考慮顆粒破碎的鈣質(zhì)砂雙屈服面模型

侯賀營，潘卓杰，姜朋明

(1.江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100；2.江蘇省地質(zhì)環(huán)境災(zāi)害防治及修復(fù)工程研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212100；3.南京水利科學(xué)研究院 巖土工程研究所，江蘇 南京 210024；4.蘇州科技大學(xué)，江蘇 蘇州 215009)

近年來，珊瑚島礁的生態(tài)開發(fā)建設(shè)受到了廣泛關(guān)注，部分學(xué)者針對中國[1-2]、埃及[3-4]、克羅地亞[5]等地的珊瑚島礁展開了一系列研究。結(jié)果表明，珊瑚島礁主要是由具有顆粒形狀不規(guī)則、多孔隙[6-7]、高壓縮性[8-9]、易破碎[10]等特點(diǎn)的鈣質(zhì)砂填筑而成。

鈣質(zhì)砂形狀極不規(guī)則[11]且易破碎[12-13]的特點(diǎn)使其力學(xué)特性不同于石英砂，因此在生態(tài)開發(fā)建設(shè)的設(shè)計施工階段存在一系列特殊問題[14]。不少學(xué)者嘗試將顆粒破碎引入本構(gòu)模型中進(jìn)行研究，為工程實踐提供參考。Daouadji等[15]認(rèn)為發(fā)生顆粒破碎時，顆粒材料相應(yīng)的物理力學(xué)參數(shù)會發(fā)生改變，故將其所受影響引入本構(gòu)模型中以描述顆粒材料在大范圍應(yīng)力作用下的變形行為，并進(jìn)行兩種不同砂土的三軸試驗，驗證所建立模型的準(zhǔn)確性。孫吉主等[16]根據(jù)重塑和原狀鈣質(zhì)砂壓縮特性的不同，提出顆粒破碎會引起原狀鈣質(zhì)砂的附加孔隙比增量；并在臨界狀態(tài)土力學(xué)的理論框架內(nèi)，通過引入狀態(tài)參數(shù)和帽蓋屈服面，建立考慮顆粒破碎影響的鈣質(zhì)砂彈塑性本構(gòu)模型。Sun等[17]采用分?jǐn)?shù)階流動規(guī)則描述珊瑚砂存在顆粒破碎的特殊蠕變行為，并基于已有試驗結(jié)果對所建模型進(jìn)行模擬驗證，為沿海地區(qū)巖土工程設(shè)計施工提供參考。胡波[18]通過不同圍壓下固結(jié)排水和固結(jié)不排水試驗，對鈣質(zhì)砂的剪切特性進(jìn)行分析；并基于剪切變形中顆粒破碎的能耗提出一種塑性流動準(zhǔn)則，在極限平衡條件下建立了能夠模擬各剪切應(yīng)變階段顆粒破碎的鈣質(zhì)砂本構(gòu)模型。Wang等[19]在一般應(yīng)力狀態(tài)下進(jìn)行了兩組鈣質(zhì)砂的三軸蠕變試驗，發(fā)現(xiàn)其3個階段的蠕變情況分別主要受顆粒重新排列、顆粒間摩擦和顆粒破碎的影響；同時發(fā)現(xiàn)與石英砂相比，鈣質(zhì)砂顆?？紫陡浇木植坎环€(wěn)定性導(dǎo)致了其存在特殊的初始線性階段和衰減階段，并基于此，利用不同的流變組分，建立描述鈣質(zhì)砂蠕變特性的流變模型，且利用試驗數(shù)據(jù)驗證了本構(gòu)模型的合理性。蔡正銀等[20]通過一系列不同密度和不同圍壓組合的三軸試驗，研究了顆粒破碎對土體變形特性和臨界狀態(tài)的影響，提出考慮顆粒破碎影響的珊瑚砂狀態(tài)相關(guān)剪脹方程和本構(gòu)模型。

近年來，有不少學(xué)者基于“南水”模型建立了修正本構(gòu)模型。文暢平等[21]基于生物酶摻量對“南水”模型進(jìn)行修正，以描述生物酶改良膨脹土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；生物酶的改良使土體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈硬化型，其基于Duncan-Chang模型參數(shù)分析方法修正的“南水”模型，可描述任意生物酶摻量下改良膨脹土的強(qiáng)度和變形特性。谷建曉等[22]修正了“南水”模型，用以描述鈣質(zhì)砂的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；在切線模量中引入應(yīng)力比與峰值應(yīng)力比的比值，將修正后的切線模量引入切線體積比中重新推導(dǎo)，能較好地描述鈣質(zhì)砂應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，但并未選用指標(biāo)說明顆粒破碎對應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。由上述可知，現(xiàn)階段很多學(xué)者建立了各自考慮顆粒破碎的本構(gòu)模型，但不能較好地描述顆粒破碎影響下的應(yīng)變軟化和剪脹性。

作者通過不同圍壓下三軸固結(jié)排水剪切試驗得到鈣質(zhì)砂應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系及試驗前后試樣的顆粒級配曲線；采用分形理論和莫爾-庫侖理論提出考慮顆粒破碎的內(nèi)摩擦角計算公式，并將該計算公式引入駝峰曲線對“南水”模型中的切線變形模量和切線體積比進(jìn)行修正，最終建立考慮顆粒破碎且能夠較好地描述鈣質(zhì)砂應(yīng)變軟化和剪脹性的本構(gòu)模型；同時，采用Fortran語言將修正的本構(gòu)模型匯編程序進(jìn)行模擬，并與試驗結(jié)果對比，驗證其合理準(zhǔn)確性。

1 鈣質(zhì)砂基本特性

試驗所用鈣質(zhì)砂取自某珊瑚島礁，其顆粒松散，無明顯黏結(jié)，呈乳白色，形狀大小不規(guī)則，有棱角，如圖1所示。

圖1 鈣質(zhì)砂顆粒Fig. 1 Calcareous sand particles

崔翔等[23]研究發(fā)現(xiàn)鈣質(zhì)砂存在其特殊的孔隙特征。采用掃描電鏡（SEM）觀察鈣質(zhì)砂顆粒與石英砂顆粒的微觀形貌，如圖2所示。對比可知，相比于石英砂，鈣質(zhì)砂顆粒表面更為粗糙，且存在孔隙。

圖2 掃描電鏡（SEM）微觀形貌Fig. 2 Scanning electron microscope (SEM) micrograph

試驗所用鈣質(zhì)砂的級配曲線如圖3所示，其顆粒比重Gs=2.71，相對密實度為0.75。根據(jù)王新志等[24]研究結(jié)果，分別采用量筒法和電動相對密度儀法測得所用鈣質(zhì)砂最大干密度ρdmax=1.39 g/cm3，最小干密度ρdmin=1.16 g/cm3。

圖3 鈣質(zhì)砂初始級配曲線Fig. 3 Initial grading curve of calcareous sand

2 三軸試驗方案

采用全自動三軸儀進(jìn)行三軸試驗，該儀器最大軸荷載為60 kN，最大圍壓為2 MPa，最大軸向變形速率為10 mm/min，試樣尺寸為φ39.1 mm ×H80 mm，如圖4所示。為減小試驗誤差，分別在100、200、300和400 kPa圍壓下進(jìn)行多組鈣質(zhì)砂固結(jié)排水試驗。試樣采用煮沸的方式進(jìn)行初步飽和，再裝入儀器中進(jìn)行反壓飽和及B值檢測，當(dāng)B值大于0.98后開始固結(jié)。待試樣固結(jié)穩(wěn)定后，按0.1 mm/min的速率剪切至15%軸向應(yīng)變時，停止試驗。將試驗后的試樣烘干并利用篩分法篩分，繪制出級配曲線，并與初始級配曲線進(jìn)行對比，以分析不同圍壓下顆粒破碎情況。

圖4 三軸試驗裝置及試樣Fig. 4 Triaxial apparatus and the specimen

3 鈣質(zhì)砂變形及破碎特性

3.1 偏應(yīng)力與軸向應(yīng)變的關(guān)系曲線

根據(jù)試驗結(jié)果得出不同圍壓下偏應(yīng)力與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線如圖5所示。由圖5可知：隨著圍壓的增大，同一軸向應(yīng)變對應(yīng)的偏應(yīng)力有所增大，峰值偏應(yīng)力所對應(yīng)的軸向應(yīng)變也越來越大；4組試驗曲線均存在應(yīng)變軟化現(xiàn)象，且均當(dāng)達(dá)到偏應(yīng)力峰值時，隨著軸向應(yīng)變的進(jìn)一步增大，偏應(yīng)力開始減小，且減小趨勢逐漸減弱。

圖5 不同圍壓下偏應(yīng)力與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線Fig. 5 Relationship between deviatoric stress and axial strain under different confining pressures

3.2 體積應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系曲線

根據(jù)試驗結(jié)果得出不同圍壓下體積應(yīng)變與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線如圖6所示。由圖6可知：100、200、300 kPa圍壓下體積應(yīng)變與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線均反映出了不同程度的先剪縮、后剪脹的變化趨勢，且圍壓越小剪脹趨勢越明顯，其臨脹點(diǎn)（剪縮與剪脹的轉(zhuǎn)換點(diǎn)）對應(yīng)的軸向應(yīng)變值隨著圍壓的增大而增大；當(dāng)軸向應(yīng)變增大到一定程度之后，體積應(yīng)變趨于穩(wěn)定。對于400 kPa圍壓下體積應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系曲線，其剪脹趨勢并不明顯。

圖6 不同圍壓下體積應(yīng)變與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線Fig. 6 Relationship between volume strain and axial strain under different confining pressures

3.3 顆粒破碎級配曲線

根據(jù)篩分結(jié)果得出不同圍壓下三軸試驗前后試樣級配曲線如圖7所示。由圖7可知：隨著圍壓的增大，顆粒破碎越明顯，其對應(yīng)的級配曲線越高，細(xì)粒含量相對越多；對比分析可知，各粒組顆粒均發(fā)生了不同程度的破碎，尤其是介于0.5～2.0 mm粒徑范圍內(nèi)的顆粒含量占比變化幅度最大。

圖7 不同圍壓下試驗前后試樣級配曲線Fig. 7 Particle size distribution curves before and after tests under different confining pressures

4 “南水”模型

“南水”模型[25]采用橢圓函數(shù)和冪函數(shù)組成的雙屈服面，取屈服函數(shù)：

式中，r、x為屈服面參數(shù)，p為八面體正應(yīng)力，q為八面體剪應(yīng)力。

采用正交流動法則，其彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

式中，Dep為彈塑性矩陣。

同時，“南水”模型分別采用雙曲線和拋物線描述偏應(yīng)力-軸向應(yīng)變和體積應(yīng)變-軸向應(yīng)變的關(guān)系[25]，其切線變形模量Et沿用了Duncan-Chang模型的表達(dá)式：

式中：Ei為初始模量；Rp為破壞比；Cd為圍壓等于一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)時的最大收縮體應(yīng)變；d為收縮體應(yīng)變隨圍壓增加而增加的冪指函數(shù)；Rd為發(fā)生最大收縮時的偏應(yīng)力和極限偏應(yīng)力之比；s為應(yīng)力水平，其表達(dá)式為：

式中，(σ1-σ3)p表示峰值偏應(yīng)力。

由于雙曲線和拋物線的限制，該模型不能較好地描述顆粒破碎影響下鈣質(zhì)砂試樣的應(yīng)變軟化和剪脹現(xiàn)象，因此需對其進(jìn)行修正。

5 鈣質(zhì)砂本構(gòu)模型的修正

5.1 顆粒破碎指標(biāo)的建立

Tyler等[26]提出顆粒質(zhì)量-粒徑分形模型如下：

式中，Δ、d均為顆粒直徑，M(Δ

將式（7）兩邊取對數(shù)，整理可得：

由式（8）可知，lg(M(Δ

圖8 不同圍壓下lg(M(Δ

根據(jù)各線性擬合曲線的斜率計算分形維數(shù)，并進(jìn)行匯總，見表1。

表1 不同圍壓下鈣質(zhì)砂的分形維數(shù) α和相對破碎率Br Tab. 1 Fractal dimension α and relative fragmentation rate Br of calcareous sand under different confining pressures

Einav[27]在Hardin[28]提出的相對破碎率Br的計算公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行了修正，修正后的相對破碎率Br計算公式為：

式中，dM為最大粒徑，dm為最小粒徑，F(xiàn)0(d)、F(d)和Fu(d)分別為加載之前、加載當(dāng)前和極限狀態(tài)的級配曲線擬合函數(shù)。

同時，Einav[27]還指出，基于分形模型的不同級配曲線線性擬合函數(shù)的表達(dá)式為：

式中，D為加載最終級配曲線所對應(yīng)的分形維數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗值，鈣質(zhì)砂極限破碎狀態(tài)下的分形維數(shù)本文取2.6[29]。

三軸試驗不考慮粒徑小于0.075 mm的顆粒，試樣中最大粒徑為dM= 3.000 mm，最小粒徑為dm=0.075 mm。將試驗得到的不同級配曲線對應(yīng)的分形維數(shù)α代入式（10），得到加載之前和加載當(dāng)前的級配曲線擬合函數(shù)，再結(jié)合式（9）和（11）計算出不同圍壓下鈣質(zhì)砂的相對破碎率Br，見表1。為進(jìn)一步確定圍壓σc與相對破碎率Br的關(guān)系，將表1的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到Br與σc/pa的關(guān)系曲線見圖9，其中pa= 101.4 kPa。

圖9 相對破碎率Br與圍壓 σc的關(guān)系Fig. 9 Relationship between relative breakage rate Br and confining pressureσc

該曲線的擬合度R2= 0.998 1，由此得到(σc/pa) 與Br的函數(shù)關(guān)系式為：

式中，m、t、z為擬合參數(shù)。對于本文所用的鈣質(zhì)砂而言，其擬合參數(shù)為m=0.065 4，t=0.336 5，z=0.789 4。

綜上可知：在一定范圍內(nèi)，圍壓越大，鈣質(zhì)砂的分形維數(shù)越大，顆粒的相對破碎率也越大；但當(dāng)圍壓增大到一定程度后，顆粒的相對破碎率變化將不再明顯。

5.2 顆粒破碎對峰值內(nèi)摩擦角的影響

常規(guī)三軸試驗的中、小主應(yīng)力滿足關(guān)系式σ2=σ3= σc，且剪切過程中圍壓σc始終保持不變。結(jié)合試驗數(shù)據(jù)計算出大主應(yīng)力峰值σ1p、圍壓σc，見表2。根據(jù)莫爾-庫侖理論可知，無黏性土在三軸排水剪切中，峰值主應(yīng)力比(σ1/σ3)p=σ1p/σ3與峰值內(nèi)摩擦角φp存在如下關(guān)系：

表2 不同圍壓下大主應(yīng)力峰值 σ 1p 與 峰值內(nèi)摩擦角φpTab. 2 Peak principal stress σ1p and peak internal friction angle φp under different confining pressures

根據(jù)式（13），結(jié)合試驗數(shù)據(jù)計算出不同圍壓下所對應(yīng)的峰值內(nèi)摩擦角φp，見表2。

分析表2可知，在顆粒破碎的影響下，圍壓越大，剪脹作用逐漸變?nèi)酰逯祪?nèi)摩擦角越小。擬合φp～(σc/pa)曲線得到峰值內(nèi)摩擦角與圍壓的關(guān)系，如圖10所示。

圖10 峰值內(nèi)摩擦角 φp與 圍壓 σc的關(guān)系Fig. 10 Relationship between peak internal friction angle φp and confining pressure σc

式中，m、t、β均為材料常數(shù)，反映了考慮顆粒破碎后其重新排列對內(nèi)摩擦角的影響，可由常規(guī)三軸試驗獲取。對于本文試驗中的鈣質(zhì)砂而言，其材料常數(shù)分別為m= 0.654 3，t= 0.336 5，β = 0.082 5。

同時，根據(jù)式（15）進(jìn)一步分析可知，當(dāng)顆粒無破碎時，初始峰值內(nèi)摩擦角為φ0-φtln(em/t+ β)，隨著顆粒破碎程度的增大，峰值內(nèi)摩擦角逐漸減小。

5.3 “南水”模型修正

5.3.1 切線變形模量

為準(zhǔn)確反映存在顆粒破碎的鈣質(zhì)砂的應(yīng)變軟化現(xiàn)象，采用沈珠江[30]提出的駝峰曲線描述應(yīng)變軟化，進(jìn)而建立考慮顆粒破碎的本構(gòu)模型。本文所采用歸一化后的駝峰曲線表達(dá)式為：

式中，a、b、l為試驗常數(shù)，ε1為軸向應(yīng)變。

在常規(guī)三軸試驗中，由于?σ2= ?σ3，所以結(jié)合式（16）可知切線變形模量為：

當(dāng)切線模量Et= 0時，軸向應(yīng)變?yōu)榉逯递S向應(yīng)變。由式（20）可知，試驗常數(shù)a> 0，根據(jù)式（17）計算可得峰值軸向應(yīng)變ε1p為：

令式（16）中的ε1=ε1p，即可得峰值偏應(yīng)力(σ1-σ3)p為：

由式（16）可知，若軸向應(yīng)變ε1→∞，可得極限偏應(yīng)力(σ1-σ3)ult為：

聯(lián)立式（23）和（26），建立關(guān)于試驗常數(shù)b的一元二次方程：

為進(jìn)一步確定式（28）中正負(fù)號的取舍，判別如下：

1）由于(σ1-σ3)p> 0，代入式（22），可知b>l。結(jié)合式（23）和（28）化簡可得pa/[4(σ1-σ3)p]> 0，顯然成立，故此判別條件下，式（28）無論取正號或負(fù)號均可。

2）由于ε1p> 0，且根據(jù)式（18）可知a> 0，故代入式（21）得b>2l。由此結(jié)合式（23）和（28）及(σ1-σ3)p>0進(jìn)行討論：

a.當(dāng)式（28）取正號時，化簡不等式得Rp< 1，此時不存在應(yīng)變軟化現(xiàn)象；

b.當(dāng)式（28）取負(fù)號時，化簡不等式得Rp> 1，此時存在應(yīng)變軟化現(xiàn)象。

3）由于(σ1-σ3)ult> 0，代入式（24）可知l> 0。由此結(jié)合式（23）和（28）及(σ1-σ3)p> 0進(jìn)行討論：

a.當(dāng)式（28）取正號時，化簡不等式得0 >1，不等式不存在，故舍去；

b.當(dāng)式（28）取負(fù)號時，化簡不等式得1 >0，此時不等式恒成立。

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)式（28）取負(fù)號時能同時滿足上述3個條件，且能夠準(zhǔn)確反映存在的應(yīng)變軟化現(xiàn)象，因此：

根據(jù)莫爾-庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則，對于無黏性土而言，黏聚力c= 0，此時有：

將式（20）、（29）、（30）和（31）聯(lián)立代入式（17），得到切線變形模量如下：

該切線變形模量適用于存在應(yīng)變軟化的無黏性土，所包含的3個材料常數(shù)K、n、Rp可通過常規(guī)三軸試驗獲得；公式中峰值內(nèi)摩擦角φp可由式（15）計算得出，包含了φ0、φt、m、t、β這5個材料常數(shù)，均可由常規(guī)三軸試驗獲得。由試驗數(shù)據(jù)按式（16）進(jìn)行擬合得到不同圍壓下的試驗常數(shù)，利用式（18）計算出Ei，見表3。

表3 不同圍壓下試驗常數(shù)及Ei的取值Tab. 3 Values of test constants and Ei under different confining pressures

繪制lg(Ei/pa)與lg(σc/pa)的關(guān)系圖，可知二者近似呈線性關(guān)系，如圖11所示。用線性函數(shù)擬合得到截距和斜率，即lgK和n。本文試驗所用鈣質(zhì)砂K= 706.50，n= 0.098 5，擬合度R2= 0.961 1。

圖11 lg(Ei· pa -1)與lg(σc·pa -1)的關(guān)系Fig. 11 Relationship between lg(Ei·pa -1) and lg(σc·pa -1)

根據(jù)表3數(shù)據(jù)，利用式（24）計算出(σ1-σ3)ult，結(jié)合表2數(shù)據(jù)和破壞比Rp的定義計算出不同圍壓下的破壞比Rp，如表4所示。忽略其微小變化，取平均值得到適用于本文鈣質(zhì)砂的破壞比Rp= 8.68。

表4 不同圍壓下極限偏應(yīng)力(σ1-σ3)ult和破壞比Rp取值Tab. 4 Values of ultimate deviatoric stress (σ1-σ3)ult and failure ratio under different confining pressures

5.3.2 切線體積比

為更加準(zhǔn)確地描述鈣質(zhì)砂的剪脹特性，采用分段函數(shù)對“南水”模型中的切線體積比進(jìn)行修正。

當(dāng)軸向應(yīng)變ε1≤ε1p時，有：

表5 不同圍壓下臨脹摩擦角 φc 和臨脹應(yīng)力比Mc的取值Tab. 5 Values of critical expansion friction angle φc and critical expansion stress ratio Mc under different confining pressures

利用修正的切線體積比公式擬合不同圍壓下μt與R/Mc的關(guān)系如圖12所示。

圖12 不同圍壓下 μt與R/Mc的關(guān)系Fig. 12 Relationship between μt and R/Mc under different confining pressures

由以上可以得到，本文所用的鈣質(zhì)砂的材料常數(shù)μt0、γ、A、τ和δ分別為0.880 3、6.713 0、0.040 0、1.546 7和0.507 4，擬合度為R2=0.981 4。當(dāng)R=Mc時，為臨脹轉(zhuǎn)折點(diǎn)，此時 μt=0，而且不論圍壓如何，當(dāng)軸向應(yīng)變足夠大時，最終切線體積比趨近于0，達(dá)到極限體積應(yīng)變。

綜上可知，作者建立的基于分形理論的考慮顆粒破碎的鈣質(zhì)砂本構(gòu)模型一共有K、n、Rp、φ0、φt、m、t、β、μt0、γ、A、τ和δ共13個材料常數(shù)。

6 數(shù)值模擬

將修正的本構(gòu)模型利用Fortran語言匯編程序，結(jié)合三軸試驗測得的材料常數(shù)進(jìn)行模擬，將模擬結(jié)果與試驗結(jié)果進(jìn)行對比，如圖13所示。同時結(jié)合蔡正銀等[20]文獻(xiàn)中另一密實度、另一級配鈣質(zhì)砂三軸試驗數(shù)據(jù)，對所建立模型進(jìn)行推廣驗證，結(jié)果如圖14所示。

圖13 模擬結(jié)果與試驗結(jié)果對比Fig. 13 Comparison between simulation results and experimental results

圖14 模型推廣驗證結(jié)果Fig. 14 Results of model extension validation

分析圖13和14的對比驗證結(jié)果可知，采用作者修正的基于分形理論考慮顆粒破碎的本構(gòu)模型能夠較好地反映不同圍壓下，某一密實度、某一級配鈣質(zhì)砂試樣的應(yīng)變軟化和剪脹性，而且材料常數(shù)簡明易求，與三軸試驗結(jié)果較為吻合，具有一定的合理性和準(zhǔn)確性。

7 結(jié) 論

結(jié)合三軸試驗結(jié)果對“南水”模型中的切線變形模量和切線體積比進(jìn)行修正，并基于分形理論引入顆粒破碎指標(biāo)描述顆粒破碎影響下鈣質(zhì)砂存在的剪脹性和應(yīng)變軟化現(xiàn)象，通過匯編程序進(jìn)行模擬對比分析，得出如下結(jié)論：

1）隨著圍壓的增大，顆粒破碎越明顯，其對應(yīng)的級配曲線越高，細(xì)粒含量相對越大，尤其介于0.5～2.0 mm粒徑范圍內(nèi)的顆粒含量占比變化幅度最大。采用相對破碎率描述鈣質(zhì)砂的破碎程度，并基于分形理論建立了受圍壓影響下鈣質(zhì)砂顆粒破碎的函數(shù)關(guān)系式。

2）基于莫爾-庫侖理論，引入顆粒破碎指標(biāo)，建立峰值內(nèi)摩擦角與其的關(guān)系式。當(dāng)顆粒無破碎時，存在初始峰值內(nèi)摩擦角；隨著顆粒的破碎程度的增大，峰值內(nèi)摩擦角逐漸減小。

3）基于峰值內(nèi)摩擦角與顆粒破碎指標(biāo)的關(guān)系式，采用駝峰曲線及分段函數(shù)對“南水”模型中的切線變形模量及切線體積比進(jìn)行修正，修正后的模型能夠較好地描述顆粒破碎影響下的鈣質(zhì)砂應(yīng)變軟化現(xiàn)象和剪脹特性。4）本文修正的本構(gòu)模型材料常數(shù)意義明確，僅通過常規(guī)三軸試驗即可得到能夠描述顆粒破碎影響下鈣質(zhì)砂剪脹性和應(yīng)變軟化現(xiàn)象的本構(gòu)關(guān)系參數(shù)，且通過模型推廣驗證可知具有一定的參考價值。