2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度模型建立與性能分析

饒晨陽 徐靈敏 陳巧紅

(1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動控制學(xué)院， 杭州 310018； 2.浙江理工大學(xué)信息學(xué)院， 杭州 310018)

0 引言

相比于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有精度高、載荷能力強(qiáng)、動態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，作為骨架已廣泛應(yīng)用于各種先進(jìn)制造裝備中[1-3]?？紤]末端執(zhí)行器的輸出特性，三自由度兩轉(zhuǎn)一移(Two rotations and one translation, 2R1T)并聯(lián)機(jī)機(jī)構(gòu)適用于復(fù)雜曲面加工的場合[2-7]。通過結(jié)合兩個串聯(lián)式移動導(dǎo)軌或在末端安裝二自由度串聯(lián)擺頭，整機(jī)可實現(xiàn)五自由度運(yùn)動，用于大型航空結(jié)構(gòu)件加工打磨等[8-9]。

對用于高速高精度加工場合的2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在設(shè)計階段進(jìn)行靜剛度建模必不可少，既是機(jī)構(gòu)靜剛度性能分析的基礎(chǔ)，同時也為實際樣機(jī)設(shè)計和提高控制精度提供重要參考依據(jù)。靜剛度建模主要研究在系統(tǒng)靜力平衡的情況下，機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的變形情況和外部載荷間的映射關(guān)系[10]?，F(xiàn)有的并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度建模方法主要有[11-22]：有限元分析法[11-14]、矩陣結(jié)構(gòu)分析法[15-18]和虛擬關(guān)節(jié)建模法[19-22]。有限元分析法通過借助有限元分析軟件對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，計算外部載荷作用下機(jī)構(gòu)在某一位型下的變形情況，具有較高的精度。但由于機(jī)構(gòu)在不同位型時需重新建模和劃分網(wǎng)格，過程較為繁瑣且耗時，不適用于參數(shù)優(yōu)化。矩陣結(jié)構(gòu)分析法則通過矩陣運(yùn)算直接得到機(jī)構(gòu)剛度矩陣，無需網(wǎng)格劃分。但該方法涉及到高維矩陣運(yùn)算，不適用于解析靜剛度建模。虛擬關(guān)節(jié)建模法則通過考慮關(guān)節(jié)柔性，建立機(jī)構(gòu)末端變形和外部載荷的關(guān)系，精度較高。但對于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該方法需進(jìn)行大量的逆矩陣運(yùn)算，計算效率不高。

基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度矩陣的特性，現(xiàn)已提出一些剛度指標(biāo)用于性能評估及參數(shù)優(yōu)化[11, 23-25]，如最大/最小特征值[24]、特征值平均數(shù)[11]、行列式[25]等。然而由于剛度矩陣中的元素量綱不統(tǒng)一，會導(dǎo)致基于剛度矩陣的指標(biāo)物理意義不明確和解釋錯誤[23]。

本文將對2-UPR-PRU三自由度2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)[3-4]進(jìn)行靜剛度建模和性能評估。通過螺旋理論和應(yīng)變能方法[26-28]得到各分支和整體剛度矩陣。借助ANSYS有限元軟件，對2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論變形結(jié)果和整體柔度矩陣進(jìn)行數(shù)值仿真驗證。利用虛功剛度指標(biāo)(Virtual-work stiffness index, VSI)[28]評價2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)抵抗外部載荷的能力。通過改變2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的操作高度分析討論機(jī)構(gòu)在姿態(tài)空間中的剛度性能分布圖譜。

1 機(jī)構(gòu)描述與位置逆解

1.1 機(jī)構(gòu)描述

圖1為2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型，其中定平臺和動平臺由2條對稱分布的UPR分支(B1A1/B2A2)和1條PRU分支(B3A3)連接，通過驅(qū)動3個P副可實現(xiàn)動平臺的2個轉(zhuǎn)動和1個移動。各分支中的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸定義如下：2條UPR分支中U副的第1個轉(zhuǎn)軸共線，且方向和PRU分支中U副的第1個轉(zhuǎn)軸和固接在定平臺上的R副轉(zhuǎn)軸平行；2個UPR分支中U副的第2個轉(zhuǎn)軸相互平行，且同時平行于和動平臺固接的R副轉(zhuǎn)軸和PRU分支中U副的第2個轉(zhuǎn)軸。

如圖1所示，2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)定/動坐標(biāo)系定義為：定坐標(biāo)系Oxyz的原點(diǎn)O為B1B2的中心點(diǎn)，x軸與B3O重合，y軸指向點(diǎn)B1，z軸根據(jù)右手定則垂直向下。動坐標(biāo)系ouvw的原點(diǎn)o為A1A2的中心點(diǎn)，u軸沿著A3o方向，v軸沿著oA1方向，w軸垂直于動平臺向下。2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的桿件參數(shù)定義如下：oA1、oA2為l1，OB1、OB2為l2，oA3為l3，B3A3為l。

1.2 位置逆解

根據(jù)2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)[3-4]，動坐標(biāo)系ouvw相對于定坐標(biāo)系Oxyz的旋轉(zhuǎn)矩陣ORo可表示為

(1)

式中Ry,β、Ru,γ——繞y軸和u軸的旋轉(zhuǎn)矩陣

s、c——正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

由于2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征，動平臺末端點(diǎn)o的運(yùn)動限制在y=0平面內(nèi)，這一特點(diǎn)大大降低了機(jī)構(gòu)反解推導(dǎo)的復(fù)雜性。如圖1所示，ci表示BiAi(i=1,2,3)位置矢量。另外，機(jī)構(gòu)中的oAi和OBi位置矢量可分別表示為

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)，代入到閉環(huán)矢量鏈ci=p+ai-bi中，可得到2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解表達(dá)式為

(3)

2 靜剛度建模

結(jié)合螺旋理論和應(yīng)變能方法，對2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行各分支和整機(jī)的靜剛度建模分析，用于評估外部載荷對末端位姿輸出的影響。在構(gòu)建靜剛度模型前，需進(jìn)行如下假設(shè)：①本研究考慮桿件的柔性，包括彎曲、剪切、拉伸/壓縮和扭轉(zhuǎn)變形。②機(jī)構(gòu)中的定平臺、動平臺和所有運(yùn)動關(guān)節(jié)均被認(rèn)為是剛體。③忽略機(jī)構(gòu)中各部件的重力和摩擦力。

2.1 分支剛度矩陣

選用第1條UPR分支和PRU分支作為研究對象。在構(gòu)建分支剛度矩陣前，需確定分支的驅(qū)動力螺旋和約束力螺旋[29]。參照文獻(xiàn)[3]，在定坐標(biāo)系下，第1條UPR分支的驅(qū)動/約束力螺旋可表示為

(4)

如圖2a所示，驅(qū)動/約束力螺旋的幅值分別定義為f11、f12和m11。為方便進(jìn)行投影，在UPR分支中建立分支坐標(biāo)系A(chǔ)1x1y1z1，其中y1軸沿著R副的軸線方向，z1軸沿著B1A1方向，x1軸可通過右手定則得到，如圖2b所示。根據(jù)力學(xué)知識，作用于點(diǎn)B1的約束力f12等效于作用于點(diǎn)A1的約束力f12加上沿著x1軸的約束力矩m12，其可表示為

m12=-q1z1×f12y1=q1f12x1=m12x1

(5)

根據(jù)圖2b中驅(qū)動/約束力的投影結(jié)果，UPR分支中任意橫截面處的內(nèi)力/內(nèi)力矩可表示為

(6)

式中n1——約束力矩m11的方向矢量

v1——選定橫截面到點(diǎn)A1的距離

因此，UPR分支應(yīng)變能可表示為

(7)

式中Eq1——UPR分支彈性模量

Gq1——UPR分支剪切模量

Aq1——分支橫截面面積

Aq1y——分支橫截面沿著y1軸的有效面積

Iq1x——關(guān)于x1軸的橫截面慣性矩

Jq1——橫截面極慣性矩

(8)

將式(8)表示為矩陣形式

(9)

其中

(10)

式中C1——3×3的對稱分支柔度矩陣

因此，根據(jù)式(10)可得到第1條UPR分支的剛度矩陣K1為

(11)

PRU分支的剛度矩陣構(gòu)建過程類似于UPR分支。在定坐標(biāo)系下，該分支的驅(qū)動/約束力螺旋可表示為

(12)

PRU分支上的3個驅(qū)動/約束力如圖3a所示，其幅值分別定義為f31、f32和m31。同樣地，在PRU分支中建立分支坐標(biāo)系A(chǔ)3x3y3z3，其中x3軸沿著R副的軸線方向，z3軸沿著B3A3方向，y3軸可通過右手定則得到，如圖3b所示。PRU分支中任意橫截面處的內(nèi)力/內(nèi)力矩可表示為

(13)

式中n3——約束力矩m31的方向矢量

v3——選定橫截面到點(diǎn)A3的距離

(14)

其中

(15)

式中El——PRU分支彈性模量

Gl——PRU分支剪切模量

Al——分支橫截面的面積

Alx——分支橫截面沿著x3軸的有效面積

Ily——關(guān)于y3軸的橫截面慣性矩

Jl——橫截面極慣性矩

同理，PRU分支的剛度矩陣K3為

(16)

2.2 整體剛度矩陣

動平臺的力/力矩平衡方程可表示為

(17)

其中

式中JW1——分支1中維度為6×3的力矩陣

JW2——分支2中維度為6×3的力矩陣

JW3——分支3中維度為6×3的力矩陣

JW——6×9的力矩陣

f1——分支1中3×1的力幅值矢量

f2——分支2中3×1的力幅值矢量

f3——分支3中3×1的力幅值矢量

f——9×1的力幅值矢量

根據(jù)虛功原理，各分支變形矢量和動平臺原點(diǎn)的變形矢量D滿足如下關(guān)系

(18)

式中 δx、δy、δz——機(jī)構(gòu)沿著x軸、y軸和z軸的線性變形

δθ、δφ、δψ——機(jī)構(gòu)繞著x軸、y軸和z軸的角度變形

結(jié)合式(17)、(18)，δi(i=1,2,3)和D的變形協(xié)調(diào)方程可表示為

(19)

將式(9)、(14)、(19)代入式(17)可得

(20)

從式(20)可得2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣為

(21)

通過式(19)～(21)得到機(jī)構(gòu)中各分支的力幅值矢量表示為

(22)

2.3 理論剛度模型和有限元模型對比

在分析機(jī)構(gòu)剛度性能前，需驗證2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論剛度模型的正確性。通過在ANSYS軟件中建立有限元模型進(jìn)行對比驗證。在有限元模型中，定平臺、動平臺和所有運(yùn)動關(guān)節(jié)均設(shè)為剛性。2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的桿件長度和材料參數(shù)如表1所示，需要注意的是此處3個運(yùn)動分支的橫截面均設(shè)為相同大小的圓截面，且各分支的彈性模量和剪切模量相同。

表1 2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的長度及材料參數(shù)Tab.1 Length and material parameters of 2-UPR-PRU parallel manipulator

由于使用有限元模型計算2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間中所有點(diǎn)的剛度是一個耗時且困難的過程，因此選取位型和外載不同的3個示例進(jìn)行結(jié)果驗證，如表2所示。通過建模分析，可得到ANSYS軟件中3個示例的變形結(jié)果，包括線性變形和角度變形，如圖5所示。另外，表3為2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺原點(diǎn)o的理論模型變形結(jié)果和有限元仿真變形結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)兩個模型的結(jié)果基本一致，3個示例中所有的變形相對誤差均不超過0.78%。

表2 2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3個選擇示例Tab.2 Three selected cases of 2-UPR-PRU parallel manipulator

表3 2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論結(jié)果和仿真結(jié)果的變形對比Tab.3 Deformation comparison between theoretical and simulation results of 2-UPR-PRU parallel manipulator

除了對比變形結(jié)果，也可通過對比兩種模型的整體柔度矩陣來驗證理論模型的正確性。以示例3為例，其整體理論柔度矩陣和仿真柔度矩陣分別為

(23)

(24)

兩個柔度矩陣中各個元素的相對誤差為

(25)

從式(25)可以發(fā)現(xiàn)，所有相對誤差均不超過0.60%，是可接受的。上述兩個對比結(jié)果均證明了2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論靜剛度模型的正確性，其可替代ANSYS軟件的分析結(jié)果，為后續(xù)的靜剛度性能分析提供保障。

3 靜剛度性能分析

利用VSI[28]評估2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度性能。不同于其他基于剛度矩陣代數(shù)特性的剛度指標(biāo)，VSI可通過能量來描述機(jī)構(gòu)的剛度性能，且其與外部載荷的大小和方向直接相關(guān)，避免了剛度矩陣內(nèi)元素量綱不同所帶來的問題。在外載W作用下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛功WV可表示為

WV=WTD

(26)

將式(20)代入式(26)中，虛功WV可表示為

WV=WTK-1W

(27)

根據(jù)式(27)虛功剛度指標(biāo)VSI可定義為

κ=1/(WTK-1W)

(28)

盡管剛度矩陣K中的元素具有不同的量綱，但VSI將其混合的單位轉(zhuǎn)換成了J-1，可用于直接測量機(jī)構(gòu)抵抗變形的能力。顯而易見，κ越大，機(jī)構(gòu)在該位型下的剛度性能越好。

4 結(jié)論

(1)基于螺旋理論和應(yīng)變能方法建立了2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分支和整體靜剛度模型，建模簡單，表達(dá)直接且含意清晰。

(2)以機(jī)構(gòu)動平臺的變形和整體柔度矩陣為驗證對象，和有限元模型的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明理論剛度模型變形和柔度矩陣元素的相對誤差分別不超過0.78%和0.60%，驗證了2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論靜剛度模型的正確性，可用于替代ANSYS軟件進(jìn)行機(jī)構(gòu)的剛度分析。

(3)以VSI對2-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜剛度性能分析，確定了操作高度以及外載大小和方向?qū)?-UPR-PRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度性能的影響，為樣機(jī)設(shè)計提供參考。