估計(jì)內(nèi)容檢測(cè)題命制：過(guò)程、情境、推理

□楊熠

計(jì)算估計(jì)（估算）、數(shù)量估計(jì)（估數(shù)）和測(cè)量估計(jì)（估測(cè)）是小學(xué)數(shù)學(xué)估計(jì)的三種主要類(lèi)型，在實(shí)際應(yīng)用中三者往往融合在一起。目前絕大多數(shù)估計(jì)內(nèi)容檢測(cè)題以得出一個(gè)大致范圍內(nèi)的答案為主要方式和判斷依據(jù)，難以從中看出學(xué)生估計(jì)的方法、能力和素養(yǎng)。因此，思考改進(jìn)估計(jì)內(nèi)容檢測(cè)題的命制，強(qiáng)調(diào)過(guò)程視角、賦予真實(shí)情境、結(jié)合邏輯推理，能更好地考查學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)估計(jì)時(shí)的思考過(guò)程、估計(jì)能力、綜合素養(yǎng)。評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)摒棄以答案是否正確作為唯一評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的做法，更科學(xué)地分析學(xué)生的估計(jì)能力，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在估計(jì)活動(dòng)中存在的問(wèn)題，進(jìn)而改進(jìn)估計(jì)內(nèi)容課堂教學(xué)、優(yōu)化學(xué)教方式，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)。

一、過(guò)程視角，考查方法能力

不同于數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的檢測(cè)題，估計(jì)內(nèi)容的結(jié)果有一定范圍誤差，評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)難以統(tǒng)一。如某次測(cè)試中有這樣一道題目：“估一估你拳頭的體積約是（ ）。”雖然有實(shí)實(shí)在在的拳頭可供觀察，但學(xué)生的回答仍出現(xiàn)很多離譜的答案。更讓教師感到頭痛的是，這種檢測(cè)不容易從答案里發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思考過(guò)程，難以真正檢測(cè)出學(xué)生對(duì)估計(jì)方法的掌握程度。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：評(píng)價(jià)的主要目的是全面了解學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué)。因此，數(shù)學(xué)估計(jì)內(nèi)容的檢測(cè)要把學(xué)生的解答結(jié)果和思考過(guò)程結(jié)合起來(lái)，以便全面、準(zhǔn)確地了解學(xué)生的想法，判斷學(xué)生在估計(jì)能力上的差異。

如前文提到的估測(cè)拳頭體積，可以通過(guò)“改造”讓它能夠更好地展現(xiàn)出學(xué)生的思維過(guò)程。

【例1】握緊你的拳頭（見(jiàn)圖1），看看你拳頭的形狀近似于一個(gè)（ ）（填圖形名稱(chēng)），測(cè)出計(jì)算要用的數(shù)據(jù)是（ ），通過(guò)計(jì)算，估計(jì)自己拳頭的體積約是（ ）。

圖1

改造后的題目，不再是檢測(cè)一個(gè)單一的結(jié)果，更能體現(xiàn)考查學(xué)生利用轉(zhuǎn)化方法估測(cè)圖形體積的能力。題目中的示意圖可以幫助學(xué)生明確所要估計(jì)的“拳頭”的范圍，幾個(gè)空格展現(xiàn)了學(xué)生的思考過(guò)程，這種過(guò)程性考查的形式，可以減少學(xué)生估計(jì)的盲目性。

同時(shí)，此題的評(píng)分也摒除標(biāo)準(zhǔn)答案思維，從以下維度進(jìn)行賦分。

（1）圖形合理。學(xué)生可以把自己的拳頭估成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體或橫截面是梯形的直柱體等。

（2）數(shù)據(jù)測(cè)量合理。測(cè)量出的數(shù)據(jù)不必太精確，要合理且便于計(jì)算。

（3）答案合理。

這種連續(xù)填空式的題目?jī)?nèi)容指向明確，可以引導(dǎo)學(xué)生遵從正確的估計(jì)思路，有效反映學(xué)生的估計(jì)能力。類(lèi)似的還有“估計(jì)你整個(gè)手掌的面積”等檢測(cè)題內(nèi)容，這些內(nèi)容都可以幫助師生在教學(xué)中樹(shù)立“標(biāo)準(zhǔn)形狀”意識(shí)，要求學(xué)生把非規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，以算助估，明確估計(jì)的目的。

估測(cè)檢測(cè)題可以要求學(xué)生描述自己的解答過(guò)程，以了解其解題思路。如以下這道題。

【例2】1248+3495的和大概在下圖中的哪個(gè)點(diǎn)上（見(jiàn)圖2）？請(qǐng)說(shuō)出你的理由。

圖2

該題同時(shí)考查學(xué)生估算、估數(shù)、估測(cè)的能力。解答時(shí)先估算，如果都四舍五入到千位，和就約等于4000，誤差偏大；精確計(jì)算和四舍五入到十位都比較麻煩，只有四舍五入到百位，和約是4700，誤差較小且比較方便。再估數(shù)，發(fā)現(xiàn)4700大于4500，更靠近5000。最后估測(cè)，發(fā)現(xiàn)B點(diǎn)大約處于中間位置，D點(diǎn)和5000過(guò)于接近，只有C點(diǎn)約位于4000到5000的約十分之七處，所以選C。通過(guò)對(duì)學(xué)生答題理由的分析，可以“看到”學(xué)生的思考過(guò)程，了解學(xué)生思維的障礙點(diǎn)，知道學(xué)生在哪方面存在不足。

評(píng)分時(shí)除了看答案是否正確，還可以從“估算方法是否恰當(dāng)”“分析是否合理”等角度進(jìn)行評(píng)判。

采取填空、描述等方式呈現(xiàn)學(xué)生的思路，重視對(duì)問(wèn)題解決的過(guò)程性考查，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考問(wèn)題的方向、解決問(wèn)題的思路和估計(jì)方法的選擇，有利于教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行全面判斷，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，改進(jìn)教學(xué)。

二、真實(shí)情境，產(chǎn)生估計(jì)需求

形成自覺(jué)的估計(jì)意識(shí)，是估計(jì)教學(xué)的難點(diǎn)。在精確的數(shù)學(xué)活動(dòng)占主流的情況下，如果能用精確的計(jì)算（數(shù)數(shù)、測(cè)量）解決問(wèn)題，學(xué)生就不會(huì)主動(dòng)運(yùn)用估計(jì)的方法。因此，估計(jì)檢測(cè)題的命制要?jiǎng)?chuàng)建真實(shí)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中自覺(jué)產(chǎn)生估計(jì)需求，從中考查學(xué)生在具體環(huán)境中調(diào)用知識(shí)儲(chǔ)備解決問(wèn)題的能力，檢測(cè)學(xué)生估計(jì)能力的高低。

如估算23.6×9≈（ ），學(xué)生往往只是被動(dòng)解答，甚至在精算出結(jié)果以后，再“調(diào)整”為一個(gè)看起來(lái)合理的估算結(jié)果。如果把數(shù)據(jù)代入情境，效果就會(huì)大不相同。

【例3】《三國(guó)演義》里說(shuō)關(guān)羽身高九尺?，F(xiàn)代的1米等于3尺，但在漢代，根據(jù)東漢漢桓帝永康元年時(shí)期出土的一把骨尺推算，1尺≈23.6厘米。著名籃球運(yùn)動(dòng)員姚明的身高是226cm。關(guān)羽和姚明誰(shuí)的身高更高？請(qǐng)說(shuō)明你的理由。

本題重點(diǎn)考查學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中的估算能力。情境提升了題目?jī)?nèi)涵，學(xué)生不僅要估算，更要思考解決問(wèn)題的策略，解題過(guò)程中還增長(zhǎng)了知識(shí)，受到了文化熏陶。對(duì)這道題進(jìn)行評(píng)分時(shí)既要看最后結(jié)果，也要看學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行靈活估算的意識(shí)和能力。

再如估計(jì)物體數(shù)量。

【例4】書(shū)架上大約有幾本書(shū)（見(jiàn)圖3）？我是這樣估的：先數(shù)出一層大約有（ ）本書(shū)，這個(gè)書(shū)架一共有（ ）層，所以，這個(gè)書(shū)架上一共大約有（ ）本書(shū)。

圖3

本題考查學(xué)生估數(shù)和估算的能力。情境中的書(shū)架上有整齊但左右大小不同的格子，擺放著略有些雜亂的書(shū)籍，書(shū)的厚薄不一，有些層中書(shū)與書(shū)之間還有空隙，全部數(shù)完難度較大，促使學(xué)生自覺(jué)產(chǎn)生估數(shù)的意識(shí)。學(xué)生需要掌握估數(shù)的方法，解答時(shí)通過(guò)數(shù)出一層內(nèi)書(shū)的數(shù)量，推測(cè)整個(gè)書(shū)架中書(shū)的數(shù)量。由于每一層的總本數(shù)基本上比較接近，大約都是40本左右，故無(wú)論數(shù)哪一層，都可以推算出一共有200本左右書(shū)。

設(shè)計(jì)真實(shí)、貼近學(xué)生生活的問(wèn)題情境，能避免學(xué)生采用機(jī)械遷移的學(xué)習(xí)方式，檢測(cè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)，改變教學(xué)中的應(yīng)試現(xiàn)象，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，促使教學(xué)回歸教育初心，實(shí)現(xiàn)真正有價(jià)值的教和有意義的學(xué)。

三、結(jié)合推理，體現(xiàn)綜合素養(yǎng)

估計(jì)不是主觀臆想，而是一種高層次的認(rèn)知加工過(guò)程，是以事實(shí)、數(shù)據(jù)和已經(jīng)得到證實(shí)的知識(shí)作為依據(jù)的推理和思考，要經(jīng)歷較復(fù)雜的思維過(guò)程。估計(jì)的核心是策略的熟練運(yùn)用，學(xué)生估計(jì)能力的高低反映了學(xué)生的思維狀況和能力差異。因此，估測(cè)題的設(shè)計(jì)要突出推理因素，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系生活、運(yùn)用知識(shí)和數(shù)據(jù)有根據(jù)地思考問(wèn)題的估計(jì)能力，形成跨領(lǐng)域的綜合素養(yǎng)。

以長(zhǎng)度估計(jì)為例，要求學(xué)生完成“根據(jù)左邊線(xiàn)段的長(zhǎng)度，推斷右邊線(xiàn)段有多長(zhǎng)”這樣的題（見(jiàn)圖4），雖然也有推理的成分，但更多的還是考查基礎(chǔ)估測(cè)能力——參照物法的應(yīng)用。如果改成例5、例6的形式，則更具現(xiàn)實(shí)意義和挑戰(zhàn)性。

圖4

【例5】如圖5，小明身高120cm，長(zhǎng)頸鹿的身高約是（ ）m。我是這樣想的：（ ）。（改編自人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第7頁(yè)例8）

圖5

本題把估測(cè)和估算結(jié)合在一起。先考查學(xué)生對(duì)估測(cè)方法“參照物”法的掌握程度，學(xué)生可以通過(guò)尺子量或手指比畫(huà)等方式以小估大，推測(cè)長(zhǎng)頸鹿身高約是小明身高的4倍，推算出長(zhǎng)頸鹿身高約是480cm。再對(duì)結(jié)果進(jìn)行估計(jì)，480cm≈500cm＝5m。圖形提供了解決問(wèn)題的思路，但學(xué)生仍要結(jié)合實(shí)際進(jìn)行合情推理才能得出正確結(jié)果。

【例6】如圖6，下面每個(gè)盒子里都有兩根小棒，把其中的一根小棒用剪刀剪成兩段，想與另一根小棒圍成一個(gè)三角形。下面的剪法中能?chē)扇切蔚氖牵?），請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由。

圖6

本題綜合考查學(xué)生基于三角形三邊關(guān)系的估計(jì)能力。解答本題需要學(xué)生具有扎實(shí)的“三角形三邊關(guān)系”基礎(chǔ)知識(shí)，以及較強(qiáng)的邏輯推理能力。由于圖中線(xiàn)段沒(méi)有標(biāo)出具體數(shù)據(jù)，學(xué)生先要根據(jù)“兩邊之和要大于第三邊”，判斷出A和D不符合條件。再看圖C第一根小棒剪下的部分（左邊）和第二根小棒相加之和不會(huì)大于第一根小棒剩下的部分（右邊），也不符合要求。而B(niǎo)中任意兩段之和都會(huì)大于另一根小棒，所以選B。評(píng)分從答案是否正確、基礎(chǔ)知識(shí)是否扎實(shí)、思路是否清晰、方法是否合理等方面進(jìn)行。

融入推理因素的檢測(cè)題，可以進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升，促使教學(xué)更多地關(guān)注核心素養(yǎng)的落實(shí)、學(xué)生綜合能力的提升。

從過(guò)程、情境、推理三個(gè)角度思考估計(jì)檢測(cè)題的命制，能減少學(xué)生機(jī)械記憶、思路單一的應(yīng)試套路，把結(jié)果導(dǎo)向和過(guò)程導(dǎo)向相結(jié)合，變單一知識(shí)檢測(cè)為綜合應(yīng)用能力檢測(cè)，促使學(xué)生從被動(dòng)應(yīng)試轉(zhuǎn)為主動(dòng)應(yīng)用。評(píng)價(jià)時(shí)構(gòu)建多維度評(píng)分框架，不以答案是否接近標(biāo)準(zhǔn)為唯一依據(jù)，可以更多關(guān)注學(xué)生的思考過(guò)程、能力層次、估測(cè)策略，以及在知識(shí)與技能之外的思維水平。這樣的試題命制，可以改變師生對(duì)估計(jì)內(nèi)容檢測(cè)題價(jià)值的認(rèn)知，有效倒逼教學(xué)改進(jìn)，推動(dòng)估計(jì)相關(guān)內(nèi)容教學(xué)的發(fā)展。