分?jǐn)?shù)階微分發(fā)展方程非局部問題溫和解的存在性

豆 靜, 周文學(xué), 吳玉翠

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

隨著科學(xué)研究的深入, 學(xué)者們在處理很多問題的時候, 發(fā)現(xiàn)整數(shù)階微分方程已不能滿足研究現(xiàn)狀,因而很多學(xué)者們將研究方向從整數(shù)階微分方程轉(zhuǎn)向分?jǐn)?shù)階微分方程.分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛運(yùn)用于流體力學(xué)、物理學(xué)、自動控制、信號處理等[1-4].越來越多的實(shí)踐證明，分?jǐn)?shù)階微分方程的實(shí)用性優(yōu)于整數(shù)階微分方程，對分?jǐn)?shù)階微分方程的研究多數(shù)集中于其解的存在性和唯一性、可控性、分?jǐn)?shù)階建模等,且大多研究是在Riemann-Liouville和Caputo定義下進(jìn)行的.近年來, 有學(xué)者提出新的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義, 如一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，參見文獻(xiàn)[5].

2008年, 文獻(xiàn)[6]研究了分?jǐn)?shù)階非線性初值問題：

溫和解的存在性和唯一性, 此處u(α)(t)為經(jīng)典的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

非局部問題由Byszewski最早提出,其作用相當(dāng)于將局部的某些性質(zhì)推廣至整體[7],是古典初值問題的推廣,它能更好地表達(dá)物理現(xiàn)象,如電磁波傳導(dǎo)、優(yōu)化控制、氣體的擴(kuò)散現(xiàn)象等用非局部問題來描述時契合度更高.

2016年,文獻(xiàn)[7]研究了以下分?jǐn)?shù)階積分-微分方程非局部問題：

2019年，文獻(xiàn)[8]研究了非局部條件下分?jǐn)?shù)階半線性Cauchy問題：

解的存在性和唯一性.其中：Dα表示階數(shù)為0<α<1的一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；A(t)是Banach空間中的有界線性算子；ti滿足0

鑒于上述考慮,本文主要研究以下Banach空間X中分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程非局部問題：

(1)

溫和解的存在性和唯一性.式中：Tα是指階數(shù)為0<α<1的一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；

D={(t,s)∈R2:0≤s≤t≤T}；

D0={(t,s)∈R2:0≤t,s≤T},

A:D(A)?X→X是一致有界強(qiáng)連續(xù)半群T(t)(t≥0)的無窮小生成元,I=[0,c].

1 預(yù)備知識

設(shè)Br={u∈C(I,X):‖u‖C≤r,r>0}

是C(I,X)中的有界凸閉集,且記

G1=max{‖g(u)‖:t∈I},

定義1[5]令α∈(0,1),給定函數(shù)f:[0,∞)→R,則f的一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

引理1[5]令α∈(0,1),且函數(shù)f和g在t>0上α次可微,則

(1)Tα(af+bg)=aTα(f)+bTα(g),?a,b∈R;

(2)Tα(tp)=ptp-1,?p∈R;

(3)Tα(fg)=fTα(g)+gTα(f);

引理2[8](Schaefer不動點(diǎn)定理)設(shè)X是一個Banach空間,F:X→X是一個緊算子,若集E(F)={y∈X:y=λFy,λ∈[0,1]}是有界的,則F至少有一個不動點(diǎn).

定義2[9]設(shè)X是Banach空間,T(t)(0≤t<∞)是映X到X內(nèi)的有界線性算子的單參數(shù)族，稱T(t)(0)≤(t<∞)是X上的有界線性算子半群,若

(1)T(0)=I(I是X上的恒等算子);

(2)T(t+s)=T(t)T(s),?t,s≥0.

定義3[9]設(shè)T(t)(0≤t<∞)是X中的有界線性算子半群.定義線性算子A如下:令

且對于X∈D(A),

稱A是半群T(t)(0≤t<∞)的無窮小生成元,D(A)是A的定義域.

定義4[9]一個X上的有界線性算子半群T(t)(0≤t<∞)稱為有界線性算子強(qiáng)連續(xù)半群或C0半群,如果

引理3[9](指數(shù)有界性)設(shè)T(t)(t≥0)為X中的強(qiáng)連續(xù)半群,則存在常數(shù)M≥1,ω≥0，使得

‖T(t)‖≤Meωt,t≥0.

若ω=0,則T(t)(t≥0)為X中一致有界強(qiáng)連續(xù)半群.

引理4[10](Gronwall不等式) 令f是區(qū)間I=[a,b]上一個非負(fù)連續(xù)函數(shù),δ,λ是非負(fù)常數(shù),使得

則對?t∈I,有

引理5[11]設(shè)f∈C(I,R),I=[0,c], 分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題

存在溫和解：

2 主要結(jié)果

下面給出本文將要用到的假設(shè)條件.

(H1)設(shè)f:I×X×X×X→X連續(xù),N=max{‖f(t,0,0,0)‖:t∈I}, 且存在函數(shù)L1(t),L2(t),L3(t)∈L1(I), 使得

‖f(t,u(t),Gu(t),Su(t))-f(t,v(t),Gv(t),Sv(t))‖≤L1(t)‖u-v‖+L2(t)‖Gu-Gv‖+L3(t)‖Su-Sv‖，t∈I,u,v∈X;

(H2)函數(shù)g:C(I,X)→X連續(xù),且存在非負(fù)常數(shù)G2,使得

‖g(u)-g(v)‖≤G2‖u-v‖,

?u,v∈C(I,X).

先考慮分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題

(2)

定理1設(shè)X為Banach空間,A生成X中一致有界的強(qiáng)連續(xù)半群T(t)(t>0),若f:I×X×X×X→X滿足假設(shè)條件(H1), 則問題(2)至少存在一個溫和解.

證明定義算子P:C(I,X)→C(I,X)，滿足

(3)

分四步來證明.

第一步:證明P連續(xù).

設(shè)un,u∈C(I,X),{un}→u, 則對?t∈I,有

當(dāng)n→∞時, 上述不等式右端趨于0,故P連續(xù).

第二步: 證明P將有界集映為C(I,X)中的有界集.

令t∈I,u∈Br,且

則有

第三步:證明P將有界集映為C(I,X)中的等度連續(xù)集.

令t∈I,0≤t1≤t2≤c且u∈Br,由文獻(xiàn)[12]有

由已知條件及假設(shè)條件(H1)可得

當(dāng)t2→t1時, 上述不等式右端趨于0, 因此{(lán)Pu}等度連續(xù), 由Arzela-Ascoli定理,{Pu}相對緊, 且P是一個緊算子.

第四步:證明對?λ∈[0,1],E(P)={u∈C(I,X):λPu=u}有界.

令u∈E(P), 且存在λ∈[0,1]使得λPu=u,

因此,有

由引理4，得

故E(P)有界,因此由引理2知P至少有一個不動點(diǎn),即為問題(2)的溫和解.

定理2設(shè)X為Banach空間,A生成X中一致有界的強(qiáng)連續(xù)半群T(t)(t>0),f:I×X×X×X→X滿足假設(shè)條件(H1), 若假設(shè)

‖L3‖L1H*)<1

成立, 則問題(2)存在唯一溫和解.

證明考慮由式(3)定義的算子P, 令u∈Br,

由式(3)并結(jié)合假設(shè)(H1), 得

因此

則P(Br)?Br,令u,v∈Br,由

有

因?yàn)?/p>

故P是壓縮算子, 因此存在唯一不動點(diǎn)u∈Br,即為(2)的溫和解.

接下來考慮非局部問題(1).由引理5, 得到以下結(jié)論.

引理6令u0∈D(A),若假設(shè)(H1),(H2)滿足, 則問題(1)等價于積分方程

(4)

證明類似于引理5的證明.

定理3設(shè)X為Banach空間,A生成X中一致有界的強(qiáng)連續(xù)半群T(t)(t>0),若f:I×X×X×X→X滿足假設(shè)條件(H1),g:C(I,X)→X滿足條件(H2),則非局部問題(1)至少存在一個溫和解.

證明定義算子F:C(I,X)→C(I,X)滿足

(5)

第一步:設(shè){un}是一個序列, 且{un},u∈C(I,X),{un}→u, 則對任意t∈I,有

因此，

當(dāng)n→∞時, 上述不等式右端趨于0, 故F是連續(xù)算子.

第二步:考慮非空有界凸閉集Br={u∈C(I,X):‖u‖≤r,r>0},t∈I,對任意t∈I,和u∈Br, 有

即

亦即對任意u∈Br, 存在ω>0, 使得‖F(xiàn)u‖≤ω, 因此,F將有界集映為C(I,X)中的有界集.

第三步:類似于定理1的證明, 可證明{Fu}等度連續(xù).由Arzela-Ascoli定理,{Fu}相對緊, 故F是緊算子.

第四步:證明對?λ∈[0,1], 集合E(F)={u∈C(I,X):u=λFu}是有界的.對u∈E(F), 有

因此

由Gronwall不等式, 得

故E(t)有界.因此,由Shaefer不動點(diǎn)定理知F至少有一個不動點(diǎn),為非局部問題(1)的溫和解.

定理4設(shè)X為Banach空間,A生成X中一致有界的強(qiáng)連續(xù)半群T(t)(t>0),f:I×X×X×X→X滿足假設(shè)條件(H1),g:C(I,X)→X滿足條件(H2), 若假設(shè)

成立, 其中λ∈(0,1), 則非局部問題(1)存在唯一溫和解.

證明考慮由式(5)定義的算子F.

首先, 令u∈C([0,T],X), 則對?δ>0, 有

由假設(shè)條件(H1)、(H2)可得

當(dāng)δ→0時, 上式右端趨于0, 因此對任意u∈C([0,T],X),有Fu∈C([0,T],X), 即對任意的u∈C(I,X), 有Fu∈C(I,X).

其次, 證明F是C(I,X)上的壓縮算子.

因此

因?yàn)?/p>

所以F是壓縮算子,故在C(I,X)上有唯一不動點(diǎn), 可得非局部問題(1)有唯一溫和解.

3 例題

考慮下列非局部問題：

(6)

令X=L2[0,1]且Au=u″D(A)={u∈X:u,u′

絕對連續(xù)且u″∈X,u(0)=u(1)=0},由文獻(xiàn)[9]知,A在X上生成一致有界的強(qiáng)連續(xù)半群T(t)(t≥0),且對任意的t≥0,‖T(t)‖≤1,則

故

設(shè)u,v∈C([0,1],R),可得

即

因此,

由定理4知問題(6)有唯一溫和解.

4 結(jié)語

文中運(yùn)用算子半群理論，結(jié)合不動點(diǎn)理論, 獲得一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下微分發(fā)展方程初值問題溫和解的存在性和唯一性, 然后利用相同的方法考慮非局部問題溫和解的存在性和唯一性, 并舉出實(shí)例加以驗(yàn)證.