“速度”之難與教學改進

□湯牧文 郜舒竹

速度是小學階段“數(shù)與代數(shù)”部分出現(xiàn)頻率較高的數(shù)學概念，以人教版教材為例，從三年級上冊的“多位數(shù)乘一位數(shù)”到六年級下冊的“比例”，涉及速度概念的章節(jié)達14個，而后續(xù)初高中對于加速度、瞬時速度、平均速度、速率等概念的理解都依賴于學生在小學期間對速度概念形成的基礎。速度除其本身的知識屬性外，也是學生理解運動、對時空關系建立初步理性認識的開端。速度的學習涉及路程、時間、速度三者的關系，對學生的比例思維發(fā)展、后續(xù)的函數(shù)學習，以及關系模型的構建等均有奠基作用。然而，小學生對于速度概念的理解并非一蹴而就，通過對皮亞杰（Jean Piaget）等人有關兒童教育理論的研究可知，兒童速度概念的認知發(fā)展過程存在階段性[1]5、不均衡性[1]21、缺乏守恒性[2]等特征，影響兒童對速度概念的理解，因此速度概念的教學需要從學生的認知難點出發(fā)。

一、對速度概念的再認識

（一）速度、時間、空間和運動的內涵與關系

人教版小學數(shù)學教材對速度的界定是“每小時（或每分鐘等）行的路程”，物理學認為“速度是反映物體運動方向和位置變化快慢的物理量”，前者是發(fā)生式定義，包含了時間和路程兩個重要的要素；后者是描述性定義，反映了速度與運動的本質聯(lián)系。黑格爾（G.W.F.Hegel）認為“速度作為運動的量，是與流逝的特定時間成比例的空間”[3]59，因此從哲學的角度看，速度反映了時間和空間的關系。時間和空間是描述物體運動的兩個維度，二者互相依存，形成一個不可分割的整體[3]61?？臻g是指同時發(fā)生運動的物體的位置變化，小學階段學習的路程是忽略了方向的位移量。時間與空間在一起構成了表征物體運動的有序關系的總和。[4]2因此速度反映的是運動物體時、空這兩個不可分割的屬性之間的關系。

（二）速度中滲透的比例思維

小學階段接觸的比可以分為同類量的比和異類量的比。同類量的比包括倍數(shù)、分數(shù)等，具備無量綱性[5]，主要是對算法的學習和鞏固，而比例思想中更為深刻的是異類量的比。異類量的比是在度量的基礎之上發(fā)展而來的對不同類量關系的映射，是人在心智（mind）層面對兩個客觀廣延量（exten?sive quantity）之間存在關系的抽象概括，被稱為強度量（intensive quantity）[6]，是依賴于人的推理活動主觀生成的。其現(xiàn)實意義是為了反映一個事物的內在性質或優(yōu)劣程度[7]，如密度、濃度、壓強等。通過對影響事物本質的關鍵要素構建比例關系，可以形成判斷事物優(yōu)劣程度的度量指標。這樣根據(jù)兩種量之間的比例關系獲得判斷的過程是比例思維的重要表現(xiàn)形式，當比率固定時，比例反映了兩個關聯(lián)要素之間的協(xié)變關系，是函數(shù)思維在小學的初步滲透，其本質是研究變與不變關系的模型。速度反映的是運動物體的內在性質，通過空間和時間兩個維度的量的變化構建度量指標，二者為異類量，其比值反映了運動物體的快慢程度。

（三）速度蘊含的極限思想

14世紀40年代前后，人們開始意識到物體從一點到另外一點或從一個時刻到另外一個時刻的質的強度變化可能是均勻的，也可能是非均勻的，例如在勻加速運動中，物體在給定時間t內經(jīng)過的路程s等于用相同時間以平均速度走過的路程，平均速度就是初速度v0和末速度vt的算術平均值，即。14世紀，法國數(shù)學家奧雷姆（N.Oresme）基于以上認識提出了在勻加速運動中用水平直線表示時間，直線上的每一點代表一個時刻，每一個時刻對應一個速度，該速度用一條垂直于水平直線且經(jīng)過對應點的線段來代表，其長度是速度大小，時間的水平線和代表速度的線段所圍成的三角形的面積就是時間t內走過的路程，時間的中間量D是速度之半，即平均速度，三角形ABC的面積等于同樣以時間t為長，平均速度為寬的矩形ABGF的面積，而時間t1到時間t2走過的路程就是由t1和t2之間的水平線段與速度v1和v2所代表的線段共同構成的梯形的面積。試將[0,t]分成n個子區(qū)間，當n趨于無窮時，每兩個時間點之間的間隔（Δt=tktk-1）足夠小，如果水平線與兩條代表速度的線段所圍成的梯形的上底和下底的長度趨于相同，那么vk或vk-1都可以作為平均速度，再乘以Δt就會得到梯形Sk的面積的近似值，所有這樣的面積之和等于三角形的面積，也就是物體走的路程。[8]

圖1 奧雷姆的勻加速運動時間速度模型

隨后，奧雷姆不斷地力圖構建幾何與代數(shù)緊密聯(lián)系的范式，將水平方向所代表的數(shù)值大小看成經(jīng)度（longitudes），將垂直于水平方向的數(shù)值大小看成緯度（latitudes），構建了坐標系的模型，這樣看似孤立的速度、時間、路程都成為連續(xù)的變量，每一點的瞬時速度在極限的概念下趨于與這一點相鄰的兩個時間點所構成的時間段內的平均速度，且更加形象地詮釋了速度、路程和時間三者的關系，路程在解析幾何的范疇內以二維的面積表征與單維的速度和時間構成了相互依賴的關系，這樣的推論在非勻加速運動中同樣成立，從而突破了人們對于非勻速、非勻加速運動認識的局限。

（四）兒童對速度的認知階段

1.兒童對速度影響要素的認知階段

（1）依賴“超越”現(xiàn)象階段

皮亞杰在低齡兒童身上看到了對“超越”現(xiàn)象的順序直覺，這意味著低齡兒童已經(jīng)有了時間順序和空間順序，但此時他們并沒有形成有關時間的長短和所經(jīng)過的空間位移的衡量，所以兒童最早產(chǎn)生的速度概念并不依賴于路程或時間的概念，而是伴隨著次序出現(xiàn)的。[1]145在此階段，兒童能夠不依賴于路程的長短或時間的長短，而依賴于“超越”現(xiàn)象對速度的大小進行直覺判斷，主要關注兩個比較對象位置的先后順序，以停止點的先后順序判斷速度的大小，這個階段的兒童一般處于學齡前的階段。[9]

（2）距離概念得到發(fā)展的階段

該階段兒童對距離的概念開始逐漸發(fā)展起來。皮亞杰發(fā)現(xiàn)在這個階段，兒童能夠根據(jù)實驗中兩輛小車的起點和終點位置對距離大小進行判斷[1]221，有學者通過實驗發(fā)現(xiàn)7歲兒童對于距離的概念明顯優(yōu)于5歲兒童[10]，距離的概念先于時間的概念得到發(fā)展[4]293，此時兒童仍然有根據(jù)停止點判斷速度大小的傾向，但距離的概念已經(jīng)開始影響兒童對于速度的判斷，兒童有從“同則同”轉為“多則多”的理解轉向[11]，該階段持續(xù)時間一般從入學到三年級前。

（3）過渡階段

該階段兒童對于速度、時間、路程三者建立了正確的關系意識，能夠注意到時間、距離因素對速度大小的影響，例如能夠理解在相同時間的情況下路程與速度的關系，即“多則多”，能夠正確使用規(guī)則，但如果路程和時間同時發(fā)生變化，兒童對三者具體關系的闡述開始出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，如“更遠的距離—更少的時間”[12]，該階段持續(xù)時間為三年級到五年級。

（4）穩(wěn)定階段

該階段兒童能夠兼顧速度、時間、路程三者的關系，明確知道速度的大小受路程和時間兩個要素的影響，能夠對三者的變化規(guī)律進行推理，能夠比較路程和時間都不相同的兩個運動物體的速度大小關系，對速度大小變化的認識趨于穩(wěn)定狀態(tài)，該階段普遍被認為在五年級之后。[1]59

2.兒童對速度中的比例關系認知階段

（1）單一維度影響階段

該階段兒童在對比例關系變化進行判斷時往往只考慮單一維度所造成的影響，例如對速度大小進行判斷時只考慮距離或時間其中一個變量對速度大小的影響，且更傾向于選擇其中較引人注目的一個優(yōu)勢維度進行判斷，兒童對路程概念的發(fā)展先于時間概念的發(fā)展，故認為路程為優(yōu)勢維度更易影響兒童對速度變化的認識。

（2）從屬維度影響階段

該階段兒童對比例關系的變化開始脫離單一維度的判斷，此時相較于優(yōu)勢維度處于劣勢的從屬維度同樣成為兒童對比例關系的考量要素。西格勒認為，第二階段的觸發(fā)是源于主導維度的數(shù)值相同，無法通過比較進行判斷時兒童會開始考慮從屬維度，在路程模型中，兒童開始注意到除了路程會影響速度以外，時間也與速度的大小有一定的關系，當路程相同時，兒童開始思考通過時間的長短比較速度大小，認識到優(yōu)勢維度和從屬維度的大小變化都會影響比例關系的變化，對比例關系中“變與不變”這一對立關系中的“變”產(chǎn)生了相對穩(wěn)定的認識。

（3）恒定其一階段

該階段兒童開始認識到只要保持距離或時間中一個維度的量大小恒定，就可以通過另一個維度的量的大小對速度大小進行判斷，即掌握“相同時間比路程，相同路程比時間”的規(guī)則。兒童雖然能綜合考慮兩個維度，但必須建立在能找到相同變量的基礎上，如果遇到一方在優(yōu)勢維度上的值大，另一方在從屬維度上的值大，兒童就會再次產(chǎn)生困惑，無從判斷。另外，兒童對于正比例關系的理解要優(yōu)于反比例關系，即“相同時間比路程”對兒童來說更簡單，“相同路程比時間”對兒童來說更有挑戰(zhàn)性。

（4）綜合判斷階段

該階段兒童能較為深刻地理解距離和時間的比例關系，能在任何情況下綜合考慮兩個維度的量的大小變化對速度大小產(chǎn)生的影響，按科學的規(guī)則來解決問題。辯證地理解“變與不變”，認識到當速度不變時，路程與時間存在協(xié)變關系。

二、小學生速度概念發(fā)展的認知難點

認知難點需要依據(jù)學生學習及認知發(fā)展規(guī)律而確定，學生在對客觀事物進行主觀判斷時出現(xiàn)偏差，究其原因，一是與其自身原有經(jīng)驗相悖，二是與個體所接受的直觀表象相悖。從郜舒竹教授提出的“變教為學”[13]的觀點出發(fā)，教學難點應以學生的認知難點為依據(jù)，速度概念的教學應根據(jù)學生對速度概念的認知難點而設計。

（一）概念混淆

在行程問題中，常見的一種情況就是單位使用錯誤，學生在使用速度單位時并不理解速度單位的本質含義，常常把速度單位寫成路程單位。如學生在解決一道相遇問題時，題目中給出了甲、乙兩者的速度，學生將甲、乙的速度相加，在得到的答案后面寫了路程的單位（如圖2）。學生這樣做，可能是想表示甲走了一小時的路程加上乙走了一小時的路程。鑒于這位學生沒有表述“速度乘以時間”這一步驟，故更傾向于認為該學生是將甲、乙速度相加所得到的共同速度當成了路程或路程的一部分。這樣的解題過程看似單位使用錯誤，實則是對速度與路程兩者概念的混淆，對速度概念的不理解。

圖2 學生解決相遇問題出現(xiàn)的錯誤

速度本身代表的是路程與時間的比例關系，速度本身并不具備可直接測量的性質，需要通過路程和時間的比而得到，所以其單位反映的是“速度是度量兩種量關系”的特征，是由兩個不同類量度量單位的比構成的。速度本身既不是路程，也不是路程的一部分或是時間，它僅表示路程和時間的關系。對速度進行疊加需要建立在兒童理解甲、乙兩者在共同時間內走的路程的背景下方能進行，從速度作為強度量的本質而言，其主要體現(xiàn)的是乘法性質，將兩個強度量疊加的操作在大部分真實情境下不具備現(xiàn)實意義。

（二）數(shù)量關系建立紊亂

在解決行程問題時，學生常出現(xiàn)“用時間除以速度求路程”或“用路程乘以速度求時間”的情況，圖3中顯示學生將求得的速度除以時間得到路程，其問題在于學生對數(shù)量關系的理解出現(xiàn)紊亂，無法建構正確的路程模型，導致公式使用錯誤。

圖3 學生解決行程問題出現(xiàn)的錯誤

學生在解決行程問題時，對路程、時間、速度關系的認知停留在知二求一的理解水平[14]，即在題目中找出兩個已知量就可以求出一個未知量，卻并不明晰已知和未知之間關系的實質。路程、時間、速度三者間互為比例關系，時間一定時，路程與速度成正比，路程一定時，時間與速度成反比，速度一定時，路程與時間成正比。在行程問題中，僅將數(shù)量關系的建立視為知二求一的運算關系是不夠的，三者的實質是依賴與制約的協(xié)變關系，協(xié)變關系是學生認知的難點。

（三）認為平均速度等于速度的平均

六年級學生遇到求平均速度的問題時往往會產(chǎn)生錯誤，例如下面的案例。

甲、乙兩地相距1800千米，一架飛機以每分鐘9千米的速度從甲地飛往乙地，飛回時的速度是每分鐘7.2千米，飛機的平均速度是每分鐘多少千米？

許多學生列式：（9+7.2）÷2=8.1（千米），此時學生的認知難點有如下兩點：其一在于受到了前面學習的平均數(shù)知識的干擾；其二就是對所學概念本身的曲解。在小學階段，學生通過路程模型求出速度是物體在一定的空間和時間中運動的平均速度，而我們日常生活中常常使用的速度也是指在某一時間段內的平均速度，如“步行速度”“發(fā)展速度”等，但我們在表述時把“平均”二字省略了，故小學生并不理解我們所接觸的、計算的都是平均速度，而容易將速度理解為物體此時此刻的速度，這時學生將速度看作引起物體運動的“因”，因為有了速度，物體才發(fā)生位移，并保持一定時間的運動狀態(tài)。在這樣的觀念下，學生更傾向于認為速度本身的發(fā)展并不受路程和時間的制約，速度的大小變化影響了運動的距離和持續(xù)的時間，削弱了對于路程和時間兩個維度的心理地位，此時速度的大小在學生的認知里就是一個孤立存在的數(shù)值，平均速度不受路程與時間的制約，而只受速度本身的大小變化的影響，所以平均速度就像求平均數(shù)一樣，反映的是兩段路程的速度的平均，這樣的典型錯誤思路還反映在求“上山和下山的平均速度”“去程和返程的平均速度”等問題上。而實際上，從比例思維的角度看速度，更趨向于將平均速度理解為“果”，因為先有了運動的狀態(tài)，物體在時空兩個維度發(fā)生了量的變化，才有了表征這樣變化的需要。平均速度的問題實則反映了學生對速度的曲解，平均速度反映了兩段路程的整體速度水平，與其中任何一段的速度以及任何一時刻的速度無關。

三、基于認知難點對課程標準、教材和教法的分析

（一）課程標準

小學階段從三年級上冊開始出現(xiàn)有關速度的教學內容，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）中小學部分關于速度的教學目標闡述得相對較少，僅在“數(shù)與代數(shù)”第二學段的具體教學內容中提出“在具體情境中，了解常見的數(shù)量關系：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題”[15]，沒有明確提出對兒童速度概念學習的具體教學內容。但《課程標準》中卻明確提出認識時間單位（如對時、分、秒、年、月、日等概念的認識）和認識空間單位（如對米、分米、毫米等概念的認識）等，因此作為有一定認知難度的速度概念，《課程標準》中沒有對其概念掌握做出明確要求，容易造成教師和學生對于速度概念的輕視。

（二）小學教材

各個版本的小學數(shù)學教材中關于速度的呈現(xiàn)方式和編排順序都有差異，以人教版和北師大版為例，這兩個版本的教材均在四年級上冊引入了速度的概念。人教版教材在四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”后引入速度的概念，北師大版教材在四年級上冊“除法”的學習內容后引入速度的概念。兩個版本的教材均將“概念引入”部分放在算法學習之后，這樣安排的目的是對于所學習的算法，建立有實際意義的數(shù)量關系模型，進一步鞏固算法的習得成果。而對速度本身的內涵與價值無法通過算法的學習與鞏固而獲得，速度反映的是比例思維、關系思想、函數(shù)思想等重要內容，如果將其看成單純乘法或者除法運算，則顯得“大材小用”。

（三）教法

小學教師對于速度概念的教學一般是創(chuàng)設比賽的活動情境，在情境中要求學生“根據(jù)固定的時間比路程”“根據(jù)固定的路程比時間”，讓學生感受速度受到路程和時間兩個量大小變化的影響，再通過數(shù)值的代入驗證速度與時間、路程的關系。在這樣的教學情形下，教師趨近于將速度看成兩個數(shù)的比值，而不是兩個量的比值，其實質是變換了情境的除法教學或分數(shù)教學，忽視了速度作為異類量的比，反映了物質本質的屬性。在速度概念的教學中鮮有教師能注意到對速度的價值與意義、其本身蘊含的比例思維進行剖析。在引導學生認識速度受兩個維度的共同影響時，教師往往更注重模式化的機械記憶。筆者曾聽一位教師要求學生反復齊讀“相同時間路程越長速度越大，相同路程時間越長速度越小”，而非對其關系進行深入探究。在解決行程問題的時候，教師更趨向于教學生理解每個單位時間物體走的路程即速度，這樣的教學容易引導學生產(chǎn)生“速度是路程或路程的一部分”的錯誤認識，將速度與路程的關系理解為部分與整體的關系，給學生帶來不必要的思維干擾，甚至影響后續(xù)對于瞬時速度、加速度等知識概念的學習。

四、教學建議

（一）通過教學活動發(fā)展速度感

速度是客觀存在的，但人可以通過觀察物體的運動來獲得速度感（Speed Sense）。[16]皮亞杰的實驗回答了愛因斯坦“速度是先驗的還是后天習得”的問題，低齡兒童同樣具備對速度的感知，只是低齡兒童的感知更加依賴于直觀表象，例如通過“超越”現(xiàn)象來判斷物體運動速度的快慢，在判斷速度快慢時會考慮單一維度對速度造成的影響。此時學生的認知發(fā)展還停留在“眼見為實”的階段，選擇相信自己所看到的，而缺乏邏輯推理能力，對事物的判斷以自我為中心。而隨著學生對于速度概念的發(fā)展進階，他們對速度的感知從感覺（sensation）轉化為感受（feeling），從依賴直覺轉化為依靠推理的心智活動。對速度概念的教學就是不斷修正兒童對于速度的認識的過程，可以通過教學活動讓兒童發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗直覺并不可靠，如那些“多則多”“少則少”的想法，可以通過感受推理的過程發(fā)現(xiàn)依賴表象背后產(chǎn)生的誤區(qū)，這樣的過程是從依賴直觀的感性思維水平逐漸進階到以推理能力為內核的運算思維水平。

（二）“運算”與“關系”并行

皮亞杰認為比例圖式的增長在兒童對速度概念的發(fā)展中起著核心作用。[1]88在對速度概念的教學中，教師往往更加關注速度作為運算結果而存在，將速度教學視為算法教學，而忽視了速度反映的比的“關系”哲學。在學生發(fā)展比例思維的過程中，將比看作一種運算，窄化了比的內涵，比反映的是變化中不變的關系，是溝通兩個不同類型的廣延量的橋梁，是人主觀上對關系量化的生成。速度概念的教學是引領學生理性認識關系的活動，是為了消除或緩解學生在關系認知中出現(xiàn)的矛盾，如為什么單一維度的變化不能用來衡量比值的變化？兩個維度的量同時變化時，速度一定會維持不變嗎？兩個異類量的比代表的現(xiàn)實意義是什么？在教學的過程中應均衡和綜合對比例圖式“運算”和“關系”的內涵的理解。

（三）從單位化思想理解速度產(chǎn)生的現(xiàn)實意義

單位化的思想是人希望用量化形式去描述客觀世界存在的物質的一種主觀愿望，如對運動物體的描述，快與慢是對運動質性的描述，質性描述存在的弊端就是缺乏標準，究竟什么樣的運動狀態(tài)是快，什么樣的運動狀態(tài)是慢呢？我們常常因為對質的描繪而被這樣的問題問得啞口無言，我們需要有一個度量的工具幫助我們回答這樣的問題，就像我們使用的尺子一樣，通過尺子告訴別人一個物體究竟有多長，有多短。單位化（Unitizing）的思想過程是人主觀思考和選擇“一”的過程，通過“一”去衡量“幾”或“多少”，具有確定的意義。[17]在速度概念的教學中，這樣的單位化思想是對于速度價值意義最好的詮釋，當我們需要告訴別人一個物體的運動究竟有多快或者多慢時，我們也需要有一把量尺，把運動物體時間和空間復合而成的區(qū)域分割成一小塊一小塊相同的標準量來進行量化，這些小塊都是“一”。那么從兩個維度分別來看，衡量路程的量尺是1米、1分米、1厘米、1毫米等，衡量時間的量尺是1小時、1分鐘、1秒等，衡量速度的量尺必然是兩種不同類量的度量標準的復合，要反映二者的關系，即考慮在時間和空間兩個維度復合而成的標準量，速度是單位時間路程的數(shù)量，也可以是單位距離所花費的時間。通過速度來衡量物體運動的快慢，其實就是把單位時間走的路程看成了“單位1”，用若干個單位時間走過的路程來衡量運動的快慢。

（四）通過幾何直觀理解速度

在對速度概念進行教學的時候，因為速度是不能通過直觀感知的，是通過兩個量復合而成的……有教師形容速度的教學是“皇帝的新衣”，像對著一群小孩撒謊，講一個自己也看不見摸不著的東西，這樣的無實物教學令人頭疼。但通過幾何直觀就可以很好地解釋這個問題，小學階段學生接觸的路程模型中速度指代的是平均速度，因為習慣用語而簡稱為速度。速度和時間的乘法模型、路程與速度和路程與時間的除法模型，都可通過幾何直觀的形式，將抽象的速度轉化為直觀的幾何形式，通過速度的幾何意義幫助學生理解其代數(shù)意義。例如面積模型就可以很好地反映速度與時間的乘法模型，體現(xiàn)的是乘法中累加的性質，將若干個標準速度與標準時間的乘積進行累加形成了路程，每一小格的面積代表了衡量路程的標準（如圖4）。

圖4 速度的面積模型

線段圖實際上是除法模型，通過分割的形式來呈現(xiàn)路程與速度、路程與時間比的關系。教學過程中，通過線段圖可以讓學生發(fā)現(xiàn)，如果把一條線段分得越多，那么每一小部分的長度就越短；如果把一條線段分得越少，那么每一小部分的長度就越長。分的份數(shù)與每份的長度呈此消彼長的關系（如圖5、圖6）。

圖5 速度的線段模型1

圖6 速度的線段模型2

總之，速度對于學生今后的數(shù)學以及科學的學習都至關重要，需要在課程設計以及教學中引起足夠的重視。