振動運輸機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)特性研究*

李雄兵，張紅兵，陳 寧

(蘭州交通大學(xué)，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

振動運輸機(jī)廣泛使用在各種工業(yè)領(lǐng)域，利用激振力與摩擦力使物料定向移動，并且在移動過程中通過振動增加物料的松散度以便后續(xù)加工處理[1]。肖雄、余佑林等人對HZY型振動運輸機(jī)正確的激振方式做了研究，分析了振動的規(guī)律以及產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動的原因[2]。Han I等人對振動運輸機(jī)的法向動力學(xué)行為做了研究，發(fā)現(xiàn)在法向方向具有非常復(fù)雜行為變化并且存在混沌分岔現(xiàn)象[3]。

振動運輸機(jī)接觸面的法向運動可以看作為一個塑性碰撞系統(tǒng)中的一類，而塑性碰撞系統(tǒng)也廣泛存在各種機(jī)械設(shè)備中。羅冠煒等人對單自由度和雙自由度塑性碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了塑性碰撞系統(tǒng)的Poincaré映射具有擦邊奇異性，分析了沖擊振動系統(tǒng)的分段性、掠動奇點和各種參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)的影響[4-6]。

振動運輸機(jī)接觸面與物料間的碰撞也可看作為一個碰摩系統(tǒng)，目前關(guān)于碰摩系統(tǒng)的研究成果也較多。翟紅梅、董明晶、段杰等人考慮了沖擊狀態(tài)下摩檫力的影響，認(rèn)為切向的沖量變化量和法向沖量變化量比值為常數(shù)，反映了碰撞過程中法向運動對切向運動的影響[7-9]。Arne Nordmark等人分析了初始條件和參數(shù)值開放區(qū)域之間邊界的存在，對應(yīng)不同形式的沖擊規(guī)律，研究了沖擊規(guī)律的光滑性[10-11]。

筆者將在基于完全塑性碰撞的假設(shè)下，考慮發(fā)生塑性碰撞時振子在切向的動量傳遞量受到法向初始狀態(tài)和切向初始狀態(tài)共同制約，針對具有塑性碰撞的振動運輸機(jī)系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，最后探討系統(tǒng)控制參數(shù)的變化對系統(tǒng)的局部分岔以及通往混沌道路的影響。

1 力學(xué)模型及其運動微分方程

振動運輸機(jī)力學(xué)模型如圖1所示，其中質(zhì)量體M1表示振動運輸機(jī)的承載槽質(zhì)量，在此認(rèn)為機(jī)架完全固定，M2表示承載槽上物料的總質(zhì)量；KX和KY分別為承載槽和機(jī)架支架切向和法向的彈性連結(jié)剛度，CX和CY分別表示阻尼；FY表示物料和承載槽底部所構(gòu)成的摩擦副正壓力，F(xiàn)Z表示物料和承載槽側(cè)壁所構(gòu)成摩擦副正壓力的2倍；P為作用在承載槽上的激振力，θ為激振力P和水平方向夾角，G表示重力加速度，μ表示物料和承載槽之間的摩擦系數(shù)。

圖1 振動運輸機(jī)力學(xué)模型

振動運輸機(jī)在非碰撞沖擊階段的系統(tǒng)微分方程統(tǒng)一表達(dá)式如下：

(1)

其中FY、FZ、FY1、A的值為：

取無量綱量：

Ωi=ωIΩ；i=X,Y

則系統(tǒng)的無量綱運動微分方程為：

(2)

其中γ為M2與M1質(zhì)量比，即物料的質(zhì)量占比，Ωi和ξi分別為系統(tǒng)切向和法向的固有頻率和阻尼系數(shù)，A，a為保證質(zhì)量塊M2可以起拋的最小激振力，α、β分別為無量綱比例系數(shù)，α可表征切向拋擲指數(shù)，β可表征法向拋擲指數(shù)。

考慮摩擦的Stribeck效應(yīng)并利用雙正切函數(shù)進(jìn)行平滑處理，修正后摩擦系數(shù)的數(shù)學(xué)模型如公式(3)所示[12-14]。

μ=tanh(σ)[μs+(μs-μk)e-|δ|γ]

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[3]經(jīng)驗可取摩擦模型參數(shù)：

σ=200；γ=2；δ=4.6

2 Poincaré映射與碰撞分析

2.1 建立Poincaré映射

振動運輸機(jī)系統(tǒng)在法向一般會有3種運動狀態(tài)，分別為接觸狀態(tài)、拋擲狀態(tài)和沖擊狀態(tài)，分別定義為P1、P2和P3，其Poincaré映射與之相同。定義系統(tǒng)狀態(tài)空間R5=spane(y1,y1′,y2,y2′，τ)，在R5中定義系統(tǒng)不同狀態(tài)間的轉(zhuǎn)折界面Σ。

Σ1={(y1,y1′,y2,y2′，τ)|y1=y2;y1′=y1′;

fy1>0∪fy1=0，fy1′>0}

Σ2={(y1,y1′,y2,y2′，τ)|y1=y2;y1′=y2′;

fy1=0;fy1′<0}

Σ3={(y1,y1′,y2,y2′，τ)|y1=y2;y1′>y2′}

接觸狀態(tài)P1的起始條件滿足Yn∈Σ1，終止條件滿足Yn+1∈Σ2，則在該階段的Poincaré映射可表示為Yn+1=P1·Yn。

拋擲狀態(tài)P2的起始條件滿足Yn∈Σ2，終止條件滿足Yn+1∈Σ3，與該過程相對應(yīng)Poincaré子映射可表述為Yn+1=P2·Yn。

沖擊狀態(tài)P3的起始條件條件滿足Yn∈Σ3，終止條件需要滿足Yn+1∈Σ1∪Σ2，該過程對應(yīng)Poincaré子映射Yn+1=P3·Yn。系統(tǒng)中可能存在的基本復(fù)合映射組合有：

{Yn=P1·Yn-1|?n>0,Yn∈?;Yn-1??}

{Yn=P3·P2·P1·Yn-1}{Yn=P3·P2·Yn-1}

當(dāng)法向拋擲指數(shù)β<1時，物料無法拋起，系統(tǒng)始終處于P1接觸狀態(tài)，Yn-1不能穿越Σ2截面過渡到P2拋擲狀態(tài)，導(dǎo)致Yn不存在；當(dāng)拋擲指數(shù)β>1時，物料可以起拋，發(fā)生起拋之后系統(tǒng)進(jìn)入P2狀態(tài)，在重力的作用下必定存在碰撞沖擊P3狀態(tài)。所以當(dāng)物料可以起拋時，系統(tǒng)中存在接觸-拋擲-沖擊-接觸和沖擊-拋擲-沖擊的基本狀態(tài)循環(huán)，該系統(tǒng)所發(fā)生的全部過程都是上述三種基本過程的特定組合。因此此可以將碰撞沖擊前的狀態(tài)作為Poincaré截面即Σ3界面。

2.2 碰撞分析

碰撞過程主要遵從動量守恒定理，法向滿足完全塑性碰撞過程式(4)，切向滿足動量守恒定理(5)：

y1(n+1)′=y2(n+1)′=(1-γ)y1n′+γy2n′

(4)

(1-γ)x1(n+1)′+γx2(n+1)′=(1-γ)x1n′+γx2n′

(5)

則在摩擦力的作用下，碰撞過程結(jié)束后切向轉(zhuǎn)移的動量為最大量為：ΔPXμ=ΔPYμ

同樣在切向可傳遞的動量受沖擊前的運動狀態(tài)到發(fā)生粘滯，即完全塑性碰撞結(jié)束的最大值為：

ΔPX=γ|(1-γ)x1n′+γx2n′-x2n′|

可求得發(fā)生接觸碰撞后的切向方向的速度變化量以及速度表達(dá)式為：

x2(n+1)′|)x2(n+1)′

=x2n′+ΔVXsign(x1n′-x2n′)

3 模型驗證

通過已有實驗數(shù)據(jù)源自于文獻(xiàn)[15]，可得到某型移動運輸設(shè)備參數(shù)如表1所列。

表1 某型振動運輸車參數(shù)

通過上表參數(shù)和線性振動理論可對應(yīng)反推部分無量綱參數(shù)如下：

[γ,α,β,g]=[0.045,6.258 9,3.522 9,-9.81]

[Ω,ξX,Y,ΩX,Y]=[154.55,0.062,45.55]

數(shù)值仿真結(jié)果如表2所列。

表2 運輸車數(shù)值仿真結(jié)果

從表2分析可知,側(cè)壓力系數(shù)χ取0.60～0.65時,仿真結(jié)果和現(xiàn)場實驗結(jié)果能夠在3%的誤差內(nèi)保持一致,說明該模型能夠反映振動運輸機(jī)的運動特性和機(jī)械性能,有效地進(jìn)行振動運輸機(jī)的運動仿真分析。

4 塑性碰撞對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響

為研究塑性碰撞對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，對其碰撞的全過程進(jìn)行分析。選取一組系統(tǒng)無量綱參數(shù)γ=0.4，Ω=60，Ωi=45，ξi=0.062，μ=0.3，θ=π/6。以法向拋擲指數(shù)β為分岔參數(shù)，以β∈(4.93，6.36)為分岔區(qū)間，得到質(zhì)量塊M2法向位移Y2關(guān)于β的分岔圖，如圖2所示，由于塑性碰撞的原因，系統(tǒng)伴隨有擦邊分岔，系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨拋擲指數(shù)β的變化而隨之改變，在周期運動與混沌運動之間轉(zhuǎn)換。

圖2 系統(tǒng)在β∈(4.93，6.36)時的分岔圖

由圖2可知，當(dāng)β∈(6.13，6.36)時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，以β=6.18為例，通過分析法向與切向方向的時間歷程圖來研究塑性碰撞的過程以及法向運動對切向運動的影響，時間歷程圖如圖3所示。

分析圖3可知，當(dāng)β=6.18時，系統(tǒng)的塑性碰撞中存在粘黏、拋擲與沖擊等現(xiàn)象，如在圖3(a)的A1點時，M2與M1的法向位移一致，粘黏在一起開始同步運動，此時系統(tǒng)處于接觸狀態(tài)；當(dāng)?shù)竭_(dá)A2點時，M1與M2相分離，M1先經(jīng)過短暫的向上運動后開始下降，而M2繼續(xù)向上運動，此時系統(tǒng)處于拋擲狀態(tài)；在A3點時，M1與M2速度相反，兩者相遇并迅速分離，此時系統(tǒng)處于沖擊狀態(tài)；在A4點M1與M2又開始相遇粘黏進(jìn)入接觸狀態(tài)。同時觀察法向速度的時間歷程圖也可分析系統(tǒng)發(fā)生塑性碰撞的過程，如圖3(b)所示。

圖3 在β=6.18的時間歷程圖

在振動運輸機(jī)的塑性碰撞中，由于粘黏與摩擦力的影響，其法向運動會對切向運動有一定的影響，如圖3(c)所示，在C1處M1與M2在法向方向相接觸發(fā)生粘黏，M2的切向速度瞬間激變減小，然后繼續(xù)減小到C2再增大到C3，這段時間內(nèi)M1與M2雖然在法向上因粘黏而做同步運動，但在切向并未同步運動，而在進(jìn)行相對滑動運動，這是由于摩擦力的原因，C3之后，M1與M2相分離，M2的切向速度保持在拋出時的狀態(tài)，到達(dá)C4后由于法向方向發(fā)生沖擊，M1與M2瞬間接觸又分離，M2的切向速度發(fā)生了激變增大，之后保持不變直到下一次發(fā)生粘黏或沖擊。

隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變，接觸、拋擲和沖擊這三種運動狀態(tài)不一定會在某段區(qū)間內(nèi)同時存在，但由于塑性碰撞的特點，其必定會存在于塑性碰撞系統(tǒng)中。

5 系統(tǒng)的分岔及通往混沌的道路

通過上述分許可知，由于塑性碰撞的原因，振動運輸機(jī)系統(tǒng)會伴隨有復(fù)雜的分岔和混沌等動力學(xué)行為，且各種分岔方式以及進(jìn)入混沌的途徑差異明顯。下文將借助時間歷程圖、相圖與Poincaré截面圖來分析不同的分岔現(xiàn)象以及他們各自通過混沌的道路。

5.1 Hopf分岔及通向混沌的道路

選取一組系統(tǒng)無量綱參數(shù)γ=0.8，Ω=80，Ωi=45，ξi=0.062，μ=0.3，θ=π/6。選擇法向拋擲指數(shù)β為分岔參數(shù)，以β∈(6.5，9.9)為分岔區(qū)間，得到其一組質(zhì)量塊M2法向的位移Y2關(guān)于β的分岔圖，如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)的Hopf分岔圖

當(dāng)β=6.819系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，從單周期運動開始失穩(wěn)到擬周期運動，系統(tǒng)在Poincaré截面上的投影如圖5(a)所示；當(dāng)β遞增到β=6.838時，Poincaré截面上形成一個Hopf吸引不變?nèi)?，如圖5(b)所示，此時系統(tǒng)進(jìn)入概周期運動；隨著分岔參數(shù)β增大，Hopf吸引不變?nèi)χ饾u失去光滑性，系統(tǒng)從概周期運動過度到長周期運動狀態(tài)；β繼續(xù)增大，在β=7.504時，系統(tǒng)中發(fā)生了擦邊分岔，如圖5(c)所示；隨著β的持續(xù)增大，Hopf吸引不變?nèi)Σ粩嗯蛎涀冃?，系統(tǒng)經(jīng)鎖相最終進(jìn)入混沌運動狀態(tài)，產(chǎn)生混沌吸引子，如圖5(d)～(f)所示。

圖5 Hopf分岔Poincaré映射投影圖

為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)中出現(xiàn)的擦邊分岔，對其β=7.504時相圖和時間歷程圖來進(jìn)行了研究，如圖6所示，發(fā)生擦邊分岔時系統(tǒng)的運動周期并沒有變化，但有變化的趨勢，M2的速度有所變化，但其變化比較微弱。

圖6 β=7.504時的相圖與時間歷程圖

5.2 倍化分岔及通向混沌的道路

選取一組無量綱參數(shù)γ=0.698，Ω=62，Ωi=45，ξi=0.062，μ=0.3，θ=π/6。選擇法向拋擲指數(shù)β為分岔參數(shù)，以β∈(6.6，7.8)為分岔區(qū)間，得到其一組質(zhì)量塊M2法向的位移Y2關(guān)于β的分岔圖，如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)的倍化分岔圖

進(jìn)一步分析圖7可知，在β∈(6.6,6.813)時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的q=1/1周期運動；在β=6.813處發(fā)生倍化分岔，在β∈(6.813，7.226)時處q=2/2周期運動；在β=7.226處再次發(fā)生倍化分岔，系統(tǒng)進(jìn)入了q=4/4周期運動，Poincaré截面圖如圖8(a)所示；當(dāng)β=7.427時，發(fā)生擦邊分岔，系統(tǒng)從q=4/4周期運動進(jìn)入q=4/5周期運動，如圖8(b)所示；此后隨著參數(shù)的遞增，擦邊分岔也隨系統(tǒng)開始一次次倍化，最終逐漸失去倍化規(guī)律進(jìn)入混沌運動狀態(tài)，產(chǎn)生混沌吸引子，如圖8(c)和(d)所示。

圖8 倍化分岔Poincaré截面圖

利用相圖和時間歷程圖對倍化分岔中的擦邊分岔來做進(jìn)一步的研究。如圖9所示，系統(tǒng)因擦邊分岔由q=4/4轉(zhuǎn)遷為q=4/5時，系統(tǒng)的運動周期沒有發(fā)生變化，但相軌跡和速度有微弱的變化。

圖9 β=7.427時的相圖與時間歷程圖

5.3 Hopf-Filp分岔及通向混沌的道路

除上述兩種經(jīng)典分岔外，系統(tǒng)還發(fā)生Hopf-Filp余維二分岔。選取無量綱參數(shù)為γ=0.695，Ω=65，Ωi=45，ξi=0.062，μ=0.3，θ=π/6，以法向拋擲指數(shù)β為分岔參數(shù)，在β∈(7.25，8.2)區(qū)間，系統(tǒng)的局部分岔圖如圖10所示。

圖10 系統(tǒng)的Hopf-Filp分岔圖

由圖10可知，當(dāng)β∈(7.25，7.371)時系統(tǒng)處于p-1周期運動，β值經(jīng)過β=7.371時發(fā)生了Filp分岔，系統(tǒng)進(jìn)入了p-2周期運動，當(dāng)β=7.418時再次發(fā)生了Filp分岔，系統(tǒng)從p-2周期運動進(jìn)入p-4周期運動，其Poincaré截面圖如圖11(a)所示。

圖11 Hopf-Filp分岔Poincaré截面圖

當(dāng)β=7.5419時，系統(tǒng)開始發(fā)生4周期的Hopf分岔，平衡點開始發(fā)散，系統(tǒng)進(jìn)入擬周期運動狀態(tài)，如圖11(b)所示；當(dāng)β=7.58107時，系統(tǒng)形成了4個Hopf吸引不變?nèi)?，系統(tǒng)進(jìn)入概周期運動狀態(tài)，如圖11(c)所示；此后4個不變?nèi)﹂_始失去光滑性發(fā)生膨脹變形，在β=7.622時形成成一個環(huán)面，并且在β=7.873時發(fā)生環(huán)面倍化現(xiàn)象，如圖11(d)和(e)所示；β持續(xù)增大，環(huán)面開始失去光滑性，最后經(jīng)過鎖相，在β=8.11時進(jìn)入混沌狀態(tài)并產(chǎn)生混沌吸引子，其變化過程如圖11(f)～(h)所示。

6 總 結(jié)

針對振動運輸機(jī)系統(tǒng)的兩自由度力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)發(fā)生塑性碰撞時的動力學(xué)行為，分析了發(fā)生塑性碰撞時系統(tǒng)伴隨的粘黏、拋擲和沖擊等現(xiàn)象，以及這些現(xiàn)象使法向運動對切向運動造成的影響。發(fā)現(xiàn)了在適當(dāng)?shù)膮?shù)條件下，振動運輸機(jī)系統(tǒng)將會發(fā)生Hopf分岔、倍化分岔以及Hopf-Filp分岔，同時伴隨有擦邊分岔的產(chǎn)生；分析了系統(tǒng)從單周期通過各種分岔向混沌演化的過程，發(fā)現(xiàn)其中包含的擦邊分岔雖有運動趨勢但不會改變系統(tǒng)的運動最小周期。通過對該系統(tǒng)塑性碰撞的過程以及混沌與分岔的研究，可在實際中通過優(yōu)化系統(tǒng)部分參數(shù)來提高該系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性，在防止系統(tǒng)發(fā)生混沌運動和由其產(chǎn)生的強(qiáng)烈振動上具有一定的理論意義和實際意義。