含時(shí)摩擦系數(shù)和擴(kuò)散調(diào)控布朗粒子的異常輸運(yùn)

由曌婷,羅玉輝,2,楊鳳藻

(1.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500;2.昭通學(xué)院 物理與信息工程學(xué)院，云南 昭通 657000)

近年來，遠(yuǎn)離平衡態(tài)的異常輸運(yùn)現(xiàn)象[1-2]激起了很多學(xué)者的興趣，得到了廣泛的關(guān)注.該現(xiàn)象中的棘輪效應(yīng)[3-4]和負(fù)遷移現(xiàn)象[5-7]被廣泛研究.棘輪效應(yīng)，其特征是在沒有外部擾動(dòng)的情況下，平均的有向運(yùn)動(dòng)已經(jīng)是非零的，并且在整個(gè)正、負(fù)的靜力范圍內(nèi)不改變其方向.在過去的幾十年里，這一輸運(yùn)現(xiàn)象已經(jīng)被研究在各種系統(tǒng)中[8-10].此外，負(fù)遷移現(xiàn)象是一種看似矛盾的運(yùn)動(dòng)，其粒子的運(yùn)動(dòng)方向與一個(gè)小的外力方向相反，這與熱力學(xué)第二定律相違背，熱力學(xué)第二定律[7,11]指出：當(dāng)系統(tǒng)處在熱力學(xué)平衡時(shí)，負(fù)遷移發(fā)生是不可能發(fā)生的.然而，當(dāng)一個(gè)時(shí)間周期力驅(qū)動(dòng)一個(gè)系統(tǒng)，使得系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡，負(fù)遷移現(xiàn)象的發(fā)生成為可能.這一現(xiàn)象已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[12]和理論預(yù)測[13-14]被研究.

近二十年來，棘輪效應(yīng)和負(fù)遷移等異?，F(xiàn)象被廣泛研究[7,15-17].可以注意到，在以往的大多研究中把摩擦系數(shù)假設(shè)為是一個(gè)常數(shù).然而，眾所周知，在真實(shí)系統(tǒng)中，摩擦研究起來是非常復(fù)雜的，理論[18-20]和實(shí)驗(yàn)[21]的研究都證明了摩擦系數(shù)不是一個(gè)常數(shù)，而是隨某些參數(shù)而變化的，例如它會(huì)隨著位置、速度[22]、溫度[23]、時(shí)間[24]而發(fā)生變化.近來，大量的研究[25-26]證明了含時(shí)的摩擦在布朗粒子的運(yùn)動(dòng)中起著極其重要的作用.那么，含時(shí)摩擦系數(shù)是如何影響慣性布朗粒子的輸運(yùn)呢?推測,它將顯著地影響粒子的輸運(yùn)行為(比如，棘輪效應(yīng),負(fù)遷移現(xiàn)象和異常擴(kuò)散).此外，擴(kuò)散系數(shù)在一定程度上受到初始擴(kuò)散系數(shù)的影響，從而對系統(tǒng)產(chǎn)生影響.因此，在上述討論的推動(dòng)下，慣性布朗粒子在含時(shí)摩擦系數(shù)和初始擴(kuò)散系數(shù)的對稱周期勢中的粒子輸運(yùn)問題仍然是一個(gè)懸而未決的問題，也是本研究的主題.

1 模型

考慮一個(gè)慣性布朗粒子受到時(shí)間周期力和外部偏置力的驅(qū)動(dòng)在空間周期對稱系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng).其中振幅為a，角頻率為ω的時(shí)間周期力使得系統(tǒng)處于非平衡狀態(tài).因此，粒子的欠阻尼動(dòng)力學(xué)是由阻尼系數(shù)γ(t)和熱漲落導(dǎo)致的含時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)d(t)引起的含時(shí)擴(kuò)散的朗之萬方程建模的，即

(1)

其中撇表示x的導(dǎo)數(shù).η(t)是零均值的一個(gè)高斯白噪聲<η(t)>=0，不同時(shí)刻之間存在δ關(guān)聯(lián)，即<η(t)η(t′)>=δ(t-t′).V(x)周期為L的對稱周期勢V(x)=V(x+L),勢壘高度ΔV，顯正弦形式為:

(2)

γ(t)代表含時(shí)的阻尼系數(shù)[26]，即

(3)

其中γ0是初始時(shí)刻的阻尼系數(shù)γ0=γ(0)，此外，它包含了含時(shí)的溫度T(t)，表示形式為

(4)

這里的擴(kuò)散的冪律指數(shù)α≥0，T0是初始溫度T0=T(0)，τ0表示為溫度衰減的時(shí)間特征.τ0的值越大，溫度下降得越慢.因此，在這里我們考慮由熱漲落導(dǎo)致的含時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)[26]，即

(5)

其中d0是初始擴(kuò)散系數(shù)d0=d(0).因此，在引入含時(shí)的阻尼系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，方程式(1)可重寫為：

(6)

在本文中，固定參數(shù)振幅a=4.2，角頻率ω=4.9，周期L=1，初始摩擦系數(shù)γ0=1，勢壘高度ΔV=1.

一般地，朗之萬方程(6)對應(yīng)的?？?普朗克方程是無解的.因此，為了研究相關(guān)的異常輸運(yùn)的現(xiàn)象，必須使用數(shù)值模擬方法.文中采用步長為Δt=10-2的精確的歐拉算法.速度和位移的初始條件是滿足在區(qū)間[-1,1]上的均勻分布的，所有的平均值是通過500條不同的軌道得到的，每條隨機(jī)軌道演化迭代次數(shù)為107次.此外，通過平均速度、平均軌道、均方位移以及含時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)來研究異常輸運(yùn)的特性.

2 數(shù)值模擬結(jié)果

在圖1中，描述了對于不同的初始擴(kuò)散系數(shù)D0，v作為偏置力f的函數(shù)，當(dāng)f=0時(shí)，隨著初始擴(kuò)散系數(shù)D0的增大，平均速度?v?也在增大，也就是說，隨著初始擴(kuò)散系數(shù)D0的增大，棘輪效應(yīng)在增強(qiáng).此外，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)f≠0時(shí)，隨著初始擴(kuò)散系數(shù)D0的增大，平均速度v的值也是在增大的.對于圖2，當(dāng)無偏置力(f=0)，初始擴(kuò)散系數(shù)D0在增大時(shí)，平均軌道隨著時(shí)間t的增大而增大，換句話說，平均速度隨著初始擴(kuò)散系數(shù)D0的增大而增大.這與圖1結(jié)果相一致.總之，初始擴(kuò)散系數(shù)D0增強(qiáng)了棘輪效應(yīng).

圖3中，描述了對于不同的溫度衰減的時(shí)間特征τ0，v作為偏置力f的函數(shù)，當(dāng)f=0時(shí)，隨著溫度衰減的時(shí)間特征τ0的增大，平均速度v在減小，也就是說，隨著溫度衰減的時(shí)間特征τ0的增大，棘輪效應(yīng)在減弱.此外，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)f≠0時(shí)，隨著溫度衰減的時(shí)間特征τ0的增大，平均速度v的值反而是在減小的.對于圖4，當(dāng)無偏置力(f=0)，溫度衰減的時(shí)間特征τ0在增大時(shí)，平均軌道隨著時(shí)間t的增大而減小，換句話說，平均速度隨著溫度衰減的時(shí)間特征τ0的增大而減小.這與圖3結(jié)果相一致.簡言之，溫度衰減的時(shí)間特征τ0減弱了棘輪效應(yīng).

圖5中，描述了對于不同的擴(kuò)散的冪律指數(shù)α，v作為f的函數(shù)，當(dāng)f=0時(shí)，擴(kuò)散的冪律指數(shù)α較小(取α=0.5)時(shí)，平均速度為-0.02，顯然棘輪效應(yīng)出現(xiàn)，但是當(dāng)擴(kuò)散的冪律指數(shù)較大(取α=1.0)時(shí)，隨著偏置力f的變化，擴(kuò)散的冪律指數(shù)在0附近波動(dòng)，即平均速度幾乎為零，換句話說，棘輪效應(yīng)消失，然而當(dāng)擴(kuò)散的冪律指數(shù)更大(取α=1.5)時(shí)，從圖5中的小圖很顯然發(fā)現(xiàn)有負(fù)遷移現(xiàn)象發(fā)生.圖6刻畫了當(dāng)無偏置力(f=0)時(shí)，平均軌道隨時(shí)間的變化的曲線，擴(kuò)散的冪律指數(shù)α較小(取α=0.5)時(shí)，隨著時(shí)間t的增大，平均軌道是負(fù)的，即平均速度是負(fù)值，但是隨著擴(kuò)散的冪律指數(shù)α的增大，平均軌道趨近于零，即平均速度為零.這與圖5相吻合.

τ0=10，γ0=1，α=1.5 τ0=10，γ0=1，f=0，α=1.5 圖1 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖2 平均軌道隨時(shí)間t變化的曲線

D0=10，γ0=1，α=1.5 D0=10，γ0=1，f=0，α=1.5圖3 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖4 平均軌道隨時(shí)間t變化的曲線

τ0=10，γ0=1，D0=10 τ0=10，γ0=1，D0=10，f=0圖5 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖6 平均軌道隨時(shí)間t變化的曲線

圖7中，描述了均方位移和依賴時(shí)間的擴(kuò)散系數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖.圖7(a)～ (c),通過均方位移 ?x2(t)?∝tβ來研究粒子的擴(kuò)散，對所得到的結(jié)果進(jìn)行線性擬合， 0<β<1是亞擴(kuò)散，β=1是正常擴(kuò)散， 1<β<2是超擴(kuò)散，β=2是彈道擴(kuò)散，β>2是巨擴(kuò)散.為了更好地理解粒子的擴(kuò)散性質(zhì)，我們也呈現(xiàn)了依賴時(shí)間的擴(kuò)散系數(shù)如圖7(d)～(f).從圖7(d)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)D0=0.1時(shí)，D(t)在短時(shí)間內(nèi)隨著時(shí)間的變化先減小，然后恒定不變，最后增大，即粒子先經(jīng)歷亞擴(kuò)散，然后正常擴(kuò)散，最終超擴(kuò)散；當(dāng)初始擴(kuò)散系數(shù)較大時(shí)(如D0=1，10)時(shí)，D(t)在短時(shí)間內(nèi)隨著時(shí)間的變化一直增大，即粒子經(jīng)歷超擴(kuò)散.此外，隨著初始擴(kuò)散系數(shù)D0增大，擴(kuò)散系數(shù)也在增大.圖7(e)，當(dāng)τ0=10時(shí)，D(t)在短時(shí)間內(nèi)隨著時(shí)間的變化一直增大，即粒子經(jīng)歷超擴(kuò)散；當(dāng)溫度衰減的時(shí)間特征τ0較大(如τ0=100，1 000)時(shí)，D(t)在短時(shí)間內(nèi)隨著時(shí)間的變化先增大，然后恒定不變，最后增大，即粒子先經(jīng)歷超擴(kuò)散，然后正常擴(kuò)散，最終超擴(kuò)散.此外，隨著溫度衰減的時(shí)間特征τ0增大，擴(kuò)散系數(shù)在減小.從圖7(f)，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=0.5時(shí)，D(t)在短時(shí)間內(nèi)隨著時(shí)間的變化先增大，后減小，最后增大，即粒子先經(jīng)歷超擴(kuò)散，然后亞擴(kuò)散，最終巨擴(kuò)散；當(dāng)α=1.0時(shí)，D(t)在短時(shí)間內(nèi)隨著時(shí)間的變化先增大，然后恒定不變，即粒子先經(jīng)歷超擴(kuò)散，然后正常擴(kuò)散；當(dāng)α=1.5時(shí)，D(t)在短時(shí)間內(nèi)隨著時(shí)間的變化一直在增大，即粒子經(jīng)歷超擴(kuò)散.

圖7 均方位移(上)和依賴時(shí)間的擴(kuò)散系數(shù)(下)隨時(shí)間t變化的曲線.

3 結(jié)語

借助于數(shù)值模擬研究了在空間周期對稱系統(tǒng)中慣性布朗粒子在外部偏置力和時(shí)間周期力的驅(qū)動(dòng)下的輸運(yùn)問題，進(jìn)而討論了含時(shí)的摩擦和擴(kuò)散系數(shù)對粒子異常輸運(yùn)的影響.研究結(jié)果表明：隨著初始擴(kuò)散系數(shù)D0的增大，擴(kuò)散系數(shù)在增大，棘輪效應(yīng)在增強(qiáng).然而隨著溫度衰減的時(shí)間特征τ0的增大，擴(kuò)散系數(shù)在減小，棘輪效應(yīng)在減弱.當(dāng)擴(kuò)散的冪律指數(shù)α較小時(shí)，有棘輪效應(yīng)現(xiàn)象出現(xiàn)，但是當(dāng)擴(kuò)散的冪律指數(shù)較大時(shí)，棘輪效應(yīng)消失，然而當(dāng)擴(kuò)散的冪律指數(shù)更大時(shí)，負(fù)遷移現(xiàn)象出現(xiàn).此外，不同的初始擴(kuò)散系數(shù)、溫度衰減的時(shí)間特征、擴(kuò)散的冪律指數(shù)對應(yīng)于不同的擴(kuò)散.我們的發(fā)現(xiàn)可能應(yīng)用于粒子的分類[14，27]、癌細(xì)胞的分離[28-29]、分子馬達(dá)的控制[30]以及其它微觀現(xiàn)象.