毒素影響下的Holling-Tanner捕食者-食餌模型的穩(wěn)定性分析

孫芳娟

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

1975年,Robert等[1]提出了Holling-Tanner捕食者-食餌模型：

(1)

該模型能夠很好地刻畫鷹與麻雀、猞猁與野兔等生物種群之間的相互影響,因此，受到了很多學者的廣泛關注.例如,Wonlyul Ko和Kimun Ryu在文獻[2]中研究了具有擴散的Holling-Tanner捕食者-食餌模型正常數(shù)解的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性,以及非常數(shù)正解的存在性和不存在性.Peng和Wang在文獻[3]中討論了Holling-Tanner捕食者-食餌模型的反應擴散系統(tǒng)正常數(shù)平衡態(tài)解的全局穩(wěn)定性.Li和Cong在文獻[4]中通過構造合適的Liapunov函數(shù),給出了系統(tǒng)正解存在唯一平穩(wěn)分布的充分條件.

近年來,各類化學物品的排放,造成了土壤、空氣和水資源的污染,環(huán)境毒素不僅損害了人類的健康,還可能導致其他動植物的滅絕.因此,環(huán)境毒素對生態(tài)種群的影響成為了一個研究熱點.例如,Yan和Li在文獻[5]中利用Liapunov-Schmidt方法,研究了由二重特征值產(chǎn)生的分支解的存在性和穩(wěn)定性；文獻[6]發(fā)現(xiàn)環(huán)境毒素可能誘導雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的發(fā)生；文獻[7]討論了毒素影響下Lotka-Volterra捕食模型的局部性態(tài).受此啟發(fā),本文考慮如下帶有毒素的Holling-Tanner捕食者-食餌模型：

(2)

其中,u,v分別表示食餌和捕食者的種群密度；a表示捕食率；λ表示捕食者種群的內稟增長率；e為毒素并且0

考慮到空間非均勻分布因素,在模型(2)中引入擴散可得到相應的反應擴散模型：

(3)

本文討論了常微分系統(tǒng)非負平衡點的穩(wěn)定性，并分析了反應擴散系統(tǒng)非負平衡點的穩(wěn)定性.

1 常微分系統(tǒng)非負平衡點的穩(wěn)定性

下面討論系統(tǒng)(2)在正平衡點U*(u*,v*)處的穩(wěn)定性.

證明系統(tǒng)(2)在U*(u*,v*)處的Jacobi矩陣為

其對應的特征方程為

ξ2-F*ξ+G*=0,

2 反應擴散系統(tǒng)非負平衡點的穩(wěn)定 性

(1)若d1π2≥λ0,則U*(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的;

證明對u,v做Fourier展開,得

系統(tǒng)(2)在U*(u*,v*)處的線性化矩陣為

因此,上述問題轉化為

系統(tǒng)(2)在U*(u*,v*)處的特征方程為

ξ2-Fkξ+Gk=0,

其中

Fk=-d1k2π2-d2k2π2+fu*+gv*,

Gk=d1d2k4π4+k2π2(-d1gv*-d2fu*)+

fu*gv*-fv*gu*.

(*)

令

F*=fv*+gu*=λ0-λ,

下面分析Gk的符號,重新整理(*)可得

(ⅰ)若d1π2>λ0,則對所有的k,此時U*(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的;

(ⅱ)若d1π2<λ0,令Gk=0,有

顯然,使得d2(k)>0的k只有有限個.

記

Λ1={k|λ0>d1k2π2,k≥1},

3 結語

由定理3可知,當食餌的擴散率大時,U*(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的;當食餌的擴散率小,捕食者的擴散率也小時,U*(u*,v*)是穩(wěn)定的;只有當食餌的擴散率小,而捕食者的擴散率大時,U*(u*,v*)是不穩(wěn)定的.