小學(xué)數(shù)學(xué)高階思維的思考

喻 平

“高階思維”與“深度學(xué)習(xí)”一樣，是近年來(lái)教育領(lǐng)域具有同樣熱度的關(guān)鍵詞，引起學(xué)術(shù)界和中小學(xué)一線教師的普遍關(guān)注，并投入極大的研究熱情。事實(shí)上，在教育界，一個(gè)觀點(diǎn)的冒生、一種思潮的涌動(dòng)并非空穴來(lái)風(fēng)，它必然有自身存在的合理性和生長(zhǎng)的必然性。深度學(xué)習(xí)、高階思維的出現(xiàn)也是如此，是全球化課程改革中為解決教學(xué)問(wèn)題而產(chǎn)生的學(xué)術(shù)性概念。

一、高階思維的內(nèi)涵解讀

對(duì)高階思維（higher-order thinking）的界定，許多學(xué)者從揭示高階思維的內(nèi)涵、外延或特征的角度切入。1987年，Resnick首次提出高階思維概念，他認(rèn)為高階思維的特征主要表現(xiàn)為：非算法的、復(fù)雜的、有多重解、需要應(yīng)用多種標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)習(xí)者的自我調(diào)節(jié)，通常涉及不確定性。Stanley把高階思維的本質(zhì)概括為三點(diǎn)：能使用抽象的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思維；能將信息組織成一個(gè)完整的體系；應(yīng)用合理的邏輯和判斷準(zhǔn)則。在Barak所撰文章中，美國(guó)科學(xué)素養(yǎng)協(xié)會(huì)（AAAS）和美國(guó)國(guó)家科學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)（NRC）指出，在探究型科學(xué)教育中，高階思維模式的例子主要包括：制定研究問(wèn)題、計(jì)劃實(shí)驗(yàn)、控制變量、推斷、提出和證明論點(diǎn)、識(shí)別隱藏的假設(shè)并確定可靠的信息來(lái)源。另一種研究思路是從思維水平來(lái)定義高階思維。學(xué)術(shù)界比較認(rèn)可的一致性傾向是將高階思維與布盧姆的認(rèn)知目標(biāo)分類建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此確定高階思維的內(nèi)涵。布盧姆按照認(rèn)知的復(fù)雜程度，將思維過(guò)程具體化為六種水平，也是指學(xué)生在學(xué)習(xí)中的六種行為表現(xiàn)，由低到高包括記憶、理解、應(yīng)用、分析、綜合、評(píng)價(jià)。記憶、理解和應(yīng)用，通常被稱為低階思維；分析、綜合和評(píng)價(jià)，通常被稱為高階思維。高階思維是建立在低階思維基礎(chǔ)上的。后來(lái)有學(xué)者對(duì)此作了適當(dāng)改造，將分析、綜合和評(píng)價(jià)三個(gè)階段修訂為分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造，這三個(gè)類目分別包含若干不同的子類目。當(dāng)代美國(guó)教育最注重培養(yǎng)的三大能力是批判性思維（Critical Thinking）、創(chuàng)造力（Creativity）和解決問(wèn)題能力（Problemsolving）。彭敬慈認(rèn)為這三種能力與布盧姆認(rèn)知思考層次架構(gòu)是分別對(duì)應(yīng)的，其中，批判性思維是指用自己厘定的準(zhǔn)則做批判，對(duì)應(yīng)“評(píng)價(jià)”；創(chuàng)造力是指有意義地把不同但相關(guān)的概念或事物轉(zhuǎn)化并結(jié)合成新的概念或事物，對(duì)應(yīng)“綜合”“評(píng)價(jià)”；解決問(wèn)題能力對(duì)應(yīng)“分析”“綜合”“評(píng)價(jià)”。分析、綜合和評(píng)價(jià)統(tǒng)稱為高階思維。國(guó)內(nèi)的許多文獻(xiàn)都是持這種觀點(diǎn)，把高階思維界定為發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力，它在教學(xué)目標(biāo)分類中表現(xiàn)為分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造。

梳理上述觀點(diǎn)，高階思維的基本成分主要有邏輯推理、解決問(wèn)題特別是解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題、概括知識(shí)體系、批判性思維、創(chuàng)造性思維。下面對(duì)高階思維作進(jìn)一步分析。

首先，高階思維屬于認(rèn)知范疇。簡(jiǎn)單地說(shuō)，高階思維就是高層次的思維形式，思維當(dāng)然屬于認(rèn)知范疇，因而，把非認(rèn)知因素混入高階思維的因素中是不合適的。研究思維，一般可以從兩個(gè)方面切入，即思維的質(zhì)量和思維的水平。思維的質(zhì)量用思維品質(zhì)來(lái)刻畫(huà)，思維品質(zhì)包括思維靈活性、思維敏捷性、思維深刻性、思維批判性和思維獨(dú)創(chuàng)性。因此，研究高階思維的質(zhì)量可以用高階思維的這些品質(zhì)來(lái)描述。對(duì)于思維的水平，用布盧姆的認(rèn)知領(lǐng)域目標(biāo)分類是合適的。布盧姆目標(biāo)分類的后面三種水平具體含義如下，分析：指將交流內(nèi)容分解成各種組成要素或部分，以使有關(guān)概念層次清楚，或使概念間的聯(lián)系表達(dá)清楚。綜合：把各種要素和組成部分組合成一個(gè)整體。評(píng)價(jià)：為了特定目的對(duì)材料和方法的價(jià)值作出判斷。顯然，這三者都是思維的高級(jí)表現(xiàn)，與高階思維的立意殊途同歸。

其次，高階思維不能脫離低階思維而獨(dú)立存在。涓涓小溪匯聚方能成江河，我們可以把低階思維視為小溪，高階思維視為江河，這大概是一種恰當(dāng)?shù)碾[喻，無(wú)小溪之水何來(lái)江河之源。高階思維的材料是知識(shí)，知識(shí)的積淀依托于低階思維，這是一條事實(shí)性因果邏輯鏈，離開(kāi)低階思維的高階思維只是空中樓閣。例如，衡量高階思維水平高低的一個(gè)重要指標(biāo)是解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的能力，如果學(xué)生連結(jié)構(gòu)良好的問(wèn)題都解決不了，那么怎么可能解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題？這個(gè)基本的道理告訴我們，不能脫離根基而一味拔高，為追求所謂的高階思維而放棄對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)和基本技能的培養(yǎng)顯然是海市蜃樓。

再次，問(wèn)題情境是高階思維發(fā)生的必要而非充分條件。情境認(rèn)知理論有一個(gè)經(jīng)典的觀點(diǎn)：思維不能脫離情境，離開(kāi)情境，人是不能思維的，情境當(dāng)然指包含著問(wèn)題的情境。也就是說(shuō)，思維的發(fā)生必然依附情境，情境的創(chuàng)設(shè)是思維發(fā)生的必要條件，當(dāng)然也就是高階思維發(fā)生的必要條件。但反之不一定成立，有情境不一定有思維產(chǎn)生，或者即使有低階思維產(chǎn)生也不一定有高階思維產(chǎn)生。事實(shí)上，這與情境中問(wèn)題設(shè)置的諸多因素有關(guān)，如問(wèn)題本身的難度，對(duì)學(xué)習(xí)者而言，問(wèn)題的熟悉程度，問(wèn)題的結(jié)構(gòu)良好性程度，問(wèn)題對(duì)學(xué)習(xí)者的吸引力程度，問(wèn)題的設(shè)計(jì)方式，教師的誘導(dǎo)啟發(fā)策略等，這些因素直接牽制高階思維的產(chǎn)生。換言之，高階思維的產(chǎn)生依賴于高質(zhì)量的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)高階思維的基本成分

在分析小學(xué)數(shù)學(xué)高階思維的基本成分之前，需要認(rèn)識(shí)下面兩個(gè)問(wèn)題。

對(duì)教學(xué)內(nèi)容的正確認(rèn)識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)板塊。其中數(shù)與代數(shù)主要涉及數(shù)（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）的運(yùn)算和解決簡(jiǎn)單方程；圖形與幾何涉及對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和簡(jiǎn)單幾何圖形及幾何體的相關(guān)度量計(jì)算；統(tǒng)計(jì)與概率涉及對(duì)統(tǒng)計(jì)圖、集中數(shù)量、隨機(jī)性等概念的初步認(rèn)識(shí)；綜合與實(shí)踐是應(yīng)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題?？梢钥吹?，小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容主線是運(yùn)算，運(yùn)算貫穿于四個(gè)內(nèi)容板塊，而運(yùn)算的依據(jù)是五條運(yùn)算律（加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律），教材中所有的運(yùn)算都是運(yùn)算律的特例。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心是五條運(yùn)算律。

對(duì)數(shù)學(xué)抽象的精準(zhǔn)把握。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)展經(jīng)歷了三次幅度較大的數(shù)學(xué)抽象。從物到數(shù)的抽象，剝離事物的物理特征抽象出數(shù)量關(guān)系，這是第一次數(shù)學(xué)抽象。從普通語(yǔ)言到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象，隨著教材中數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形、圖表等數(shù)學(xué)語(yǔ)言的逐步出現(xiàn)，產(chǎn)生了第二次數(shù)學(xué)抽象。從數(shù)到式的抽象、運(yùn)算律和字母表示數(shù)的內(nèi)容展現(xiàn)，體現(xiàn)出第三次數(shù)學(xué)抽象。認(rèn)識(shí)清楚這三次數(shù)學(xué)抽象，對(duì)把握高階思維的內(nèi)涵至關(guān)重要。

結(jié)合上述分析，我們提出小學(xué)數(shù)學(xué)高階思維的基本成分，由關(guān)系性理解、概括性思維、批判性思維和創(chuàng)新性思維等四個(gè)要素組成。

1.關(guān)系性理解。

Skemp把數(shù)學(xué)理解分為兩個(gè)水平：工具性理解和關(guān)系性理解。工具性理解指語(yǔ)義性或程序性理解，即符號(hào)A代表什么事物或規(guī)則R怎么操作；關(guān)系性理解則需對(duì)符號(hào)的意義、獲得符號(hào)指代物意義的途徑、規(guī)則的邏輯依據(jù)等有深刻的認(rèn)識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線是運(yùn)算，運(yùn)算由算法和算理兩個(gè)部分組成。算法是指按照一定規(guī)則制定的運(yùn)算程序或步驟；算理是指算法的原理，即為什么有這樣的運(yùn)算程序。顯然，只掌握了算法而不理解算理，這是工具性理解水平，只有明晰了算理才能達(dá)到關(guān)系性理解水平。雖然運(yùn)用算法的過(guò)程有一定的邏輯推理因素，例如，運(yùn)用公式解決具體問(wèn)題就是一個(gè)簡(jiǎn)單的三段論推理，但是這種低水平的推理不能視為有高階思維介入，因?yàn)檫@種推理的大前提和小前提都是十分清楚的。理解算理就是理解算法的原理，這個(gè)過(guò)程包括了較高層面的邏輯推理，需要高階思維的介入。簡(jiǎn)言之，高階思維只能發(fā)生在關(guān)系性理解的過(guò)程中。需要指出的是，雖然課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有對(duì)小學(xué)階段有邏輯推理的要求，但大量的研究表明，小學(xué)生存在邏輯思維發(fā)展的關(guān)鍵期，我們應(yīng)該而且必須在小學(xué)三年級(jí)之后進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪壿嬐评碛?xùn)練。

2.概括性思維。

概括性思維指概括知識(shí)體系、知識(shí)結(jié)構(gòu)和概括數(shù)學(xué)思想方法的思維方式。概括的本意有歸納、提煉、抽象的含義，屬于布盧姆目標(biāo)體系中的“綜合”層面，因而是一種高階思維形態(tài)。從知識(shí)層面看，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、命題的理解，不僅要理解它的內(nèi)涵，明晰它的外延，更重要的是要將其置于一個(gè)體系中，厘清它與其他概念之間的關(guān)系，形成概念或命題體系，這是概括性思維的一種表現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的最高概括形式就是五條運(yùn)算律，教師在教學(xué)中要時(shí)時(shí)抓住這個(gè)核心，綱舉目張。從思想方法層面看，思想方法不具有個(gè)性特征，它可以對(duì)一類事物作共性的解釋和描述，具有普適性要義。顯然，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)悟需要概括性思維介入。如前所述，小學(xué)數(shù)學(xué)要經(jīng)歷三次數(shù)學(xué)抽象，其實(shí)，這三次抽象都是概括性思維的體現(xiàn)，從物到數(shù)的抽象，是對(duì)事物數(shù)量關(guān)系的概括；從普通語(yǔ)言到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象，是對(duì)一類數(shù)學(xué)對(duì)象共性的概括；從數(shù)到式的抽象，是從個(gè)別現(xiàn)象到一般規(guī)律的概括，因此，學(xué)生能否完成這三次抽象，很大程度上由他們的概括性思維水平?jīng)Q定。

3.批判性思維。

批判性思維是一種基于充分的理性和客觀事實(shí)而進(jìn)行理論評(píng)估與客觀評(píng)價(jià)的思維方式。批判性思維并非僅僅是一種否定性思維，它還具有對(duì)一件事情給出更多可選擇解釋和進(jìn)一步思考的意義。批判性思維屬于布盧姆認(rèn)知目標(biāo)體系中的“評(píng)價(jià)”層面，因而是一種高階思維形態(tài)。數(shù)學(xué)教科書(shū)的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是整個(gè)內(nèi)容都是真理的再現(xiàn)，從頭到尾沒(méi)有一個(gè)錯(cuò)誤，學(xué)生的任務(wù)是相信這些真理，接受這些真理，個(gè)人的想法和觀點(diǎn)無(wú)法進(jìn)入教學(xué)環(huán)節(jié)。顯然，完美無(wú)缺的教材體系無(wú)疑為批判性思維介入教學(xué)構(gòu)筑了一道封閉的圍欄，這大概也是造成當(dāng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)多地沉溺于低階思維訓(xùn)練的原因之一。突破這個(gè)圍欄的一條有效途徑是為學(xué)生提供解決非常規(guī)性問(wèn)題的機(jī)會(huì)，例如，解決開(kāi)放性問(wèn)題，即條件可能不充分、結(jié)論可能不唯一、條件可能冗余的問(wèn)題。解決這類問(wèn)題，需要學(xué)生突破有章可循的解題思路，通過(guò)試誤、猜想、證偽、證實(shí)的探究方式獲得問(wèn)題解決方案，其間，批判性思維必然扮演重要角色。

4.創(chuàng)新性思維。

創(chuàng)新性思維是指打破固有的思維模式，從新的角度、新的方式去思考，得出不一樣的并且具有創(chuàng)造性結(jié)論的思維方式。對(duì)中小學(xué)生而言，創(chuàng)新是相對(duì)的，只要突破固有模式得到與既成事實(shí)不同的結(jié)果或想法，甚至對(duì)一個(gè)事實(shí)作出不同的解釋等都可視為創(chuàng)新性思維。創(chuàng)新性思維對(duì)應(yīng)布盧姆認(rèn)知目標(biāo)體系中的“綜合”與“評(píng)價(jià)”，屬于高階思維范疇。顯然，創(chuàng)新性思維與批判性思維是相互關(guān)聯(lián)的，許多創(chuàng)新往往建立在批判之上。與批判性思維一樣，創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)也必須突破教材的束縛，從單純接受真理的學(xué)習(xí)樣態(tài)轉(zhuǎn)向討論真理的學(xué)習(xí)樣態(tài)，學(xué)生要從教學(xué)的“旁觀者”變?yōu)榻虒W(xué)的“參與者”，讓創(chuàng)新性思維真正在課堂教學(xué)中占有一席之地。

三、對(duì)發(fā)展小學(xué)生高階思維的思考

1.從低階思維轉(zhuǎn)向高階思維是教學(xué)理念與方法的革新。

新一輪基礎(chǔ)教育課程改革把核心素養(yǎng)的培養(yǎng)作為明確的目標(biāo)，這是與以知識(shí)傳授為主要目標(biāo)的傳統(tǒng)教育理念相背離的變革。以知識(shí)的理解和掌握為目標(biāo)的教學(xué)，很容易陷入低階思維的洼地，具體表現(xiàn)就是大量的、重復(fù)性的解題訓(xùn)練。設(shè)想一下，一道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法題目，普通的學(xué)生可能做10道題目就完全掌握了運(yùn)算方法，那么有必要讓他們?nèi)プ?0甚至50道相同類型的題目嗎？這種訓(xùn)練毫無(wú)高階思維可言。如果在一定題目數(shù)量訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生去探究?jī)晌粩?shù)乘三位數(shù)的算法，那么教學(xué)的目標(biāo)就發(fā)生了變化，高階思維也自然地進(jìn)入了教學(xué)情境，因?yàn)橛辛藢W(xué)生自主探索的情境。在這一次課程的重大改革面前，教師們要思考：如何從已經(jīng)積累了豐富經(jīng)驗(yàn)的知識(shí)教學(xué)目標(biāo)定位思維走出來(lái)，轉(zhuǎn)向撲面而來(lái)、毫無(wú)經(jīng)驗(yàn)的核心素養(yǎng)目標(biāo)定位新思維？如何在熟練駕馭、得心應(yīng)手的教學(xué)方式中滲入核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)元素，甚至揚(yáng)棄傳統(tǒng)教學(xué)模式重構(gòu)新型教學(xué)模式？有一條必須強(qiáng)調(diào)：弱化低階思維的解題訓(xùn)練是教學(xué)改革的必由之路。

2.一味強(qiáng)調(diào)題目的難度并不能涵蓋高階思維的全野。

需要辨析一下，對(duì)學(xué)生進(jìn)行高難度題目的訓(xùn)練是否就是在訓(xùn)練高階思維。所謂難題，是指可能需要用到多種知識(shí)、可能用到高超技巧來(lái)解決的問(wèn)題。這類問(wèn)題的解答有兩個(gè)明顯的特征：其一，在解答過(guò)程中，邏輯推理會(huì)進(jìn)入一種較高的層面，推理步驟會(huì)增多，邏輯鏈會(huì)加長(zhǎng)；其二，解決難題也是一個(gè)探究過(guò)程，探究解決問(wèn)題的方案和方法。從這兩個(gè)特征看，解決難題的確有高階思維的成分。但是也必須清楚地認(rèn)識(shí)到，解答難題的前提是必須運(yùn)用已有的知識(shí)、規(guī)則和算法，不是在創(chuàng)新知識(shí)或創(chuàng)設(shè)算法，因而不會(huì)含有批判性和創(chuàng)新性元素，因此，單純的難題訓(xùn)練不能涵蓋高階思維的概念外延。而且，過(guò)度強(qiáng)調(diào)難題訓(xùn)練會(huì)走入與數(shù)學(xué)教育價(jià)值追求相背離之路。高階思維與“難度”有關(guān)，但與探究、批判、創(chuàng)新更有直接的相關(guān)性。

3.充分發(fā)揮非認(rèn)知因素對(duì)發(fā)展學(xué)生高階思維的作用。

高階思維屬于認(rèn)知范疇，如果把高階思維與三維目標(biāo)對(duì)照，它應(yīng)該歸入“過(guò)程與方法”目標(biāo)，與“情感態(tài)度價(jià)值觀”的聯(lián)系不大；如果將其與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)對(duì)照，它應(yīng)當(dāng)歸入“關(guān)鍵能力”目標(biāo)，與“必備品格”“正確價(jià)值觀”聯(lián)系不大。于是可能會(huì)出現(xiàn)過(guò)度推崇高階思維而導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)失重現(xiàn)象，即單純追求發(fā)展學(xué)生的高階思維勢(shì)必窄化教學(xué)目標(biāo)，造成非認(rèn)知因素和價(jià)值信念的目標(biāo)弱化。其實(shí)，發(fā)展學(xué)生的高階思維與情感、態(tài)度、品格、價(jià)值觀的培養(yǎng)是有聯(lián)系的。認(rèn)知領(lǐng)域研究的問(wèn)題是“能不能做事”，非認(rèn)知領(lǐng)域研究的問(wèn)題是“愿不愿做事”，愿不愿做事當(dāng)然直接影響到能不能做事，可以說(shuō)，良好的非認(rèn)知因素是高階思維生成的必要條件。因此，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行高階思維的訓(xùn)練中，必須調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、興趣，消除學(xué)習(xí)焦慮，培養(yǎng)他們克服困難的意志和堅(jiān)韌不拔的品格。只有溝通了高階思維訓(xùn)練與非認(rèn)知因素培養(yǎng)之間的關(guān)系，方能實(shí)現(xiàn)學(xué)生在真正意義上的高階思維發(fā)展。

4.學(xué)生高階思維水平的測(cè)評(píng)應(yīng)當(dāng)納入學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)體系。

長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)主要以考試方式來(lái)完成，而考試又偏重知識(shí)的理解和技能的掌握，于是就會(huì)出現(xiàn)為了應(yīng)付考試，學(xué)生不得不記憶大量的知識(shí)和技能，通過(guò)數(shù)量龐大的練習(xí)使習(xí)得的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能得以鞏固下來(lái)的學(xué)習(xí)狀況，形成做題是主要的學(xué)習(xí)方式、“題?！庇?xùn)練是常規(guī)任務(wù)的局面。從知識(shí)導(dǎo)向到能力為重的評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)型，可以淡化學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的死記硬背，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用；可以減少學(xué)生大量的機(jī)械練習(xí)，著重提升反思意識(shí)和創(chuàng)新能力。因此，在考試命題方面應(yīng)當(dāng)著力改革，適當(dāng)增加探究性問(wèn)題、開(kāi)放性問(wèn)題，削減低階思維的題目，讓高階思維進(jìn)入學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)體系，只有對(duì)高階思維的測(cè)評(píng)，才能反映出學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的高階水平。