四維時(shí)空表示定理與閔可夫斯基空間

王海東

摘要：四維時(shí)空表示定理與狹義相對(duì)論具有十分密切的理論聯(lián)系。四維時(shí)空表示定理是狹義相對(duì)論的理論依據(jù)。狹義相對(duì)論是四維時(shí)空表示定理的理論表述。雖然愛因斯坦從未公開表述過四維時(shí)空表示定理，但是愛因斯坦不僅已經(jīng)意識(shí)到了四維時(shí)空表示定理的存在，而且還用四維時(shí)空表示定理證明了四維時(shí)空的洛倫茲變換。從四維時(shí)空表示定理來看，閔可夫斯基空間是一個(gè)存在理論缺陷的幾何空間。只有根據(jù)四維時(shí)空表示定理加以修改之后，才能將這個(gè)幾何空間應(yīng)用于四維時(shí)空的表示過程。

關(guān)鍵詞：四維時(shí)空表示定理;狹義相對(duì)論;洛倫茲變換;閔可夫斯基空間

愛因斯坦在狹義相對(duì)論中提出了四維時(shí)空的幾何概念。愛因斯坦認(rèn)為，四維時(shí)空就是以某個(gè)持有坐標(biāo)時(shí)鐘的觀察者作為形成條件的、可以通過其觀察過程使一維時(shí)間與三維空間產(chǎn)生幾何關(guān)系的幾何空間。坐標(biāo)時(shí)鐘就是以某個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)作為時(shí)間原點(diǎn)、以某個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)位置作為時(shí)間位置、只能根據(jù)光信號(hào)的傳遞過程校準(zhǔn)時(shí)間、并能產(chǎn)生狹義相對(duì)論效應(yīng)的時(shí)鐘。狹義相對(duì)論效應(yīng)就是在光速不變的假設(shè)條件下、通過四維時(shí)空的洛倫茲變換形成的、符合狹義相對(duì)論的理論預(yù)言的時(shí)空效應(yīng)。根據(jù)這一認(rèn)識(shí)，愛因斯坦將四維時(shí)空的時(shí)空距離定義為光速與坐標(biāo)時(shí)間的乘積。坐標(biāo)時(shí)間就是通過坐標(biāo)時(shí)鐘的時(shí)間位置形成的時(shí)間。從這個(gè)定義來看，愛因斯坦將一維時(shí)間視為一個(gè)不能獨(dú)立存在的幾何維度。這個(gè)幾何維度只能同時(shí)存在于構(gòu)成某個(gè)坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸上。由于愛因斯坦將一維時(shí)間視為一個(gè)不能獨(dú)立存在的幾何維度，所以愛因斯坦也將一維時(shí)間視為一個(gè)自由度為零的幾何維度。對(duì)于愛因斯坦來說，雖然四維時(shí)空具有四個(gè)幾何維度，但是這四個(gè)幾何維度卻只有三個(gè)自由度。這三個(gè)自由度分別屬于構(gòu)成某個(gè)坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸。由于構(gòu)成某個(gè)坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸代表三維空間，所以這三個(gè)自由度也分別屬于構(gòu)成三維空間的三個(gè)幾何維度。

根據(jù)以上分析，我們可以推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)定理：如果將四維時(shí)空的時(shí)空距離定義為光速與坐標(biāo)時(shí)間的乘積，就可以將三維空間定義為同時(shí)包含一維時(shí)間的三個(gè)幾何維度，并用表示三維空間的幾何方法來表示四維時(shí)空的幾何關(guān)系。這個(gè)數(shù)學(xué)定理就是四維時(shí)空表示定理。

我們不難發(fā)現(xiàn)：這個(gè)證明過程的最后一個(gè)數(shù)學(xué)公式來自于愛因斯坦。從這個(gè)發(fā)現(xiàn)來看，雖然愛因斯坦從未公開表述過四維時(shí)空表示定理，但是愛因斯坦不僅已經(jīng)意識(shí)到了四維時(shí)空表示定理的存在，而且還用四維時(shí)空表示定理證明了四維時(shí)空的洛倫茲變換。

由此可見，四維時(shí)空表示定理與狹義相對(duì)論具有十分密切的理論聯(lián)系。四維時(shí)空表示定理是狹義相對(duì)論的理論依據(jù)。狹義相對(duì)論是四維時(shí)空表示定理的理論表述。符合四維時(shí)空表示定理就意味著符合狹義相對(duì)論。不符合四維時(shí)空表示定理就意味著不符合狹義相對(duì)論。

閔可夫斯基將四維時(shí)空的時(shí)空距離定義為虛數(shù)與光速和坐標(biāo)時(shí)間的乘積，并且根據(jù)這個(gè)新的定義方法提出了閔可夫斯基空間的幾何概念。愛因斯坦曾經(jīng)認(rèn)為閔可夫斯基空間符合四維時(shí)空表示定理。但是，愛因斯坦在形成這一認(rèn)識(shí)的時(shí)候顯然有些考慮不周。因?yàn)樗麤]有認(rèn)識(shí)到：將虛數(shù)引進(jìn)表示四維時(shí)空的時(shí)空距離的定義之后，不僅會(huì)使四維時(shí)空的時(shí)空距離從正數(shù)變成負(fù)數(shù)，而且會(huì)使四維時(shí)空的洛倫茲變換遭到破壞。從這兩個(gè)角度來看，閔可夫斯基空間并不符合四維時(shí)空表示定理。

除了存在上述理論缺陷，閔可夫斯基空間還存在著一個(gè)理論缺陷。這個(gè)理論缺陷來自于閔可夫斯基空間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

令t代表坐標(biāo)時(shí)間，x代表坐標(biāo)位置，p代表系統(tǒng)動(dòng)量，xμ和xμ代表協(xié)變四矢量和逆變四矢量，pμ和pμ代表協(xié)變四動(dòng)量和逆變四動(dòng)量，gμν和gμν代表協(xié)變度規(guī)張量和逆變度規(guī)張量，?μ和?μ代表協(xié)變微分算符和逆變微分算符，?代表向量微分算子，d4 x代表坐標(biāo)積分測(cè)度，d4 p代表動(dòng)量積分測(cè)度，閔可夫斯基空間的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的理論缺陷在于：既然已經(jīng)將表示四維時(shí)空的時(shí)空距離定義為虛數(shù)與光速和坐標(biāo)時(shí)間的乘積，就已經(jīng)將四維時(shí)空的幾何關(guān)系用表示三維空間的幾何方法表示出來了。因此，只有將四維時(shí)空的幾何空間定義為一維時(shí)間不能獨(dú)立存在的三維空間，才不會(huì)使幾何空間的定義與時(shí)空距離的定義產(chǎn)生矛盾。如果將四維時(shí)空的幾何空間定義為一維時(shí)間可以獨(dú)立存在的四維空間，就一定會(huì)使幾何空間的定義與時(shí)空距離的定義產(chǎn)生矛盾。其結(jié)果不僅會(huì)將實(shí)際存在的三矢量和三動(dòng)量定義為四矢量和四動(dòng)量，而且會(huì)在四維時(shí)空的表示過程中導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算的出現(xiàn)。

下面，我們就用這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的有關(guān)規(guī)定來證明這個(gè)理論缺陷：

從這個(gè)證明過程來看，閔可夫斯基空間屬于不可解空間。不可解空間就是不能通過其數(shù)學(xué)表達(dá)式求解的幾何空間。

雖然閔可夫斯基空間屬于不可解空間，但是這種情況并非不可改變。只要將閔可夫斯基空間從四維空間轉(zhuǎn)變成為三維空間，就可以將閔可夫斯基空間從不可解空間轉(zhuǎn)變成為可解空間。可解空間就是可以通過其數(shù)學(xué)表達(dá)式求解的幾何空間。不過，即使將閔可夫斯基空間從不可解空間轉(zhuǎn)變成為可解空間，也不會(huì)通過這個(gè)可解空間求出符合狹義相對(duì)論的解。要想通過這個(gè)可解空間求出符合狹義相對(duì)論的解，就必須將虛數(shù)從四維時(shí)空的時(shí)空距離的定義中排除出去。為了達(dá)到上述目的，我們應(yīng)當(dāng)對(duì)閔可夫斯基空間的數(shù)學(xué)表達(dá)式做出以下修改：

顯然，這個(gè)經(jīng)過修改的數(shù)學(xué)表達(dá)式消除了閔可夫斯基空間的所有理論缺陷。它不僅可以將閔可夫斯基空間從不可解空間轉(zhuǎn)變成為可解空間，而且可以通過這個(gè)可解空間求出符合狹義相對(duì)論的解。

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