小學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗積累的六個環(huán)節(jié)

趙瑞生

摘 要 唯有積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，才會形成高質(zhì)量的“四基”教學。一次完整的數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累過程，可以按照激活經(jīng)驗、獲取經(jīng)驗、外化經(jīng)驗、內(nèi)化經(jīng)驗、反思經(jīng)驗、應用經(jīng)驗這六個環(huán)節(jié)依次展開，這是小學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗的有效路徑。

關(guān)鍵詞 小學生 數(shù)學 基本活動經(jīng)驗

《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》明確提出“四基”，要求掌握基礎知識，訓練基本技能，積累基本活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學基本思想。數(shù)學基本活動經(jīng)驗是其它“三基”形成的源泉;其它“三基”呈現(xiàn)的是形式化、理性、關(guān)于結(jié)果的知識，而數(shù)學基本活動經(jīng)驗呈現(xiàn)的是情境化、感性、關(guān)于過程的知識。雖然它們各自強調(diào)了數(shù)學知識的不同側(cè)面，但只有兩者的有機融合才能形成完整的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。因此，只有積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，才會形成高質(zhì)量的“四基”教學。

數(shù)學基本活動經(jīng)驗是針對學習目標，學生在親自“做數(shù)學”的過程中獲得的直接經(jīng)驗。這樣的經(jīng)驗具有知識性、動作技能性、情緒體驗性和觀念性等成分[1]（本文側(cè)重于知識性成分的形成），具有鮮明的個性特征，體現(xiàn)出學生對數(shù)學的真實理解。一次完整的數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累過程，按照激活經(jīng)驗、獲取經(jīng)驗、外化經(jīng)驗、內(nèi)化經(jīng)驗、反思經(jīng)驗、應用經(jīng)驗這六個環(huán)節(jié)依次展開。

一、激活經(jīng)驗

激活經(jīng)驗是針對新知識，創(chuàng)設情境，運用提問、激趣、操作等手段，從學生熟悉的事例或經(jīng)歷入手，喚醒學生儲備的已有經(jīng)驗。學生的數(shù)學學習，是在特定的情境中主動運用已有的知識和經(jīng)驗，嘗試建構(gòu)新意義的過程。學生在生活中已經(jīng)積累一些經(jīng)驗，但這些經(jīng)驗由于沒有和數(shù)學學習目標、數(shù)學思維聯(lián)系起來，因而稱之為生活經(jīng)驗。但是，這些經(jīng)驗對學生學習數(shù)學知識又是不可或缺的。教學中，教師設計情境，相機喚醒，這樣的經(jīng)驗便成為學生理解新知的基礎。教學“分數(shù)的初步認識”時，要喚醒學生平均分的經(jīng)驗。如把一個蘋果平均分給兩個同學，每人分得多少個？學生聯(lián)系日常生活中分東西的經(jīng)驗，自然得出每人分得“半個”。學生心中的“半個”究竟是等分后的半個，還是大半個、小半個，教師并不清楚。于是，安排學生討論。當學生認為“半個”應該是等分后的“半個”，意味著學生平均分的經(jīng)驗已被激活。

事實上，只有激活已有經(jīng)驗，并和新知充分融合，產(chǎn)生新的經(jīng)驗，學生才有可能理解或掌握新知。“教師如果要開展深層次的數(shù)學教學，不僅要激發(fā)學生的自信與主動，還要整合學生的實踐知識和已有經(jīng)驗?！盵2]因此，數(shù)學學習要想方設法找準新知的“起點”，并運用恰當?shù)姆椒ㄓ枰约せ睢?/p>

二、獲取經(jīng)驗

獲取經(jīng)驗是指學生在親自“做數(shù)學”中獲得的直接經(jīng)驗。教師要給學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助學生在自主探索和合作交流中獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗[3]。學生在親身經(jīng)歷的數(shù)學活動中的感受、體驗、領悟等經(jīng)驗，對知識的理解和素養(yǎng)的形成具有決定性作用。有效的數(shù)學活動，首先，要有明確的學習目標。比如用紙折圓，可以是手工操作、藝術(shù)欣賞，也可以是數(shù)學活動。如果以體驗、感悟圓的特征為目標設計活動，這樣的活動就是數(shù)學活動。其次，必須提供足夠的時間和空間，為人人參與提供保障。因此，教師要提供足夠的時間和空間，讓每位學生盡可能經(jīng)歷完整的數(shù)學活動并獲取屬于自己的直接經(jīng)驗。最后，活動設計要有“挑戰(zhàn)性”。既要考慮學生的興趣、需求，還要“跳一跳，摘果子”，讓學生經(jīng)過意志努力，獨立思考才能獲得。

“經(jīng)驗不僅是指嘗試的過程，還指承受嘗試的結(jié)果。”[4]學生由于解決問題的需要而對活動對象主動地進行觀察、操作、猜想、推理等行為，就是在經(jīng)歷數(shù)學活動過程。經(jīng)驗是經(jīng)歷活動“過程”后的“結(jié)果”;離開活動“過程”不存在所謂的“經(jīng)驗”?！罢谧龅氖虑椤幼骱透惺艿拿芮嘘P(guān)系形成我們所謂的經(jīng)驗?！盵5]活動中，學生能獲取和已有經(jīng)驗能形成合理的、有本質(zhì)聯(lián)系的直接經(jīng)驗，但這時的經(jīng)驗還不嚴格，抑或錯誤，含有主觀、片面的非本質(zhì)因素。

三、外化經(jīng)驗

外化經(jīng)驗是指把具有個性特征的個人經(jīng)驗在交流中不斷改進、完善。學生親自“做數(shù)學”，會嘗試用自己的方式表達對數(shù)學的理解，因而獲取的經(jīng)驗具有個人意義。這是一個“個人建構(gòu)”的過程。一個班級的學生來自不同的家庭，有不同的稟賦，生活閱歷也各不相同，感悟、體驗數(shù)學的水平并不完全一致。因此，在同樣的活動中，學生獲得的經(jīng)驗會有較大的差異。就某一次具體數(shù)學活動而言，可能有人獲得的經(jīng)驗較為清晰，有人則模糊不清;有人獲得的經(jīng)驗較為豐富，有人則貧乏;有人獲得的經(jīng)驗比較全面，有人則片面;有的能獲取經(jīng)驗的本質(zhì)，有的則是表面現(xiàn)象等等。要把個人建構(gòu)的經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成數(shù)學基本活動經(jīng)驗，克服個人經(jīng)驗的局限性，需要經(jīng)歷社會建構(gòu)的過程。社會建構(gòu)主義認為認識不是純粹的個人行為，而是不同個體之間表達、交流、質(zhì)疑、反思，不斷改進提高的過程。如教學“列表的策略”，要求學生整理例題的條件。有的學生只是把題目中的條件原封不動再抄一遍;有的學生在抄的過程中分成了三行，桃樹、杏樹、梨樹各占一行;還有的學生先按照樹的種類進行分類，再列表，然后摘抄每種樹每行幾棵，有幾行。在交流環(huán)節(jié)，大家發(fā)現(xiàn)先分類，再列表，然后摘抄比較好，方便審題、分析數(shù)量關(guān)系、列式計算和驗算。進一步交流，學生還發(fā)現(xiàn)，列表策略的關(guān)鍵在分類，至于表格線可畫可不畫，只要排列整齊就行;還可以根據(jù)問題來列表，無關(guān)的條件不用摘抄。

從上例可以看出，學生的改進不能單純依靠正面示范和反復練習，而需要自我否定，以內(nèi)在的觀念沖突為必要前提。在小組合作、同伴交流中，學生不同觀點之間充分交流、比較，個體經(jīng)歷內(nèi)在的思考、辨析以及教師適時的點撥、引導，淺層的生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)為理性的學科經(jīng)驗，模糊的經(jīng)驗逐漸清晰，片面、有缺陷的經(jīng)驗也趨于完善，學生各自積累的直接經(jīng)驗上升為更有價值的數(shù)學基本活動經(jīng)驗。

四、內(nèi)化經(jīng)驗

內(nèi)化經(jīng)驗是指無需意志努力，能把外化的、比較合理的活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的心理操作。學生對親歷數(shù)學活動獲得的經(jīng)驗進行交流、反思，形成了比較“有條理”的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，但此時“有條理”的經(jīng)驗僅僅是相對于所進行的具體活動的“條理性”的“總結(jié)”。經(jīng)驗具有內(nèi)隱性。在一次活動中獲得的經(jīng)驗，學生有時很難自知和表達，如果再進行兩三次類似的數(shù)學活動，經(jīng)歷把經(jīng)驗運用于新的情境。那么，經(jīng)驗由于多次“重復”，學生會熟悉運用的程序，此時學生關(guān)注的不再是第一步做什么，接下來做什么，而是進入“自動化”階段，由前一個程序自動進入后一個程序。如教學“長方形的面積”。經(jīng)歷“說出每個長方形的面積是多少平方厘米”（每個圖形里畫出面積單位）和“自己計算長5厘米、寬3厘米的長方形面積”兩個環(huán)節(jié)，此時，教師不要急于抽象概括長方形的面積公式，可以引導學生再次嘗試計算長8分米，寬6分米和長30米，寬12米的長方形面積。

對這兩個長方形面積的再次推想，“長方形長是幾，每排就擺幾個”“寬是幾，就擺幾排”的經(jīng)驗將進一步凸顯，這樣的經(jīng)驗不斷適應新的情境，運用的范圍漸次擴大。經(jīng)歷多次的交流與反思，此時的經(jīng)驗和第一次相比，更有條理、更具客觀、更能反映數(shù)學活動的本質(zhì)。已從最初的和情境、實物、感覺等混合在一起，逐漸轉(zhuǎn)為一些有聯(lián)系的心智圖像、表象，以及能獨立加工的符號等。這時，經(jīng)驗中的數(shù)學特性會和具體的情境、細節(jié)分離，形成穩(wěn)定的、可以外顯的、表達的內(nèi)容。面對不同的問題情境，學生可以嘗試運用經(jīng)驗來解決問題。雖然情境不同，但每次活動內(nèi)在的本質(zhì)相同，因而學生可以嫻熟運用。

五、反思經(jīng)驗

反思經(jīng)驗是以獲得的數(shù)學基本活動經(jīng)驗為思考對象，從中抽象概括出數(shù)學知識或規(guī)律。數(shù)學基本活動經(jīng)驗是感性經(jīng)驗，不會自動成為數(shù)學基礎知識。如果要把感性經(jīng)驗變成理性的數(shù)學基礎知識，關(guān)鍵在于反思。通常情況下，我們是把外界的事物或過程作為思考對象，而反思的對象恰恰是我們自己的思考過程，也就是自己要從活動中“脫身”，作為一個旁觀者，思考剛剛開展的活動。此時，已經(jīng)被“內(nèi)化”的數(shù)學基本活動經(jīng)驗正是開展反思的絕好素材。要反思，就需要問題引領。通過對問題的思考，抽取經(jīng)驗的數(shù)學本質(zhì)。如教學“長方形的面積”，可以設計諸如“長方形的面積跟什么有關(guān)系？”“長方形的面積與長和寬有什么關(guān)系？”等問題。反思中，學生發(fā)現(xiàn)長方形的面積與它的長和寬有關(guān)系：如果寬不變，長變長，面積就變大;如果長不變，寬變長，面積也變大;如果長和寬同時變長，面積變得更大。長方形的面積跟它包含有多少個面積單位有關(guān)，可以用每排的個數(shù)×有幾排，而每排的個數(shù)等于長，有幾排等于寬，所以長方形面積=長×寬。

反思的目的是把已經(jīng)“內(nèi)化”的、能夠進行心理操作的數(shù)學基本活動經(jīng)驗抽象概括為數(shù)學基礎知識。學生反思的過程，實際是數(shù)學知識的抽象概括過程。在反思前，需要學習和理解知識的本質(zhì)內(nèi)容。而一旦理解了知識的本質(zhì)，就可以用概念、公式或規(guī)律等把經(jīng)驗表征出來。

六、應用經(jīng)驗

應用經(jīng)驗指應用新知解決實際問題。人們的正確認識，總要經(jīng)歷由實踐到認識、由認識到實踐的多次反復。學生理解數(shù)學知識不可能一次性完成。需要在初步理解的基礎上，經(jīng)過多次練習才能掌握，因此要精心設計多層次的練習。

經(jīng)驗具有連續(xù)性。如果將經(jīng)驗看成一根鏈條，由已有經(jīng)驗可以生出新的經(jīng)驗。如果以新的經(jīng)驗為基礎，還將生出新的經(jīng)驗。如此循環(huán)往復，經(jīng)驗的鏈條將不斷向前延伸。如果擇機把經(jīng)驗抽象概括為數(shù)學知識，那么，知識也將不斷得到發(fā)展。應用經(jīng)驗還需要把前后獲得的經(jīng)驗連貫起來，既能縱向發(fā)展，又能橫向聯(lián)系。比如，學生最初對乘法的認識，是“幾個幾相加”。隨著學習的深入，會逐漸把作為“相同加數(shù)”和的等量組聚集模型發(fā)展為矩形模型、映射模型、倍數(shù)模型等[6]，乘法的概念結(jié)構(gòu)逐漸向縱深發(fā)展。當學生能把經(jīng)驗自如地運用在看似毫無關(guān)聯(lián)的情境中，表明學生已能把握不同知識的內(nèi)在聯(lián)系，自身的經(jīng)驗運用愈臻完善。

上述六個環(huán)節(jié)是一個整體，依次而行。前一環(huán)節(jié)為后一環(huán)節(jié)提供基礎，后一環(huán)節(jié)是前一環(huán)節(jié)的發(fā)展。但六環(huán)節(jié)之間的順序不是固定不變的，可以根據(jù)教學內(nèi)容、班級學生的具體情況靈活應用。比如激活經(jīng)驗與獲取經(jīng)驗兩個環(huán)節(jié)有時可以合二為一，直接讓學生“做”，在“做”中激活，不用設計一個專門的環(huán)節(jié)。至于外化經(jīng)驗、內(nèi)化經(jīng)驗、反思經(jīng)驗這三個環(huán)節(jié)也不能完全割裂，它們經(jīng)常交織在一起，外化中蘊含內(nèi)化和反思，反思中有內(nèi)化。數(shù)學知識作為人類思維的產(chǎn)物，并不容易被理解和掌握。如果遵循學生學習數(shù)學的規(guī)律，和學生的已有經(jīng)驗建立聯(lián)系，精心設計數(shù)學活動，經(jīng)歷經(jīng)驗的激活、獲取、外化、內(nèi)化、反思、應用的過程，不僅能有效地改變學習方式，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，還能發(fā)展數(shù)學思維，培養(yǎng)學生數(shù)學學科的核心素養(yǎng)。

參考文獻

[1] 仲秀英.學生數(shù)學活動經(jīng)驗的內(nèi)涵探究[J].課程·教材·教法，2010，30（10）：52-56+80.

[2] PAULUS GERDES.On culture and mathematics teacher e-ducation[J].Journal of Mathematics Teacher Education，1998（01）：33-53.

[3] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4] 杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯. 北京：人民教育出版社，2005：153.

[5] 杜威.哲學的改造[M].許崇清，譯. 北京：商務印書館，2002：46.

[6] 劉加霞.作為“模型”的乘法——對數(shù)學概念多元表征的思考[J].小學教學：數(shù)學版，2008（10）：46-48.

[責任編輯：陳國慶]