基于學(xué)習(xí)路徑分析的“小數(shù)除法”單元整體教學(xué)
——以算理理解促進(jìn)豎式意義建構(gòu)

□程紅霞 章勤瓊

“小數(shù)除法”是小學(xué)階段“數(shù)的運(yùn)算”的重要內(nèi)容，其本質(zhì)是將逐步平分不同數(shù)位上計(jì)數(shù)單位總數(shù)的過(guò)程從整數(shù)部分?jǐn)U展到小數(shù)部分。在實(shí)際教學(xué)中，有些教師比較注重從整數(shù)除法遷移到小數(shù)除法，再討論小數(shù)點(diǎn)的處理問(wèn)題，對(duì)于計(jì)數(shù)單位細(xì)分的算理卻一帶而過(guò)。這樣的教學(xué)不利于學(xué)生理解小數(shù)除法的本質(zhì)，不利于提升學(xué)生的運(yùn)算能力。小數(shù)除法的教學(xué)應(yīng)關(guān)注哪些本質(zhì)與內(nèi)涵？設(shè)計(jì)怎樣的學(xué)習(xí)任務(wù)才能幫助學(xué)生更好地理解小數(shù)除法的本質(zhì)？教師可以嘗試從基于學(xué)習(xí)路徑分析的單元整體教學(xué)的視角去思考小數(shù)除法的學(xué)習(xí)。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元內(nèi)容概述

北師大版教材和人教版教材都將“小數(shù)除法”單元設(shè)置在五年級(jí)上冊(cè)，它們的教學(xué)目標(biāo)定位如下。

北師大版：結(jié)合情境或模型，經(jīng)歷探索算法的過(guò)程，理解小數(shù)除法算理；能解決簡(jiǎn)單的小數(shù)除法實(shí)際問(wèn)題；能正確計(jì)算小數(shù)除法和小數(shù)四則混合運(yùn)算（以?xún)刹綖橹?，不超過(guò)三步），并掌握、了解一些與小數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，如估算判斷小數(shù)乘（除）法結(jié)果的合理性，發(fā)展估算意識(shí)，求積（商）的近似值，了解循環(huán)小數(shù)。

人教版：掌握小數(shù)除法的計(jì)算方法，能正確計(jì)算；掌握一些與小數(shù)除法相關(guān)的內(nèi)容，如會(huì)用“四舍五入法”“進(jìn)一法”“去尾法”得到商的近似值，認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限小數(shù)；能用計(jì)算器探索計(jì)算規(guī)律，能應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行一些小數(shù)乘除法的計(jì)算；會(huì)解決小數(shù)除法的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

對(duì)比兩個(gè)版本的學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以看到都涵蓋了以下內(nèi)容：理解小數(shù)除法算理，掌握豎式計(jì)算；掌握一些與小數(shù)除法相關(guān)的內(nèi)容；會(huì)解決簡(jiǎn)單的小數(shù)除法實(shí)際問(wèn)題。

（二）單元核心目標(biāo)

本單元核心目標(biāo)是理解小數(shù)除法算理并掌握豎式計(jì)算方法。

首先，理解小數(shù)除法算理與掌握豎式計(jì)算是單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，掌握了該內(nèi)容才能進(jìn)行后面的學(xué)習(xí)與研究。

其次，算理理解與算法掌握是運(yùn)算能力的一體兩翼，兩者相輔相成，不可偏廢。在算理理解方面，小數(shù)除法的算理與整數(shù)除法的算理相比既有一致性又有差異性，而差異性就是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)；在算法掌握方面，不能簡(jiǎn)單地將豎式計(jì)算僅僅看作一種標(biāo)準(zhǔn)算法，而應(yīng)該溝通平分模型、橫式算理、豎式記錄三者之間的聯(lián)系，使豎式的學(xué)習(xí)成為一座通向關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)的“橋梁”，凸顯豎式的作用與價(jià)值。

（三）核心目標(biāo)具體化

核心目標(biāo)分為兩個(gè)方面：算理理解和算法掌握。前者為后者奠基，兩者具有高度的關(guān)聯(lián)性。

1.借助現(xiàn)實(shí)情境和生活模型理解算理

有鑒于小數(shù)除法算理理解的抽象性，本單元的學(xué)習(xí)要先借助現(xiàn)實(shí)情境和生活模型，從直觀(guān)和具象中進(jìn)入學(xué)習(xí)，再抽象出一般化的小數(shù)除法計(jì)算方法。所以，算理理解的內(nèi)涵具體為：在小數(shù)除法運(yùn)算中，借助現(xiàn)實(shí)情境中的“元、角、分”“米、分米、厘米”等進(jìn)率是10的單位換算來(lái)揭示算理，使學(xué)生能結(jié)合具體的操作活動(dòng)理解計(jì)算過(guò)程，為算法抽象打下基礎(chǔ)。

2.在理解與聯(lián)系的視野下建構(gòu)豎式記錄的意義

在豎式計(jì)算的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要突破幾個(gè)理解難點(diǎn)才能有效實(shí)現(xiàn)豎式的意義建構(gòu)。

首先，要理解小數(shù)除以整數(shù)（被除數(shù)無(wú)須補(bǔ)0）豎式記錄的算理關(guān)鍵點(diǎn)：整數(shù)部分有余數(shù)時(shí)，可以將余數(shù)換算成十分位上的計(jì)數(shù)單位，并與十分位上原有的計(jì)數(shù)單位合并后再除。其實(shí)質(zhì)是計(jì)數(shù)單位細(xì)分從整數(shù)部分到小數(shù)部分的擴(kuò)充與延續(xù)。

其次，要理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法（被除數(shù)末尾需要補(bǔ)0）豎式記錄的算理關(guān)鍵點(diǎn)：小數(shù)（整數(shù)）除以整數(shù)時(shí)，有時(shí)會(huì)碰到被除數(shù)的位數(shù)不夠除的情況，需要先補(bǔ)0進(jìn)行數(shù)位擴(kuò)充，再將最后的余數(shù)換算成下一級(jí)的計(jì)數(shù)單位繼續(xù)往下除，其實(shí)質(zhì)仍是逐步細(xì)分計(jì)數(shù)單位。

最后，要理解除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法豎式記錄的關(guān)鍵在于體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，其實(shí)質(zhì)是被除數(shù)和除數(shù)同步轉(zhuǎn)化后的計(jì)數(shù)單位細(xì)分。

因此，小數(shù)除法豎式計(jì)算的內(nèi)涵具體為：借助實(shí)際情境和操作過(guò)程，理解小數(shù)除法就是在逐步細(xì)分計(jì)數(shù)單位，從整數(shù)部分的計(jì)數(shù)單位細(xì)分走向小數(shù)部分的計(jì)數(shù)單位細(xì)分；理解整數(shù)除法、小數(shù)除法豎式記錄的一致性，實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算的進(jìn)一步擴(kuò)充。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，我們對(duì)四年級(jí)兩個(gè)班96名學(xué)生的小數(shù)除法掌握水平進(jìn)行了前測(cè)?；诤诵哪繕?biāo)具體化的分析設(shè)計(jì)了相應(yīng)的評(píng)價(jià)任務(wù)，并結(jié)合學(xué)生的答題情況對(duì)其掌握水平進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析、層次劃分，設(shè)計(jì)了小數(shù)除法掌握水平表現(xiàn)性評(píng)價(jià)框架（如表1）。

前測(cè)題的任務(wù)設(shè)計(jì)、設(shè)計(jì)意圖如表2。

表2 小數(shù)除法掌握水平前測(cè)任務(wù)設(shè)計(jì)及設(shè)計(jì)意圖

前測(cè)題的答題情況能清楚地表明該學(xué)生處于哪個(gè)水平層次：無(wú)法答對(duì)任何題目的屬于水平0，有11人，約占比11.5%；只能答對(duì)任務(wù)一的屬于水平1，有59人，約占比61.5%；能答對(duì)任務(wù)一和任務(wù)二或任務(wù)三的屬于水平2，有18人，約占比18.8%。

處于水平1的學(xué)生基本能利用已有知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，他們遇到的困難較多體現(xiàn)在列豎式時(shí)，不能處理余數(shù)1的轉(zhuǎn)化，即不能理解整數(shù)部分有余數(shù)時(shí)余數(shù)與小數(shù)部分的數(shù)如何結(jié)合，如何繼續(xù)除。處于水平2的學(xué)生則沒(méi)有這樣的困擾。

處于水平3的學(xué)生能正確完成每道前測(cè)題的答題，在解答第②題時(shí)能體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想。這樣的學(xué)生有8人，約占比8.3%。

從前測(cè)數(shù)據(jù)分析可以看到：大部分學(xué)生處于水平1，即能用自己的方法解決有關(guān)小數(shù)除法的實(shí)際問(wèn)題，知道整數(shù)部分有余數(shù)后還可以繼續(xù)往下除，但不知道如何對(duì)該余數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理。因此，能夠利用已有知識(shí)解決實(shí)際情境中的小數(shù)除法問(wèn)題是學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，而理解小數(shù)除法算理并掌握算法是學(xué)生的學(xué)習(xí)重難點(diǎn)。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于以上分析，我們對(duì)本單元的學(xué)習(xí)路徑做了相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化。

首先，理解小數(shù)除法的算理本質(zhì)。借助“元、角、分”建立小數(shù)平分模型，讓學(xué)生在操作活動(dòng)中理解整數(shù)部分有余數(shù)時(shí)如何對(duì)余數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理。有了直觀(guān)模型與操作活動(dòng)的支持，后面的學(xué)習(xí)中學(xué)生能更好地建立豎式與模型的聯(lián)系，從而有效減輕認(rèn)知負(fù)荷。

其次，引導(dǎo)學(xué)生以算理理解促進(jìn)豎式意義建構(gòu)。結(jié)合操作活動(dòng)步驟，結(jié)合用橫式記錄的計(jì)算過(guò)程，讓學(xué)生理解豎式計(jì)算中每一步的意思，重點(diǎn)突破對(duì)整數(shù)部分有余數(shù)的轉(zhuǎn)化處理，以及被除數(shù)的數(shù)位不夠除時(shí)如何繼續(xù)進(jìn)行計(jì)數(shù)單位細(xì)分。

再次，引導(dǎo)學(xué)生理解除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法的算理并掌握豎式計(jì)算方法。借助單位換算，結(jié)合運(yùn)算定律，借用直觀(guān)圖等幫助學(xué)生理解被除數(shù)和除數(shù)的同步轉(zhuǎn)化，并逐步抽象出豎式計(jì)算的方法。

最后，引導(dǎo)學(xué)生在相關(guān)問(wèn)題研究中發(fā)展運(yùn)算能力，提高應(yīng)用小數(shù)除法解決問(wèn)題的能力。

四、單元整體教學(xué)思考及核心課時(shí)主要目標(biāo)

我們以北師大版教材為基礎(chǔ)，從單元整體的視角出發(fā)，對(duì)本單元的教學(xué)做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與改變，增加了一節(jié)活動(dòng)課，對(duì)“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的5道例題做了整合處理。調(diào)整后本單元的核心課有三節(jié)，其具體內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)如下。

第一節(jié)：基于算理理解的“小數(shù)除法”活動(dòng)課。目標(biāo)為：（1）創(chuàng)設(shè)分錢(qián)的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷換錢(qián)、分錢(qián)的過(guò)程。（2）理解活動(dòng)的每一個(gè)步驟，并能用算式記錄下來(lái)。（3）在活動(dòng)過(guò)程中體會(huì)“大的計(jì)數(shù)單位不夠分時(shí)可以換成小一級(jí)的計(jì)數(shù)單位繼續(xù)分”。

第二節(jié)：“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”。目標(biāo)為：（1）結(jié)合上節(jié)課的活動(dòng)，用豎式記錄分錢(qián)的過(guò)程。（2）結(jié)合分錢(qián)的直觀(guān)模型解釋豎式每一步的意義。（3）脫離情境，從小數(shù)的意義與組成出發(fā)，解釋每一步豎式所表達(dá)的意義。

第三節(jié)：“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”。目標(biāo)為：（1）會(huì)在具體情境中用自己的方法解決除數(shù)是小數(shù)的問(wèn)題。（2）能解釋除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算道理。（3）能正確進(jìn)行除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法豎式計(jì)算。

圍繞核心課時(shí)的任務(wù)設(shè)計(jì)展開(kāi)的具體課堂教學(xué)過(guò)程，詳見(jiàn)“本組話(huà)題”的后面三篇文章。