基于周期事件觸發(fā)的多智能體系統(tǒng)平均一致性

張忠藝，徐冬梅

（上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620）

0 引言

在過(guò)去的10 年中，網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)在學(xué)術(shù)研究和工程領(lǐng)域中受到廣泛研究。網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的一個(gè)重要分類(lèi)就是多智能體系統(tǒng)，是由多個(gè)具有感知、通信、計(jì)算和執(zhí)行能力的智能體組成的系統(tǒng)，所有智能體通過(guò)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥M(jìn)行信息交互，從而完成復(fù)雜的任務(wù)。該領(lǐng)域的研究方向包括平均一致性、群集問(wèn)題、編隊(duì)控制、區(qū)域覆蓋問(wèn)題等［1－3］。

一致性是指通過(guò)設(shè)計(jì)合理的控制協(xié)議，所有智能體的狀態(tài)和速度都逐漸達(dá)到一個(gè)共同的值，這是多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制的基礎(chǔ)。在實(shí)際系統(tǒng)中，智能體的資源，通信和執(zhí)行能力通常受到限制，因此設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂茀f(xié)議，盡可能減少資源消耗非常重要。為了解決上述問(wèn)題，傳統(tǒng)的處理方式是周期采樣控制，即事先確定好采樣時(shí)刻，而不是動(dòng)態(tài)的根據(jù)智能體的狀態(tài)、時(shí)間確定，這種方式在一定程度上降低了計(jì)算和通信成本，具有局限性，當(dāng)連續(xù)兩次采樣數(shù)據(jù)間僅有微小變化或者臨近收斂狀態(tài)時(shí)刻時(shí)，會(huì)造成不必要的資源浪費(fèi)，從而縮短系統(tǒng)的使用壽命，而且基于周期采樣控制得到的大多數(shù)采樣數(shù)據(jù)都是多余的，對(duì)多智能體系統(tǒng)達(dá)到一致性沒(méi)有什么幫助，為了解決上述不足，事件觸發(fā)控制方法應(yīng)運(yùn)而生［4－5］?；谏鲜龅膬?yōu)點(diǎn)，事件觸發(fā)控制被廣泛應(yīng)用到多智能體一致性的研究中，其中主要分為集中式事件觸發(fā)和分布式事件觸發(fā)兩種算法。集中式事件觸發(fā)機(jī)制的本質(zhì)就是為系統(tǒng)里的所有智能體設(shè)計(jì)一個(gè)共同的誤差和閾值，也就是共用相同的事件觸發(fā)條件。當(dāng)系統(tǒng)的整體誤差達(dá)到設(shè)定的閾值時(shí)，所有智能體同時(shí)觸發(fā)一次事件，并且同時(shí)更新所有智能體的控制輸入，可以看出每個(gè)智能體的觸發(fā)時(shí)刻都是相同的，即共用一套觸發(fā)時(shí)刻序列［6］。然而分布式事件觸發(fā)機(jī)制的本質(zhì)就是為系統(tǒng)里的每個(gè)智能體設(shè)計(jì)一個(gè)事件觸發(fā)條件，每個(gè)智能體自己判斷決定是否觸發(fā)一次事件，并且僅僅更新自己的控制輸入，至于鄰居的控制輸入則保持不變?？梢钥闯龇植际绞录|發(fā)機(jī)制中每個(gè)智能體都擁有一套特有的觸發(fā)時(shí)刻序列。與集中式事件觸發(fā)機(jī)制相比而言，分布式事件觸發(fā)機(jī)制可以有效地減少智能體之間的通訊交流，進(jìn)一步減少了通信資源的消耗［7－9］。Zhu 等人通過(guò)事件觸發(fā)機(jī)制研究了二階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題［10］；隨后研究學(xué)者們開(kāi)始運(yùn)用事件觸發(fā)機(jī)制來(lái)分析一般線性多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題［11－12］；Zhu等人考慮了一般線性多智能體系統(tǒng)在具有輸入時(shí)間延遲的情況下，對(duì)于每個(gè)智能體的控制輸入更新設(shè)置都是基于事件的，并且為了實(shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)－跟隨一致性提出了一個(gè)必要條件和兩個(gè)充分條件［13］；Wang等人研究了基于事件觸發(fā)機(jī)制的混合多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，即在離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間下的動(dòng)態(tài)個(gè)體構(gòu)成了一個(gè)混合多智能體群，同時(shí)也提出一個(gè)自觸發(fā)控制算法來(lái)避免對(duì)事件觸發(fā)條件的連續(xù)監(jiān)測(cè)［14］。

在事件觸發(fā)控制中，觸發(fā)條件設(shè)計(jì)得是否合理往往取決于能否有效地避免Zeno 現(xiàn)象，Zeno 現(xiàn)象是指事件在有限時(shí)間內(nèi)被觸發(fā)無(wú)數(shù)次，這在現(xiàn)實(shí)中是不可行的。因此周期事件觸發(fā)控制應(yīng)運(yùn)而生，其是一種結(jié)合周期采樣和事件觸發(fā)控制的機(jī)制，周期性的對(duì)事件觸發(fā)條件進(jìn)行檢測(cè)，任意兩次觸發(fā)時(shí)刻的間隔存在一個(gè)正的下界，避免了Zeno 現(xiàn)象。Meng 等人研究了基于周期事件觸發(fā)機(jī)制的一階多智能體系統(tǒng)平均一致性問(wèn)題，所提出的事件觸發(fā)條件需要在所有檢測(cè)時(shí)刻進(jìn)行狀態(tài)信息更新。在此過(guò)程中，每個(gè)智能體需要接收其鄰居智能體的狀態(tài)信息，并將其自身的狀態(tài)信息發(fā)送給其鄰居智能體，從而導(dǎo)致了大量的通信次數(shù)和系統(tǒng)資源消耗［15］。

基于上述，本文研究了基于周期事件觸發(fā)機(jī)制的一階多智能體系統(tǒng)的平均一致性問(wèn)題，設(shè)計(jì)一個(gè)新的事件觸發(fā)條件，使用事件觸發(fā)狀態(tài)作為閾值，縮小每個(gè)智能體在每個(gè)采樣瞬間都必須與其鄰居智能體通信的需求。因此，只有在事件發(fā)生的瞬間，一個(gè)智能體才會(huì)把其狀態(tài)信息傳遞給其鄰居，進(jìn)而減少了控制輸入的更新次數(shù)，減少了資源消耗，并且采樣周期選擇范圍更小，提高采樣精確性。

1 相關(guān)知識(shí)

1.1 圖論知識(shí)

在多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制中，通常假設(shè)每個(gè)智能體通過(guò)智能體之間的通信來(lái)獲得其它智能體的狀態(tài)信息，通信網(wǎng)絡(luò)可以用通信圖來(lái)表示。記G ＝（V，E，A）表示有n個(gè)智能體的無(wú)向通信圖，其中V＝{1，2，…，n} 表示n個(gè)智能體，E?V × V表示智能體之間的通信連接。如果vi vj∈E是一條邊，則智能體vi和vj是相鄰的，或者說(shuō)智能體vj是vi的一個(gè)鄰居。類(lèi)似的，智能體vi的鄰居Ni可以定義為Ni＝{j ｜vi vj∈E，j≠i}，在無(wú)向圖G中，如果對(duì)于任意兩個(gè)智能體v1，v2總存在一條路徑從v1到v2且從v2到v1，就稱(chēng)該無(wú)向圖為無(wú)向連通圖。

矩陣A ＝（aij）∈Rn×n是無(wú)向圖G的相鄰矩陣，表示各智能體之間的連接關(guān)系，定義為式（1）：

根據(jù)智能體vi的度di定義圖G的度矩陣D，式（2）：

度矩陣D是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素di是智能體vi的鄰居總數(shù)。在圖論中，一個(gè)重要工具是Laplacian 矩陣L，定義為：L ＝D－ A。在無(wú)向圖G中，Laplacian 矩陣L是對(duì)稱(chēng)且半正定矩陣，即L ＝LT≥0，因此其特征值都是非負(fù)數(shù)，記為0 ≤λ1≤λ2≤…≤λn，而且至少有一個(gè)特征值λ1＝0，且其對(duì)應(yīng)的特征向量是全1 向量，即＝，其中1n ＝（1，1，…1）T，0n ＝（0，0，…0）T。如果圖G是無(wú)向連通圖，則λ2＞0，記為0＝λ1＜λ2≤…≤λn，第二個(gè)特征值λ2又稱(chēng)為圖的代數(shù)連通度，λn是Laplacian 矩陣L的最大特征值。

1.2 相關(guān)引理

引理1［8］

其中λ2（L）和λn（L）分別是Laplacian 矩陣L的第二小特征值和最大特征值。

引理2［15］對(duì)于半正定矩陣A∈Rn×n，?a，b∈Rn，有，其中，Rn表示n維實(shí)向量構(gòu)成的集合。

1.3 系統(tǒng)模型

考慮具有n個(gè)智能體的系統(tǒng)，其中每個(gè)智能體都有能力進(jìn)行計(jì)算，移動(dòng)和相互通信。每個(gè)智能體的狀態(tài)遵循動(dòng)態(tài)方程（4）：

式中：xi（t）∈Rn表示第i個(gè) 智 能體的狀態(tài)，ui(t) 表示第i個(gè)智能體的控制輸入。

系統(tǒng)中智能體之間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以由一個(gè)無(wú)向圖G ＝（V，E，A）來(lái)表示，在許多現(xiàn)有的關(guān)于一致性問(wèn)題的著作中，一個(gè)簡(jiǎn)單的控制律設(shè)計(jì)如式（5）：

則系統(tǒng)的閉環(huán)控制方程（6）為：

寫(xiě)成向量形式有，其中x ＝(x1，x2，…，xN)T是所有智能體的列向量，L是圖G的Laplacian 矩陣。如果圖G是連通的，則系統(tǒng)中的所有智能體狀態(tài)將逐漸收斂到每個(gè)智能體的初始狀態(tài)的平均值，即為。

2 周期事件觸發(fā)一致性

基于周期事件觸發(fā)機(jī)制研究一階多智能體系統(tǒng)的平均一致性問(wèn)題，其觸發(fā)原理流程圖如圖1 所示。

圖1 周期事件觸發(fā)控制Fig.1 Periodic event－triggered control

即預(yù)先設(shè)定一個(gè)固定采樣周期為h的采樣點(diǎn)，所有智能體的采樣時(shí)間是同步的，并且每個(gè)智能體僅在采樣點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)，所以事件觸發(fā)時(shí)刻也就僅發(fā)生在采樣點(diǎn)上，因此該驅(qū)動(dòng)機(jī)制保證了≥h，h ＞0，有效地避免了Zeno 行為，并且符合數(shù)字設(shè)備帶有采樣周期的特性。該機(jī)制減少相鄰智能體之間的通信，降低每個(gè)智能體的事件檢測(cè)能耗，并且保持了平均一致性。因此，在每個(gè)智能體上都配置了一個(gè)事件檢測(cè)器，用于確定何時(shí)應(yīng)該使用采樣的本地信息來(lái)更新其自身及其鄰居的控制操作。采樣時(shí)刻設(shè)計(jì)如下：t ＝mh，m ＝0，1，… 在控制器設(shè)計(jì)中，采用了事件觸發(fā)方案，減少了資源消耗，進(jìn)一步要求每個(gè)智能體只在指定的事件時(shí)間瞬間更新其控制輸入，，…。由于采用了周期采樣策略，事件只能在采樣時(shí)間瞬間發(fā)生，也就是0，1，…。其一致性協(xié)議（7）：

系統(tǒng)的閉環(huán)控制方程（8）為：

系統(tǒng)的測(cè)量誤差為式（9）：

測(cè)量誤差表示智能體i的最新事件觸發(fā)狀態(tài)與最新采樣狀態(tài)之間的差值。為了便于事件設(shè)計(jì)，定義列向量x(t)＝（x1(t)，…，xN(t) ）T，e(t)＝（e1(t)，…，eN(t) ）T，結(jié)合的定義，在內(nèi)，系統(tǒng)的閉環(huán)控制方程（10）可以定義如下：

L是通信圖G的Laplacian 矩陣，上式的等式可以寫(xiě)成這樣的緊湊形式（11）：

因?yàn)榭刂戚斎朐趦蓚€(gè)連續(xù)的采樣時(shí)間內(nèi)為常數(shù)，可以得到式（12）：

當(dāng)智能體的測(cè)量誤差的絕對(duì)值達(dá)到預(yù)設(shè)定的閾值時(shí)，就會(huì)引起事件觸發(fā)，并且引起智能體控制器更新。提出事件觸發(fā)條件（13）：

根據(jù)本文提出的事件觸發(fā)條件，可以看出這個(gè)閾值是非連續(xù)的，僅在事件觸發(fā)時(shí)刻更新，避免了對(duì)其鄰居狀態(tài)的連續(xù)測(cè)量，在實(shí)際中極大地減少了資源消耗。智能體i僅僅在自身的事件觸發(fā)時(shí)刻發(fā)送狀態(tài)和在鄰居的事件觸發(fā)時(shí)刻接收鄰居狀態(tài)時(shí)與其鄰居通信。如果事件觸發(fā)條件（13）不滿足時(shí)，那么智能體i不需要進(jìn)行任何操作，忽略當(dāng)前采樣狀態(tài)；如果滿足事件觸發(fā)條件（13）時(shí)，智能體i將執(zhí)行控制輸入更新，并且發(fā)送自己的狀態(tài)信息給鄰居智能體，更新其控制輸入，同時(shí)重置測(cè)量誤差為0，即，事件觸發(fā)判斷條件得以再次滿足。

定義多智能體的平均狀態(tài)為式（14）：

考慮圖G是無(wú)向連通圖，因?yàn)長(zhǎng)aplacian 矩陣的特征值λ1＝0 對(duì)應(yīng)的特征向量為全1 向量，即＝，將其應(yīng)用在公式（11）和（14）得到多智能體的平均狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)為式（15）：

所以多智能體的平均狀態(tài)是不變的常數(shù)，且等于初始狀態(tài)的平均值，即式（16）：

為了描述多智能體系統(tǒng)的平均一致性收斂性能，定義非一致向量σ（t），式（17）：

當(dāng)t→∞時(shí)，如果xi（t）→（i ＝1，2，…，n），則，所以多智能體系統(tǒng)是平均一致收斂的。

考慮一個(gè)無(wú)向連通圖G，現(xiàn)在將使用Lyapunov函數(shù)方法為多智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)氖录??？紤]如下Lyapunov函數(shù)（18）：

定理1考慮一組具有動(dòng)態(tài)方程（4）的n個(gè)智能體組成的系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的通信圖G是無(wú)向連通圖時(shí)，若條件（19）成立，其中λn是Laplacian矩陣L的最大特征值，則采用一致性協(xié)議（7）的系統(tǒng)（4）在事件觸發(fā)條件（13）下，所有智能體狀態(tài)將漸進(jìn)收斂至其初始平均狀態(tài)。

證明考慮函數(shù)（18）在t∈[mh，mh ＋h) 時(shí)間段內(nèi)得到V(t) 的導(dǎo)數(shù)：

因?yàn)樵趖∈[mh，mh ＋h) 上，(t－ mh) ≤h，再由引理1 得，式（20）：

現(xiàn)在設(shè)是最新采樣時(shí)間mh之上或者之前的智能體i的最新事件觸發(fā)時(shí)刻，定義事件觸發(fā)狀態(tài)，則有式（21）：

將（22）代入到（20）中，得：

由引理2 得式（24）：

將不等式（24）代入（23）中，得式（25）：

結(jié)合事件觸發(fā)條件（13）得到式（26）：

因?yàn)檫@是個(gè)無(wú)向連通圖，E ＝｛x∈Rn ｜(t)＝0｝＝span｛1n｝，由于Lasalle 不變定理可知，閉環(huán)控制方程（8）是漸進(jìn)穩(wěn)定的，所以多智能體系統(tǒng)是平均一致收斂的。

3 仿真實(shí)例

通過(guò)一些仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)得出的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

考慮在固定無(wú)向連通圖下一個(gè)由4 個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)。圖2 是通信拓?fù)鋱D，其對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣為：

圖2 通訊拓?fù)鋱DFig.2 Communication topology

通過(guò)計(jì)算，矩陣L的最大特征值λn ＝4，為滿足條件（19），多智能體系統(tǒng)的檢測(cè)周期設(shè)置為h ＝0.002，每個(gè)智能體的事件觸發(fā)條件參數(shù)分別設(shè)置為：β1＝0.06，β2＝0.02，β3＝β4＝0.033。智能體的初始狀態(tài)設(shè)置為x0＝[0.3－0.2 0.2－0.3]T。

在基于一致性協(xié)議（7）下，圖3 是多智能體狀態(tài)軌跡，可以看出所有多智能體的狀態(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)漸進(jìn)收斂到一致，實(shí)現(xiàn)了平均一致性。

圖3 多智能體狀態(tài)軌跡Fig.3 The state trajectory of multi－agent

多智能體的事件觸發(fā)時(shí)刻，由于采用了周期事件觸發(fā)機(jī)制，可以看出智能體的觸發(fā)時(shí)刻是異步的，并且每個(gè)智能體的觸發(fā)時(shí)刻也是非周期的，如圖4所示。

圖4 多智能體事件觸發(fā)時(shí)刻Fig.4 Event－triggered times of multi－agent

多智能體非一致向量范數(shù)的變化曲線如圖5 所示，可以看出當(dāng)t→∞時(shí)，0，可以看出所有智能體都趨于其初始狀態(tài)的平均值，實(shí)現(xiàn)了平均一致性。

圖5 非一致向量范數(shù)Fig.5 Norm of the disagreement vector

智能體1 的事件觸發(fā)條件曲線如圖6 所示，其它3 個(gè)智能體的事件觸發(fā)條件曲線與圖6 類(lèi)似。在內(nèi)，隨著測(cè)量誤差越來(lái)越大，當(dāng)滿足觸發(fā)條件（13）的時(shí)候，一個(gè)事件觸發(fā)了，則當(dāng)前采樣狀態(tài)成為新的觸發(fā)狀態(tài)，即，同時(shí)將測(cè)量誤差置于0。

圖6 智能體1 的事件觸發(fā)條件Fig.6 Event－triggered condition of agent 1

多智能體事件觸發(fā)次數(shù)見(jiàn)表1，可以看出在相同的系統(tǒng)中，相比較傳統(tǒng)使用的事件觸發(fā)條件，采用本文提出的事件觸發(fā)條件能顯著減少每個(gè)智能體的事件觸發(fā)次數(shù)，進(jìn)而減少了控制輸入的更新次數(shù)和系統(tǒng)對(duì)資源的消耗。

表1 多智能體事件觸發(fā)次數(shù)Tab.1 Event－triggered number of multi－agent

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)一階多智能體系統(tǒng)，其通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為無(wú)向連通圖，通過(guò)引入了周期事件觸發(fā)機(jī)制及其一致性協(xié)議，避免了Zeno 現(xiàn)象，同時(shí)提出了一個(gè)新穎的事件觸發(fā)條件，其觸發(fā)條件的閾值是依賴(lài)于事件觸發(fā)狀態(tài)而不是采樣狀態(tài)，所以不用在每個(gè)采樣時(shí)刻對(duì)閾值進(jìn)行更新，進(jìn)而減少了智能體之間的通信次數(shù)和控制輸入的更新次數(shù)，在實(shí)際系統(tǒng)中極大地減少了資源消耗。今后將在二階動(dòng)力學(xué)方程和線性動(dòng)力學(xué)方程下繼續(xù)研究周期事件觸發(fā)機(jī)制。