圖式表達(dá)：促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)

江蘇省南通市海門區(qū)正余小學(xué) 張 霞

所謂“圖式”，是指“一個(gè)心理活動框架或組織結(jié)構(gòu)”（皮亞杰語）。對于小學(xué)生來說，建構(gòu)一個(gè)概念，不是機(jī)械地識記概念定義，而是能理解概念的意義。只有理解了概念的意義，才能精準(zhǔn)地把握概念的內(nèi)涵與外延。圖式表達(dá)，能夠促進(jìn)學(xué)生對概念的意義建構(gòu)。

一、圖式表達(dá)：找準(zhǔn)概念的生成點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念具有二重屬性，即對象性和過程性。數(shù)學(xué)概念的對象屬性，說明了數(shù)學(xué)概念具有豐富的內(nèi)涵、外延；而數(shù)學(xué)概念的過程屬性，說明了數(shù)學(xué)概念具有豐富的背景、誕生的歷程。引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，就是要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的誕生歷程，了解數(shù)學(xué)概念的誕生背景，從而把握概念的內(nèi)涵與外延。圖式表達(dá)，首先就是要找準(zhǔn)數(shù)學(xué)概念的生成點(diǎn)。只有找到生成點(diǎn)，才能讓數(shù)學(xué)概念與學(xué)生學(xué)習(xí)有效融合。

例如，教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》（蘇教版五年級下冊），首先要讓學(xué)生建構(gòu)“單位‘1’”的概念，其次要讓學(xué)生建構(gòu)“分?jǐn)?shù)”的概念?！皢挝弧?’”的概念建構(gòu)是“分?jǐn)?shù)”概念建構(gòu)的意義起點(diǎn)。只有引導(dǎo)學(xué)生建立了“單位‘1’”的概念，才能建構(gòu)“分?jǐn)?shù)”的概念。其中，幾個(gè)對象組成的整體是“單位‘1’”概念建構(gòu)的重中之重。無論是“單位‘1’”的概念建構(gòu)還是“分?jǐn)?shù)”概念的建構(gòu)，都需要教師運(yùn)用圖式來進(jìn)行表達(dá)。比如，將一個(gè)蛋糕平均分成四份，表示其中的三份；將一米長的線段平均分成四份，表示其中的三份；將一些圖形組成的一個(gè)整體平均分成四份，表示其中的三份，等等。通過豐富的圖式，學(xué)生能對一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、許多物體組成的整體進(jìn)行抽象概括，建構(gòu)“單位‘1’”的概念。在對圖式進(jìn)行變式操作中，比如針對同樣的對象進(jìn)行不同的平均分操作，針對不同的對象進(jìn)行相同的平均分操作，能讓學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)的概念，把握分?jǐn)?shù)的基本內(nèi)涵。在這個(gè)過程中，學(xué)生能認(rèn)識到“分?jǐn)?shù)”與“平均分的份數(shù)”，即“表示的份數(shù)”相關(guān)，因而，有學(xué)生在學(xué)習(xí)中就認(rèn)為“分?jǐn)?shù)就是‘幾份之幾’”。這樣生本化的圖式表達(dá)，與“幾分之幾”的教材中的分?jǐn)?shù)表達(dá)有異曲同工之妙，即“幾分之幾”是基于分?jǐn)?shù)概念的過程性屬性表達(dá)的，而“幾份之幾”是基于分?jǐn)?shù)概念的對象性（結(jié)果性）屬性表達(dá)的。

圖式是揭示數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的有力工具，能讓學(xué)生借助視覺編碼完成文字編碼，進(jìn)而理解對象的本質(zhì)屬性。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，運(yùn)用圖式能引導(dǎo)學(xué)生主動地對概念進(jìn)行意義建構(gòu)。借助于圖式表達(dá)，能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。借助圖式表達(dá)，學(xué)生能在心里建立概念的表象，明晰概念的邏輯意義。

二、圖式表達(dá)：找準(zhǔn)概念的生長點(diǎn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，從某種意義上說，就是一個(gè)從心理圖式“不平衡”走向“平衡”的過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生要積極進(jìn)行概念的同化與順應(yīng)。圖式表達(dá)，可以促進(jìn)概念的同化與順應(yīng)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的自然生長。

比如，“高”這個(gè)數(shù)學(xué)概念是一個(gè)生長性的概念。在日常生活中，學(xué)生往往容易形成這樣的概念性迷思，即生活世界中的“豎直高”對數(shù)學(xué)世界中的“垂直高”的影響。因此，在“高”這個(gè)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程中，教師要給學(xué)生提供多樣化、變式性的圖式，從而引導(dǎo)學(xué)生舍棄概念的非本質(zhì)屬性，建立概念的本質(zhì)屬性。在蘇教版教材中，最早的“高”的概念的學(xué)習(xí)，“認(rèn)識垂線”是基礎(chǔ)，其中包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是“兩條直線相互垂直”，二是“點(diǎn)到直線的距離”。通過“直線外的一點(diǎn)向直線引一些線段，得出點(diǎn)到直線的距離最短”，從而在學(xué)生心中建立“垂直”的表象。在此基礎(chǔ)上，教師可以借助多媒體課件用旋轉(zhuǎn)的方法變換直線的位置，讓學(xué)生直觀感知到“垂直”不同于“豎直”，“垂直”不一定是向下的，“垂直”一定是兩條直線相交成直角。這就為學(xué)生學(xué)習(xí)“三角形的高”“平行四邊形的高”“梯形的高”（蘇教版四年級下冊）等奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。同樣，在學(xué)生學(xué)習(xí)“三角形的高”的概念時(shí)，教師同樣可以通過圖式變換，如“不同三角形不同底邊上的高”以及“同一三角形不同底邊上的高”等，讓學(xué)生建構(gòu)三角形的“高”的概念。對于“平行四邊形的高”“梯形的高”的概念的建構(gòu)同樣如此。教學(xué)中，教師不僅要通過正面圖式、變式圖式引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)概念，而且要通過反面圖式引導(dǎo)學(xué)生分化概念，從而讓概念的建構(gòu)更穩(wěn)固、更牢靠。

圖式表達(dá)有助于學(xué)生把握概念的本質(zhì)屬性，從而能讓概念的內(nèi)涵、外延精致化、精準(zhǔn)化。圖式表達(dá)可以是動作圖式的表達(dá)，也可以是言語圖式的表達(dá)。而外在圖式表達(dá)的根本目的是建立學(xué)生內(nèi)在的表象圖式、思維圖式以及想象圖式。只有當(dāng)學(xué)生建立了內(nèi)在的圖式，學(xué)生才能在心理上把握概念的內(nèi)涵以及外延，理解概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、圖式表達(dá)：找準(zhǔn)概念的生發(fā)點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念與概念之間存在著關(guān)聯(lián)。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生通過概念的建構(gòu)認(rèn)識概念的本質(zhì)，更要通過概念的關(guān)聯(lián)認(rèn)識概念的本質(zhì)。一個(gè)概念，只有放置到概念系、概念群、概念網(wǎng)之中才能獲得真正的理解。因此，圖式表達(dá)不僅要重視概念的生成、生長，還要重視概念的生發(fā)，通過概念的生發(fā)，讓學(xué)生把握概念結(jié)構(gòu)，建構(gòu)概念體系。

借助圖式表達(dá)，能讓概念有效地納入概念結(jié)構(gòu)、概念體系。借助概念結(jié)構(gòu)、體系，學(xué)生能明確概念與概念之間的因果關(guān)系、屬種關(guān)系等。比如，教學(xué)《平行四邊形的認(rèn)識》（蘇教版四年級下冊）時(shí)，對于“平行四邊形”這樣一個(gè)概念，教師不僅要呈現(xiàn)“一般平行四邊形”的圖式，更要呈現(xiàn)“特殊平行四邊形，如長方形、菱形、正方形”的圖式，通過不同的圖形圖式，引導(dǎo)學(xué)生辨析“長方形是否是平行四邊形”“菱形是否是平行四邊形”“正方形是否是平行四邊形”等。通過圖式比較，學(xué)生從平行四邊形的“兩組對邊分別平行”或者“一組對邊平行且相等”等特質(zhì)出發(fā)，建構(gòu)“長方形”“菱形”以及“正方形”的概念。比如，從平行四邊形到長方形的圖式引領(lǐng)，學(xué)生認(rèn)識到“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是長方形”，進(jìn)而認(rèn)識到“有三個(gè)角是直角的四邊形是長方形”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念的生發(fā)是相互的，如從平行四邊形到正方形，從長方形到正方形，從菱形到正方形，學(xué)生認(rèn)識到，“有一組鄰邊相等的長方形是正方形”“有一個(gè)角是直角的菱形是正方形”“有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形”等等。借助圖式表達(dá)，數(shù)學(xué)概念相互生發(fā)，進(jìn)而建構(gòu)了平行四邊形的家族性概念體系。

學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的過程是一個(gè)由淺入深、由此及彼、由表及里的逐步深化過程。圖式表達(dá)契合了學(xué)生的心理特點(diǎn)和年齡特征，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)重要的工具、手段和方法。借助圖式表達(dá)，學(xué)生不僅能建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，形成概念的本質(zhì)性理解，而且能有效地完善數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)，形成概念的結(jié)構(gòu)性理解。教師要充分發(fā)揮圖式的導(dǎo)學(xué)功能，不斷發(fā)展學(xué)生的概念建構(gòu)力，提升學(xué)生的概念理解力，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生與數(shù)學(xué)概念的意義融通。