凸顯轉(zhuǎn)化，促進(jìn)算理理解與算法掌握
——“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”教學(xué)實(shí)踐與思考

□吳玉蘭

基于學(xué)習(xí)路徑分析，“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”是“小數(shù)單元”核心課時(shí)中的最后一課時(shí)。從對(duì)學(xué)生的前期調(diào)查中可見，會(huì)用豎式計(jì)算“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”并能解釋算理的學(xué)生占比很少?？梢?，“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”是本單元學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

在本單元前兩節(jié)課“小數(shù)除法”活動(dòng)課以及“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了計(jì)數(shù)單位細(xì)分的活動(dòng)過程，并能在橫式、豎式的聯(lián)結(jié)中理解了“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的算理，掌握了豎式算法。這為本節(jié)課的算理理解與算法掌握奠定了良好的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課可以繼續(xù)以“元、角、分”為模型，以問題解決多樣化為載體，凸顯轉(zhuǎn)化的必要性與可能性，在轉(zhuǎn)化的背景下理解“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”的算理，并抽象出相應(yīng)的豎式計(jì)算方法。

【教學(xué)過程】

（一）情境引入，提出問題

師：月底到了，笑笑和淘氣分別收到了移動(dòng)公司的一條短信（如圖1）。你們覺得誰打電話的時(shí)間長(zhǎng)一些？

圖1

生：我覺得淘氣打電話的時(shí)間長(zhǎng)，因?yàn)樗耐ㄔ捹M(fèi)比笑笑多很多。

生：我覺得不一定，淘氣雖然通話費(fèi)多，但他每一分鐘的錢也比笑笑多很多。

師：到底誰打電話的時(shí)間長(zhǎng)呢？接下來我們一起來解決。

（評(píng)析：本單元的前兩節(jié)核心課，都創(chuàng)設(shè)了分錢的情境，借助人民幣的轉(zhuǎn)化來解釋說理。因此，本課仍創(chuàng)設(shè)與人民幣相關(guān)的實(shí)際情境，為學(xué)生的解釋說理創(chuàng)設(shè)條件。）

（二）理解算理，探究算法

教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)一：國(guó)內(nèi)長(zhǎng)途每分鐘0.3元，笑笑付了5.1元通話費(fèi)。求笑笑打電話的時(shí)長(zhǎng)。

1.自主探究，解決問題

教師出示活動(dòng)要求：想一想，可以怎樣算？寫一寫你的方法（有幾種寫幾種）。

學(xué)生獨(dú)立思考解決問題。

2.分享交流，體會(huì)轉(zhuǎn)化

（1）同桌交流：向同桌介紹你的方法，想一想不同的方法之間有沒有相同的地方。

（2）全班交流：誰愿意與大家來分享你的方法？

生：把元化成角，5.1元=51角，0.3元=3角，51÷3=17（分）。

師：還有誰也用了這樣的方法？你為什么要把元轉(zhuǎn)化成角？

生：因?yàn)橛迷鲉挝挥?jì)算時(shí)是小數(shù)除以小數(shù)，不會(huì)算；用角作單位就變成了整數(shù)除以整數(shù)，很好算。

師：簡(jiǎn)單的一步單位換算，就把不會(huì)的轉(zhuǎn)化為會(huì)的，這種方法真好！有不一樣的方法嗎？

生：我是用商不變性質(zhì)來想的。根據(jù)商不變性質(zhì)，把5.1和0.3同時(shí)乘10，5.1÷0.3=（5.1×10）÷（0.3×10）=51÷3=17（分），這樣也能得到笑笑打了17分鐘電話。

師：為什么要把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘10，而不是乘2或者乘3？

生：因?yàn)橥瑫r(shí)乘10后就能把小數(shù)除法變成整數(shù)除法。

師：觀察這兩種方法，有沒有相同的地方？

生：都把除數(shù)是小數(shù)的除法變成了除數(shù)是整數(shù)的除法。

生：都把不會(huì)的變成會(huì)的。

師：是的，無論是單位換算，還是用商不變性質(zhì)，都是把沒有學(xué)過的“除數(shù)是小數(shù)的除法”轉(zhuǎn)化成“除數(shù)是整數(shù)的除法”，用舊知識(shí)解決了新問題。

3.詮釋轉(zhuǎn)化，理解算理

（1）數(shù)形結(jié)合，探究豎式算法。

生：老師，我有個(gè)問題，小數(shù)除以小數(shù)能列豎式計(jì)算嗎？

師：這是個(gè)很好的問題。小數(shù)除以小數(shù)，能不能列豎式計(jì)算呢？能的話豎式又該怎么列呢？我們一起來試一試。

教師出示活動(dòng)要求：列豎式計(jì)算5.1÷0.3，想一想，為什么這樣列？可以在圖（如圖2）中圈一圈來說明。

圖2

（2）詮釋轉(zhuǎn)化，理解豎式算理。

教師展示三幅學(xué)生作品（如圖3），提問：有什么想問的嗎？

圖3

生：我們是要算5.1÷0.3，但豎式①是在算51÷3，這樣可以嗎？

師：豎式①的主人能解釋嗎？

生：我覺得可以看這張圖（如圖4）。我們可以把5.1看成51個(gè)0.1，把0.3看成3個(gè)0.1，5.1÷0.3就是把3個(gè)0.1看成一份，算一算51個(gè)0.1里有這樣的幾份，所以也可以用51÷3來計(jì)算。而且我去圈過了，結(jié)果和51÷3豎式的得數(shù)是一樣的。

圖4

師：原來他是從小數(shù)的意義出發(fā)，把5.1和0.3轉(zhuǎn)化成了51個(gè)0.1和3個(gè)0.1來想。這樣列豎式可以嗎？

生：可以，但我覺得如果加一步5.1÷0.3=51÷3，再列這樣的豎式會(huì)更好。這樣我們就能知道為什么列這個(gè)豎式了。

生：我想問問豎式②的主人，為什么小數(shù)點(diǎn)上要畫個(gè)“×”？

生：我其實(shí)也想把5.1÷0.3變成51÷3。畫個(gè)“×”就表示原來的小數(shù)點(diǎn)不要了，變成了51÷3，再用除數(shù)是整數(shù)的方法來計(jì)算。

師：原來你想讓我們更清楚地看出算式轉(zhuǎn)化的過程。能具體說說每一步分別表示什么嗎？

生：我們也可以結(jié)合圖（如圖5）來看，把5.1去掉小數(shù)點(diǎn)，看成51個(gè)0.1；把0.3去掉小數(shù)點(diǎn)，看成3個(gè)0.1。先拿出30個(gè)0.1，每3個(gè)0.1為一份圈一圈，正好可以圈成10份，所以豎式的十位上寫1；剩下的21個(gè)0.1再按每3個(gè)0.1為一份圈一圈，可以圈這樣的7份，所以豎式的個(gè)位上寫7，合起來就是17個(gè)0.1。

圖5

師：你能借助圖來解釋豎式每一步的意義，真好！

生：我覺得豎式③不大對(duì)，因?yàn)槲覀冇?jì)算整數(shù)除法時(shí)，要一位一位往下除。他這樣列豎式不是一位一位除的，如果被除數(shù)和除數(shù)大一點(diǎn)，計(jì)算復(fù)雜一點(diǎn)，這樣列豎式就有可能算不出結(jié)果。

（其他同學(xué)紛紛點(diǎn)頭表示同意）

師：你們真會(huì)思考，對(duì)每一個(gè)豎式都提出了自己的看法。現(xiàn)在你覺得哪一個(gè)豎式能更清楚地看出我們的思考過程？

生：豎式②，可以清楚地看出把5.1÷0.3變成51÷3。

（3）對(duì)比思考，揭示轉(zhuǎn)化本質(zhì)。

師：剛才我們用橫式、圖、豎式解決了笑笑打電話的時(shí)長(zhǎng)問題?，F(xiàn)在請(qǐng)你觀察這些方法，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們其實(shí)都是把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘10，轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。

生：同時(shí)乘10后就把幾個(gè)1變成了幾個(gè)0.1，這樣就把小數(shù)除法變成了整數(shù)除法，再按照除數(shù)是整數(shù)的除法去計(jì)算就行了。

師：如果變成幾個(gè)0.1，除數(shù)還不是整數(shù)呢？比如，除數(shù)是0.03。

生：那就變成幾個(gè)0.01。

師：原來我們把1、0.1這樣的計(jì)數(shù)單位分出更小的計(jì)數(shù)單位，就能把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法了。

（評(píng)析：除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法豎式記錄的關(guān)鍵在于體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，其實(shí)質(zhì)是被除數(shù)和除數(shù)同步轉(zhuǎn)化后的計(jì)數(shù)單位細(xì)分。因此在本環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法解決問題，并通過將單位進(jìn)行轉(zhuǎn)換，利用商不變性質(zhì)分析題目，以及借助直觀圖與豎式進(jìn)行溝通聯(lián)系等方式，促進(jìn)學(xué)生理解被除數(shù)與除數(shù)的同步轉(zhuǎn)化，理解算理，建構(gòu)豎式的意義。）

（三）練習(xí)鞏固，拓展提升

教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)二：國(guó)際長(zhǎng)途每分鐘7.2元，淘氣付了54元通話費(fèi)。求淘氣打電話的時(shí)長(zhǎng)。

1.提出任務(wù)，嘗試解決

師：解答了笑笑的打電話時(shí)長(zhǎng)問題，我們?cè)賮韼吞詺馑阋凰闼蛄藥追昼姷碾娫挕?/p>

教師出示活動(dòng)要求：①列豎式計(jì)算淘氣的打電話時(shí)長(zhǎng)；②用其他方法驗(yàn)算；③和同桌說一說為什么可以這樣算。

2.方法分享，判斷說理

教師展示兩位學(xué)生的方法（如圖6）：你支持誰？理由是什么？

圖6

生：我同意方法②。如果把7.2元看成72角，54元應(yīng)該看成540角，那么54÷7.2應(yīng)該轉(zhuǎn)化成540÷72。方法②是對(duì)的，方法①變成了54÷72，所以是錯(cuò)的。

師：他結(jié)合實(shí)際情境，把元轉(zhuǎn)化成角來解釋說理，真好！有不同的想法嗎？

生：我是把7.2看成72個(gè)0.1，54應(yīng)該變成540個(gè)0.1，所以方法②中的豎式才是對(duì)的。如果淘氣只打了0.75分鐘，連1分鐘都沒到，話費(fèi)應(yīng)該連7.2元都沒到，怎么可能會(huì)有54元話費(fèi)呢？

生：我還用乘法算過了，7.5×7.2=54，所以方法②是對(duì)的。

師：你們用不同的方法，說明了方法②的豎式列對(duì)了，結(jié)果也算對(duì)了，那他的計(jì)算過程看得懂嗎？

生：我們可以這樣想，把72個(gè)1角看成1份，540角里可以先分出這樣的7份，個(gè)位上寫7；還剩36個(gè)1角，正好是72角的一半，也就是有這樣的0.5份，所以在十分位上寫5，所以最后結(jié)果是7.5。

生：我是用整數(shù)除法來想的。我們用商不變性質(zhì)把54÷7.2變成了540÷72，540里有7個(gè)72，個(gè)位上寫7，分后還剩36，把36再看成360個(gè)0.1，除以72后就能得到5個(gè)0.1，所以最后結(jié)果是7.5。

師：你們不僅能算，還能解釋豎式中每一步的意義，真了不起。

（評(píng)析：計(jì)算54÷7.2與5.1÷0.3的難度是不一樣的，后者只需進(jìn)行被除數(shù)和除數(shù)的同步轉(zhuǎn)化，再按照整數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算即可，而前者不但需要進(jìn)行被除數(shù)和除數(shù)的同步轉(zhuǎn)化，還需要進(jìn)行兩次補(bǔ)0擴(kuò)充數(shù)位。在第一節(jié)“小數(shù)除法”活動(dòng)課和第二節(jié)“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于在被除數(shù)后面補(bǔ)0擴(kuò)充數(shù)位、細(xì)化計(jì)數(shù)單位的做法已有了一定的經(jīng)驗(yàn)積累，因此在本環(huán)節(jié)中，放手讓學(xué)生去嘗試，在正誤豎式記錄的對(duì)比辨析中再次理解被除數(shù)與除數(shù)的同步轉(zhuǎn)化，夯實(shí)對(duì)計(jì)數(shù)單位細(xì)分的理解，溝通小數(shù)除法豎式之間的聯(lián)系，明晰算理。）

【教學(xué)思考】

（一）溝通聯(lián)系中體悟轉(zhuǎn)化，明晰算理

依據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的觀點(diǎn)，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組或擴(kuò)展是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過程?！皽贤?lián)系”可以是認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)更新的一個(gè)策略。本課經(jīng)歷三次溝通：將“借助生活情境解釋”與“利用商不變性質(zhì)解決問題”進(jìn)行溝通，尋找相同之處，凸顯轉(zhuǎn)化思想；結(jié)合直觀圖理解豎式記錄每一步的意義，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度理解被除數(shù)和除數(shù)同步轉(zhuǎn)化的過程；將橫式表征、直觀圖表征與豎式記錄進(jìn)行溝通并建立聯(lián)系，理解轉(zhuǎn)化，揭示轉(zhuǎn)化的本質(zhì)——細(xì)化計(jì)數(shù)單位。在這三次溝通中，建立了“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”與“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”之間的聯(lián)系，促進(jìn)了認(rèn)知的同化和順應(yīng)，溝通了小數(shù)除法的算理本質(zhì)，完善了“小數(shù)除法”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）解釋說理中理解意義，發(fā)展思維

計(jì)算的本質(zhì)是推理，計(jì)算的過程也是邏輯推理的過程。因此，本課的教學(xué)，多次通過“你是怎么想的？”“為什么可以這樣列？”“理由是什么？”這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解釋說理，理解算法的意義所在。這樣的過程也讓學(xué)生經(jīng)歷了邏輯推理的過程，將計(jì)算與思考進(jìn)一步統(tǒng)一，對(duì)逐步提高兒童的思維水平應(yīng)當(dāng)有所裨益。