傾聽思考的聲音
——數(shù)學(xué)思考的內(nèi)涵探究與成長(zhǎng)實(shí)踐

江蘇省蘇州市吳江區(qū)梅堰實(shí)驗(yàn)小學(xué) 沈明榮

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)內(nèi)涵在于數(shù)學(xué)思考力有無真正的生長(zhǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在一個(gè)個(gè)問題的解決中起步的，但更需要的是起步后持續(xù)走下去的思考路程?？梢哉f，沒有數(shù)學(xué)思考，就沒有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)思考類似于數(shù)學(xué)本體與頭腦本體的和諧互動(dòng)，透過數(shù)學(xué)思考的“頭腦泵”，學(xué)生訓(xùn)練自己的數(shù)學(xué)頭腦肌肉，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)頭腦網(wǎng)絡(luò)，架構(gòu)自己的數(shù)學(xué)頭腦模型，并在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候展示出這種數(shù)學(xué)思考帶來的價(jià)值和魅力。數(shù)學(xué)思考指向了學(xué)生頭腦深處最需要學(xué)習(xí)和磨練的區(qū)間，它構(gòu)建了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和操練的路徑屬性，使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變得綿長(zhǎng)而深刻，使學(xué)數(shù)學(xué)的人更立體而充實(shí)。

一、數(shù)學(xué)思考的內(nèi)涵

思考是針對(duì)某一個(gè)或多個(gè)對(duì)象進(jìn)行分析、綜合、推理、判斷等思維的活動(dòng)，是頭腦對(duì)外在和內(nèi)置事物本質(zhì)屬性和規(guī)律的內(nèi)在關(guān)照和外在闡釋。筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)思考是對(duì)數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象外在和內(nèi)涵科學(xué)性、規(guī)律性和反思性的整體把握和學(xué)習(xí)，是間接、深刻和機(jī)智的數(shù)學(xué)頭腦運(yùn)作，是數(shù)學(xué)思維過程、數(shù)學(xué)思想運(yùn)作和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累反思。它具有一定的路徑性，也包含具體的目標(biāo)性。數(shù)學(xué)思考滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面，影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神層次。數(shù)學(xué)思考強(qiáng)調(diào)了作為頭腦參與數(shù)學(xué)思考的路徑作用，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深刻化頭腦作用。不同的數(shù)學(xué)思考就是一條條不同的路，或者就是一條條問題解決之路的假設(shè)。數(shù)學(xué)思考類似于間接、深刻的數(shù)學(xué)頭腦運(yùn)作過程。而思考的熟絡(luò)經(jīng)驗(yàn)則顯現(xiàn)出學(xué)習(xí)者本身的思考基層和逐步累積的數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)思考具有挖掘外在表征，推進(jìn)發(fā)現(xiàn)表象中的內(nèi)象的作用。

對(duì)于數(shù)學(xué)思考，有三點(diǎn)理解很重要：一是數(shù)學(xué)思考不等同于數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想主要是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。而數(shù)學(xué)思考是指針對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)問題進(jìn)行分析、綜合、推理、判斷等思維的活動(dòng)過程。它是一段數(shù)學(xué)思想碰撞形成的過程。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思考的衍生品，沒有思考就沒思想。二是數(shù)學(xué)思考不等同于數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思考包括數(shù)學(xué)思維，在概念的外延上比思維的范圍更寬泛。思維是對(duì)本質(zhì)和規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，一種科學(xué)的思考過程。而數(shù)學(xué)思考就沒那么高級(jí)和嚴(yán)苛，有關(guān)數(shù)學(xué)的外在和靈魂的頭腦活動(dòng)都可以看作是數(shù)學(xué)思考，包括淺層次的數(shù)學(xué)選擇、數(shù)學(xué)加工和思考反思等內(nèi)在頭腦活動(dòng)路徑和頭腦網(wǎng)路運(yùn)作品質(zhì)。三是數(shù)學(xué)思考在數(shù)學(xué)的世界里是下位的，思維是中位的，思想是上位的。無序散狀的有關(guān)數(shù)學(xué)頭腦活動(dòng)都可用于思考或它直接就是一種思考。數(shù)學(xué)思考的作用不同于數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)的思考更利于構(gòu)建數(shù)學(xué)血脈。建立數(shù)學(xué)血脈是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種實(shí)踐要求，是一種學(xué)習(xí)的思維路徑和數(shù)學(xué)智慧產(chǎn)生的源頭。數(shù)學(xué)思考可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)血脈，并對(duì)數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行思考和解決。

二、數(shù)學(xué)思考的成長(zhǎng)實(shí)踐

（一）指向數(shù)學(xué)思考的精神成長(zhǎng)實(shí)踐

豐富的數(shù)學(xué)思考需要質(zhì)感的數(shù)學(xué)精神去灌溉。沒有鮮活數(shù)學(xué)精神的人很難有著質(zhì)體的數(shù)學(xué)思考。為此，在實(shí)際的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)用飽含精神的語言去引導(dǎo)學(xué)生走入問題解決的數(shù)學(xué)夢(mèng)中，逐漸帶領(lǐng)著孩子自愿、自信和自省地搭建一層層的數(shù)學(xué)思考鏈，在一次次的思考搭建中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的精神成長(zhǎng)。具體體現(xiàn)在：

1.理性精神長(zhǎng)出理性數(shù)學(xué)思考。富有理性精神的引導(dǎo)問題言語最能啟發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的理性思考，在教師的一環(huán)環(huán)轉(zhuǎn)化中改變學(xué)生的思考路徑，促進(jìn)其思考能力的發(fā)展。如在《平行四邊形面積的推導(dǎo)及計(jì)算》一課中，教師從兩個(gè)不規(guī)則圖形的面積引入，隨后在教學(xué)中不斷用核心問題來引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考：這兩個(gè)圖形的面積相等嗎？你是怎么知道的？這個(gè)平行四邊形的面積是多少？你是怎樣轉(zhuǎn)化的？轉(zhuǎn)化前后什么變了，什么沒有變？為什么要沿著高來剪？是不是所有的平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形與轉(zhuǎn)化前的平行四邊形有什么關(guān)系？根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法，平行四邊形的面積該怎么算呢？我們剛才是怎樣推導(dǎo)出平行四邊形面積計(jì)算公式的？一個(gè)個(gè)引導(dǎo)性問題就像一顆顆珍珠，串起了一條指向核心本質(zhì)要義的美麗項(xiàng)鏈，避免學(xué)生非理性地不想關(guān)鍵地方而糊涂地散漫思考。問題解決的理性就會(huì)帶來數(shù)學(xué)思考的順暢與合序，從而避免少部分學(xué)生陷入數(shù)學(xué)非理性思考的“沼澤地”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起初或許還有些感性的色彩，但深入下去的時(shí)候必定是理性的世界。

2.求實(shí)精神長(zhǎng)出實(shí)效數(shù)學(xué)思考。數(shù)學(xué)是來不得半點(diǎn)虛偽的地方。數(shù)學(xué)如此，數(shù)學(xué)思考的精神更是如此了。如在《分米和毫米》的教學(xué)中有個(gè)實(shí)踐活動(dòng)題，講的是蒜葉生長(zhǎng)情況記錄。記得布置下去的時(shí)候，講清要種大蒜，仔細(xì)觀察，最后就發(fā)現(xiàn)好多孩子一周每天的毫米數(shù)都是一樣的。這樣的結(jié)果肯定是有問題的。之后，引導(dǎo)學(xué)生每人帶大蒜來班上，就種在自己的旁邊，每天有時(shí)間記錄，這才剎住班上數(shù)學(xué)記錄不正之風(fēng)。數(shù)學(xué)的思考是伴隨數(shù)學(xué)的生活實(shí)踐的。就簡(jiǎn)單的長(zhǎng)度統(tǒng)計(jì)而言，倘若刮起了虛假風(fēng)，那學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的附屬精神衍生品就是有問題的?，F(xiàn)實(shí)反映思考，思考的正派真實(shí)也能使得現(xiàn)實(shí)的歸來。

3.創(chuàng)造精神長(zhǎng)出創(chuàng)新數(shù)學(xué)思考。學(xué)生是屬于未來的，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考也應(yīng)是面向未來的。而未來是新的，而非循規(guī)蹈矩的舊。為此，教師的教學(xué)就需要借著各樣的小意外來打破學(xué)生固有的思考路徑，從而突破演化出一種新的思考方向和路徑。如教授《認(rèn)識(shí)角》突破“角的大小和邊的長(zhǎng)短無關(guān)”這一難點(diǎn)的時(shí)候，教師直接拿剪刀剪去大紅角邊的一段，就在這剪刀一剪而落的當(dāng)下，教師隨即問：“紅角變大了沒？”學(xué)生的數(shù)學(xué)思考隨著感官和頭腦的運(yùn)作，得出原來邊的長(zhǎng)短不會(huì)影響角的大小。這一難點(diǎn)也在這一剪中剪去了學(xué)生心中的疑惑，堅(jiān)定了學(xué)生的思考。此外，學(xué)生學(xué)的不光是知識(shí)，更是教師的創(chuàng)新影響。為此，循規(guī)蹈矩的課固然不會(huì)有事，但有時(shí)不去逾越可以逾越的數(shù)學(xué)思考邊界就是一種落后。

（二）指向數(shù)學(xué)思考的思維成長(zhǎng)實(shí)踐

1.豐富數(shù)學(xué)思考的直接性思維教學(xué)。小學(xué)低中年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方式是以具象化和直接性為主的。為此，教師的數(shù)學(xué)思考教學(xué)就必須以學(xué)定教，用學(xué)生便于理解的方式和形式來支撐學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，在學(xué)生思考的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)大做文章。教學(xué)《認(rèn)識(shí)方向》：小剛家在圖書館的南面600 米，小芳家在圖書館的北面700 米，小剛家到小芳家一共多少米？教學(xué)時(shí)就用畫線段圖的方法表示出來：兩家分別在圖書館的兩側(cè)，圖書館在中間。清晰的圖一眼就能讓學(xué)生知道這是一個(gè)應(yīng)該用加法計(jì)算的題目。當(dāng)然，問題的解決是次要的，其間用到的轉(zhuǎn)化方法和思維方式才是主要的。

2.豐富數(shù)學(xué)思考的操作性理解教學(xué)。數(shù)學(xué)思考的過程畢竟是隱性的，難以具象的。而操作性的理解過程則能很好地將這看不見的過程變成看得見的過程。因?yàn)閷W(xué)生所做的就是他所想的。比如在教《認(rèn)識(shí)角》的時(shí)候，在初步認(rèn)識(shí)角的環(huán)節(jié)中，教師先讓學(xué)生摸一摸尖點(diǎn)，問：“這是角嗎？”學(xué)生說：“不是?！边M(jìn)而教師再讓學(xué)生從尖點(diǎn)開始分別往兩邊摸，感受邊的本質(zhì)，隨后讓生說說感受、想法，最后讓學(xué)生閉上眼睛在頭腦中想一想。這一整條鏈的設(shè)置，牢固地把學(xué)生關(guān)于角特征與形狀的思考深深地變成了模型錨沉淀在了學(xué)生的腦海里。為此，思考不光是純腦力勞動(dòng)，有時(shí)恰當(dāng)?shù)牟僮鲗?duì)于思考的深化和升華是很有益的。

3.豐富數(shù)學(xué)思考的成長(zhǎng)性生成教學(xué)。數(shù)學(xué)思考是有生命的成長(zhǎng)體，不是一道道無生命的數(shù)學(xué)題。為此，數(shù)學(xué)中解決種種的變式問題就成了鍛煉數(shù)學(xué)思考的有效路徑，可以讓學(xué)生形成較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維，成為提煉數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵戰(zhàn)場(chǎng)。學(xué)習(xí)《數(shù)的次方》，教師引出這樣一個(gè)問題：國王重賞一個(gè)功臣，功臣提出：“請(qǐng)您在這張國際象棋的第一個(gè)小格內(nèi)賞給我一粒麥子，第二個(gè)小格內(nèi)賞兩粒，第三個(gè)小格內(nèi)賞四粒，依此類推，接下去的每一小格中賞的麥子都是前面的2 倍。陛下，棋盤上所有64 格都擺好后，您就把這些麥子賞給我吧？”……教師提出國王能兌現(xiàn)承諾嗎？有的學(xué)生說能，有的說不能。隨即實(shí)踐驗(yàn)證，最后證明是不可能的。因?yàn)椋?+2+4+8+……=18446744073709551615(粒)。對(duì)于國王來說，這是一個(gè)天大的數(shù)字。從嘗試到最終的證明，從數(shù)學(xué)思考到數(shù)學(xué)成長(zhǎng)，教學(xué)有時(shí)是需要跳出教材教教材的，或者說是站在教材的基礎(chǔ)上基于教材的超越教材。

扣問數(shù)學(xué)思考的內(nèi)涵本質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)需要數(shù)學(xué)思考的理性回歸，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中生命成長(zhǎng)的本真樣態(tài)。