)似，這里不再敘述.

6 冪級(jí)數(shù)解法

(18)

即

(19)

令x的同次冪系數(shù)為零，得

2a2+a0=0,3·2a3+2a1=0,…,n(n-1)an+(n-1)an-2=0(n≥4).

從而有

即有

所以，原方程的通解為

即

注6當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達(dá)，而且其系數(shù)滿足一定的收斂條件時(shí)，常用冪級(jí)數(shù)解法.

7 廣義冪級(jí)數(shù)解法

(20)

由此得到

從而得到原方程的一個(gè)解

注7廣義冪級(jí)數(shù)解法，對(duì)微分方程系數(shù)的收斂性要求更高.

8 勒讓德函數(shù)法

定理6二階變系數(shù)線性微分方程：

證明作變換

(21)

將它及其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)代入原方程,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)便得到一個(gè)以u(píng)(x)為未知函數(shù)的連帶的勒讓德方程：

(22)

方程(22)的通解為

(23)

即

將(23)代入(21)便得原微分方程的通解為

解將方程變形為

由于n=2,m=1,根據(jù)式(23)得方程的通解為

其中c1,c2為任意常數(shù)，

注8其他連帶的勒讓德方程的通解均可以用勒讓德函數(shù)來(lái)表達(dá).

9 貝賽爾函數(shù)法

(Ⅰ)y(x)=AJn(x)+BJ-n(x)(n不為整數(shù))；

(Ⅱ)y(x)=AJn(x)+BYn(x)(n為任意數(shù))；

其中,定義

(Γ(x)是伽馬函數(shù))為n(-n)階第一類(lèi)貝賽爾函數(shù)；

為n階第二類(lèi)貝賽爾函數(shù)；

(其中i為虛數(shù)單位)為第三類(lèi)貝賽爾函數(shù).

所以此貝賽爾方程的通解為

這里c1,c2為任意常數(shù).

注9其他類(lèi)型的貝賽爾方程的通解可以類(lèi)似地用貝賽爾函數(shù)來(lái)表達(dá)，這里不再列舉.

10 結(jié)語(yǔ)

變系數(shù)線性微分方程的解法還有很多種，如萊布尼茲公式法、分離變量法、特征根方程法、比較系數(shù)法、積分方程法、數(shù)值解法等[8-9]，這些解法都有一定的局限性，本文不再闡述.總之，變系數(shù)線性微分方程的解法繁多，但是沒(méi)有一種解法是通法，所以需要讀者在長(zhǎng)期的解題實(shí)踐中逐步積累經(jīng)驗(yàn)，不斷地探究變系數(shù)線性微分方程的解題規(guī)律.