大空間運(yùn)動(dòng)3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定與誤差分析

趙 磊 閆照方 欒倩倩 趙新華1, 李 彬1,

(1.天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300384；2.機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(天津理工大學(xué))， 天津 300384；3.天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300384； 4.天津市金橋焊材集團(tuán)股份有限公司， 天津 300384)

0 引言

串聯(lián)機(jī)器人具有工作空間大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和成本低等特點(diǎn)，最早被應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)[1]。但由于僅擁有一條控制鏈，存在明顯的誤差積累效應(yīng)，且連桿機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的慣性負(fù)荷與原動(dòng)構(gòu)件轉(zhuǎn)速的平方成正比，高速下多個(gè)關(guān)節(jié)的彈性變形以及內(nèi)部慣性力的耦合作用越加明顯，使得其高速與高精度之間的矛盾更為明顯，故該類機(jī)器人工作速度相對(duì)較低[2]。目前，農(nóng)業(yè)果園采摘的產(chǎn)業(yè)自動(dòng)化加速了機(jī)器人在該領(lǐng)域的推廣和應(yīng)用，其工作精度一般在毫米級(jí)。

相比串聯(lián)機(jī)器人，并聯(lián)機(jī)器人具有高速、高負(fù)載和高剛度等優(yōu)勢(shì)，近年來被廣泛應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)中。但由于存在多條支鏈和大量的關(guān)節(jié)，導(dǎo)致該類機(jī)器人誤差標(biāo)定難度很大。目前，對(duì)于多支鏈并聯(lián)機(jī)器人誤差標(biāo)定方法的研究相對(duì)較少，主要原因是該類機(jī)器人的支鏈和關(guān)節(jié)數(shù)量較多，運(yùn)動(dòng)學(xué)模型很復(fù)雜，且難以獲取含有大量被動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角信息?，F(xiàn)階段成熟的單步標(biāo)定方法無法實(shí)現(xiàn)該類并聯(lián)機(jī)器人的誤差標(biāo)定工作[3]。此外，由于安裝過程中存在不同程度的關(guān)節(jié)間隙和晃動(dòng)，其不確定性難以將大量被動(dòng)副的轉(zhuǎn)角誤差進(jìn)行精確量化并引入誤差模型，致使該類大空間并聯(lián)機(jī)器人的工作精度不高[4-6]。

對(duì)于擁有多關(guān)節(jié)的并聯(lián)機(jī)器人，實(shí)現(xiàn)高精度誤差補(bǔ)償，需要高精密傳感器來獲取大量被動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角信息，安裝復(fù)雜且標(biāo)定成本極高[7-8]。因此，尋求一種自動(dòng)化程度高、易操作和較高精度的誤差標(biāo)定方法成為工程上亟待解決的問題[9]。

工作空間是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo)之一。早期連桿式平面四桿、五桿和六桿并聯(lián)機(jī)器人具有良好的運(yùn)動(dòng)速度，但工作空間狹小僅能實(shí)現(xiàn)平面二維空間的運(yùn)動(dòng)。經(jīng)典的Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)以其特有的高剛度和高載荷等特點(diǎn)被應(yīng)用到工業(yè)中，但適用于工作空間較小的場(chǎng)合。3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人是一種具有多支鏈、三維平動(dòng)機(jī)構(gòu)，各支鏈結(jié)構(gòu)相同且由多個(gè)連桿和運(yùn)動(dòng)副組成，支鏈長(zhǎng)度較大使其終端可達(dá)靜平臺(tái)以外的空間，相比經(jīng)典的平面并聯(lián)機(jī)器人和Stewart平臺(tái)，具有明顯的大空間特性。

本文針對(duì)3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定和誤差補(bǔ)償?shù)葐栴}進(jìn)行研究，對(duì)比分析兩種不同軌跡標(biāo)定方式下機(jī)器人補(bǔ)償前后的控制精度，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證標(biāo)定方法的有效性和可行性。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系建立

圖1為本文所研究的3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人，由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和3條支鏈構(gòu)成。

圖2為圖1的結(jié)構(gòu)示意圖，靜平臺(tái)固定在支架最上方，3條支鏈對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)(驅(qū)動(dòng)副)均固定于靜平臺(tái)上，動(dòng)平臺(tái)則位于下方。3條支鏈結(jié)構(gòu)相同，靠近靜平臺(tái)的關(guān)節(jié)為驅(qū)動(dòng)副，其余為被動(dòng)副。

Aij代表第i(i=1,2,3)條支鏈的第j(j=1,2,…,5)個(gè)關(guān)節(jié)，以第1支鏈為例，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)A11軸線平行于被動(dòng)關(guān)節(jié)A12，同時(shí)平行于靜平臺(tái)所在平面，垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)A13軸線，虎克鉸A14(A15)與動(dòng)平臺(tái)連接，動(dòng)、靜平臺(tái)均為等邊三角形，其外接圓半徑分別為r和R。

第1支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系如圖3所示，機(jī)器人的基坐標(biāo)系ORXRYRZR建立在靜平臺(tái)的幾何中心，ORZR垂直于靜平臺(tái)，θij為第i條支鏈上的第j個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角，動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系Ox′y′z′位于動(dòng)平臺(tái)幾何中心，Lij代表第i條支鏈中第j個(gè)連桿長(zhǎng)度，虎克鉸由兩個(gè)軸線相互垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)A14和A15組成,L14為虎克鉸中A14與A15之間的連桿長(zhǎng)度，L15為關(guān)節(jié)A15與動(dòng)平臺(tái)之間的連桿長(zhǎng)度。

2 并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦與誤差建模

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

為了實(shí)現(xiàn)3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人的自動(dòng)化控制，應(yīng)用DH法建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，第i條支鏈第j個(gè)關(guān)節(jié)到第j+1關(guān)節(jié)間的齊次變換矩陣Tij,i(j+1)可表示為

(1)

式中θij、αij——繞zij和xij軸旋轉(zhuǎn)角

Lij、dij——沿zij和xij軸平移的距離

其中cθij表示cosθij，sθij表示sinθij，cαij表示cosαij，sαij表示sinαij。

故并聯(lián)機(jī)器人第1支鏈閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示為

T=T1RT11T12T13T14T15

(2)

其中

式中Px、Py、Pz——機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)幾何中M坐標(biāo)

第1支鏈閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中對(duì)應(yīng)的DH矩陣參數(shù)如表1所示。

表1 第1支鏈DH矩陣參數(shù)Tab.1 DH matrix parameters of the first branch chain

對(duì)式(2)作如下變換

(3)

將DH矩陣參數(shù)代入式(3)可得

(4)

由式(4)矩陣方程左右相等，并聯(lián)機(jī)器人關(guān)節(jié)角θ13的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為[-π/2,π/2]，則有cosθ13≥0，求解計(jì)算方程組可得

(5)

將式(5)代入式(4)并求解方程組，可求得

(6)

其中K16=4L11Pz

同理，完成其他兩條支鏈轉(zhuǎn)角的求解，實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦計(jì)算，詳細(xì)計(jì)算過程詳見文獻(xiàn)[10]，不做過多贅述。

工業(yè)串聯(lián)機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)量較少，且關(guān)節(jié)均為驅(qū)動(dòng)副，實(shí)際轉(zhuǎn)角可由內(nèi)部傳感器直接讀取，因此，單步標(biāo)定的誤差補(bǔ)償精度高[11]。3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人存在大量的被動(dòng)關(guān)節(jié)，單步標(biāo)定并不適合，尋求一種自動(dòng)化程度高、快速有效的誤差標(biāo)定方法成為并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究焦點(diǎn)[12]。因此，合理建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型并完成解耦是實(shí)現(xiàn)誤差標(biāo)定的前提和基礎(chǔ)[10，13-14]。由于關(guān)節(jié)間隙和晃動(dòng)等因素具有不確定性和隨機(jī)性，難以精確量化。為了測(cè)試所提出方法的有效性和可行性，故忽略上述誤差因素。

為建立機(jī)器人的誤差模型，本文從支鏈構(gòu)型出發(fā)，應(yīng)用空間矢量法構(gòu)建閉環(huán)方程。以第1支鏈為例，如圖4所示該支鏈的閉環(huán)方程可表示為

lA11A12+lA12A13+lA13A15=lORP+lPA15-lORA11

(7)

其中

由式(7)可得第1支鏈的閉環(huán)方程，同理，也可獲得其余兩條支鏈方程，進(jìn)而得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(8)

具體推導(dǎo)過程詳見文獻(xiàn)[10]。

2.2 機(jī)器人誤差建模

具有大范圍平動(dòng)3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2?；谄⒎衷?，將對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)參量的誤差項(xiàng)表示為Δθi1、ΔLi1以及ΔLi2以及ΔLi3(i=1,2,3)以及ΔR和Δr，共14項(xiàng)誤差。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structure parameters mm

各誤差項(xiàng)定義為

θi1——第i條支鏈驅(qū)動(dòng)角理論值

Δθi1——對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)角誤差

(9)

式中 ΔLi1、ΔLi2、ΔLi3——每條支鏈上驅(qū)動(dòng)桿件以及兩個(gè)被動(dòng)桿件存在的加工誤差

由于連桿加工在同一機(jī)床完成，故其余兩支鏈上的連桿加工誤差相同，則有ΔL11=ΔL21=ΔL31,ΔL12=ΔL22=ΔL32和ΔL13=ΔL23=ΔL33。

(10)

式中Re、re——靜、動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑實(shí)際值

ΔR、Δr——靜、動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑誤差

(11)

式(11)為目標(biāo)函數(shù)，通過獲取機(jī)器人終端實(shí)際空間數(shù)據(jù)，應(yīng)用數(shù)值算法開展尋優(yōu)計(jì)算，目標(biāo)函數(shù)補(bǔ)償后在允許誤差范圍內(nèi)停止尋優(yōu)。

3 誤差標(biāo)定

3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人常用于工業(yè)生產(chǎn)線中產(chǎn)品的分揀和搬運(yùn)工作，如圖5所示。

對(duì)于工業(yè)生產(chǎn)線上，分揀和搬運(yùn)機(jī)器人的工作精度要求不高，將貨物放置在指定位置，適合于精度要求不高的場(chǎng)合?；趯?shí)際應(yīng)用工況，生產(chǎn)線要求搬運(yùn)機(jī)器人的工作誤差為3 mm±1 mm，故設(shè)定3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人的允許誤差為2 mm。

3.1 遺傳算子優(yōu)化

選取不依賴初值的遺傳算法開展尋優(yōu)計(jì)算[15-16]。適應(yīng)度函數(shù)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)來檢測(cè)群體中的每個(gè)個(gè)體，判斷其是否能夠達(dá)到最優(yōu)解程度[17-18]。由于遺傳算法整體搜索不依賴于梯度信息，常用于非線性系統(tǒng)的優(yōu)化計(jì)算和機(jī)器人動(dòng)態(tài)最優(yōu)路徑的規(guī)劃[19-23]。

(1)交叉概率

以步距為0.1進(jìn)行搜索，并通過Matlab遺傳算法工具箱輸出窗口可獲取交叉概率Pc與適應(yīng)度Fv測(cè)試結(jié)果和分布曲線，如表3和圖6所示，故本文交叉概率選取0.8。

表3 交叉概率與適應(yīng)度值Tab.3 Crossover probability and fitness value

(2)遷移概率

基于上述原理，遷移概率Pm與適應(yīng)度Fv的測(cè)試結(jié)果和分布關(guān)系如表4和圖7所示，當(dāng)遷移概率Pm為0.7時(shí)獲得適應(yīng)度Fv為0.511 2。因此，遷移概率取0.7。

表4 遷移概率與適應(yīng)度值Tab.4 Migration probability and fitness value

本文采用歸一化實(shí)數(shù)制編碼，初始種群尺度為30，遺傳算子中交叉概率Pc=0.8，遷移概率Pm=0.7，適應(yīng)度比例和選擇算子分別選取線性轉(zhuǎn)換和隨機(jī)均勻分布方式。

3.2 直線軌跡標(biāo)定

跟蹤靶標(biāo)固定在機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)(圖8)，勻速階段速度為80 mm/s，加速度為40 mm/s2，采用梯形控制策略，理論起點(diǎn)為(-800 mm,0 mm,600 mm)，終點(diǎn)為(-300 mm,0 mm,600 mm)，每條直線等間距方式采集26個(gè)點(diǎn)，借助激光跟蹤儀獲取對(duì)應(yīng)空間位置信息，共進(jìn)行7組直線軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。第1組直線軌跡位于機(jī)器人工作空間中心區(qū)域的xoz平面上，第2組和第3組軌跡最靠近第1組軌跡，第6組和第7組靠近邊界區(qū)域，應(yīng)用Matlab遺傳工具箱，采用上述遺傳算子值和目標(biāo)函數(shù)，對(duì)14項(xiàng)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算，結(jié)果如表5所示。

表5 直線軌跡標(biāo)定結(jié)果Tab.5 Calibration result of straight-line track

應(yīng)用表5結(jié)果進(jìn)行直線軌跡誤差補(bǔ)償，第1組實(shí)驗(yàn)軌跡采樣點(diǎn)補(bǔ)償前后分布和誤差曲線如圖9所示。圖9表明，由于并聯(lián)機(jī)器人存在大量關(guān)節(jié)和連桿機(jī)構(gòu)，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)過程中其最大誤差高達(dá)8.356 mm，補(bǔ)償前最小誤差為4.232 mm，此時(shí)機(jī)器人連續(xù)軌跡跟蹤性能較低；此外，補(bǔ)償前位置誤差曲線存在多個(gè)明顯的尖峰誤差，側(cè)面反映了機(jī)器人軌跡跟蹤時(shí)并不平穩(wěn)。

通過以上7組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明：補(bǔ)償后機(jī)器人的位置誤差有效控制在0.14～1.34 mm，達(dá)到了預(yù)期控制要求。從圖10a發(fā)現(xiàn)，第2、3組即位于機(jī)器人工作空間的中心區(qū)域，其補(bǔ)償前、后的精度優(yōu)于其他4組；由圖10b看出，第6組和第7組軌跡誤差明顯高于其余5組，其最大誤差高達(dá)9.36 mm，出現(xiàn)在第6組直線軌跡即靠近邊界區(qū)域，說明該類結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)器人在工作空間的中心區(qū)域具有較高的精度。

3.3 曲線軌跡標(biāo)定

3-RRRU機(jī)器人是一種平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通常搬運(yùn)軌跡主要以直線軌跡為主。然而，在某些工作環(huán)境下需機(jī)器人完成部分的曲線軌跡運(yùn)動(dòng)，本文同時(shí)開展了曲線軌跡標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。預(yù)設(shè)曲線軌跡為螺旋線如圖11a所示，共設(shè)置40個(gè)采樣點(diǎn)，基于同樣標(biāo)定原理，完成曲線軌跡標(biāo)定實(shí)驗(yàn)；此外，應(yīng)用直線軌跡標(biāo)定結(jié)果對(duì)該曲線路徑進(jìn)行誤差補(bǔ)償，則兩種不同軌跡標(biāo)定方式下在x、y、z方向的誤差補(bǔ)償曲線如圖11b～11d所示，標(biāo)定結(jié)果如表6所示。

表6 曲線軌跡誤差標(biāo)定結(jié)果Tab.6 Error calibration result of curve track

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：直線標(biāo)定方式對(duì)曲線軌跡誤差補(bǔ)償?shù)男Ч^差，補(bǔ)償后在x方向的位置誤差分布在-5.03～4.78 mm；在z方向誤差最小，其最大絕對(duì)值誤差小于3 mm；而曲線標(biāo)定方式的補(bǔ)償效果明顯優(yōu)于直線標(biāo)定補(bǔ)償，在3個(gè)方向的位置誤差均分布在-1.63～1.52 mm，滿足控制要求?？梢?，直線標(biāo)定并不適用于機(jī)器人曲線路徑的誤差補(bǔ)償。

對(duì)比表5和表6可知，直線標(biāo)定不涉及曲線加減速和插值計(jì)算，動(dòng)平臺(tái)因間隙產(chǎn)生的微小晃動(dòng)不明顯，故表5中驅(qū)動(dòng)角誤差相對(duì)較小，動(dòng)平臺(tái)半徑加工誤差僅為0.886 5 mm；然而，曲線軌跡運(yùn)動(dòng)中存在大量的小距離插補(bǔ)計(jì)算，更真實(shí)反映出驅(qū)動(dòng)角存在的實(shí)際誤差。因此，驅(qū)動(dòng)角誤差標(biāo)定結(jié)果相差很大。此外，兩種標(biāo)定方式下所得到的連桿加工誤差幾乎一致，說明對(duì)線性誤差標(biāo)定效果良好。另動(dòng)平臺(tái)誤差標(biāo)定結(jié)果相差較大的主要原因是各支鏈均通過一個(gè)虎克鉸與動(dòng)平臺(tái)連接，虎克鉸中兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副存在間隙耦合效應(yīng)，當(dāng)進(jìn)行曲線加減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于慣性導(dǎo)致動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生的間隙晃動(dòng)嚴(yán)重，故該誤差項(xiàng)包含了虎克鉸的間隙因素，故動(dòng)平臺(tái)半徑加工誤差為1.675 2 mm。

為驗(yàn)證曲線標(biāo)定結(jié)果的有效性和通用性，對(duì)第2～7組直線軌跡進(jìn)行誤差補(bǔ)償，6組直線軌跡的整體誤差控制在0.08～1.12 mm，優(yōu)于直線標(biāo)定補(bǔ)償后的0.14～1.34 mm，如圖12所示。

由圖12可知，擁有對(duì)稱支鏈結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)器人在中心區(qū)域附近即第1～3組直線軌跡的精度較好，邊界區(qū)域明顯較差。

4 結(jié)論

(1)擁有對(duì)稱支鏈結(jié)構(gòu)的3-RRRU并聯(lián)機(jī)器人在工作空間的中心區(qū)域具有較好的工作精度，邊界區(qū)域精度低。

(2)該標(biāo)定方法僅需1臺(tái)激光跟蹤儀即可實(shí)現(xiàn)對(duì)擁有大量關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)器人的誤差自動(dòng)化標(biāo)定工作，為結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的并聯(lián)機(jī)器人誤差標(biāo)定工作提供了重要的理論基礎(chǔ)，解決了目前單步標(biāo)定方法存在的效率低、操作繁瑣和標(biāo)定成本高的難題。

(3)直線軌跡標(biāo)定方式僅適用于直線路徑的誤差補(bǔ)償，存在一定局限性；而曲線標(biāo)定可實(shí)現(xiàn)直線和曲線軌跡的誤差補(bǔ)償，通用性強(qiáng)，對(duì)直線軌跡補(bǔ)償后的誤差控制在0.08～1.12 mm，優(yōu)于直線標(biāo)定補(bǔ)償后的0.14～1.34 mm。

(4)由于忽略了關(guān)節(jié)間隙和晃動(dòng)等因素，雖然補(bǔ)償精度相對(duì)較低，但可廣泛用于工業(yè)生產(chǎn)線的分揀和搬運(yùn)工作，充分利用并聯(lián)機(jī)器人的高速和高負(fù)載特性，大幅提高生產(chǎn)效率。