基于STFD的軸承多故障信號(hào)欠定盲源分離方法*

諸葛航，呂 勇，易燦燦，袁 銳

(武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081)

0 引言

在旋轉(zhuǎn)機(jī)械運(yùn)行過程中，軸承、齒輪是發(fā)生故障的主要部位[1]，且設(shè)備中多種故障同時(shí)出現(xiàn)的情況普遍存在。而在實(shí)驗(yàn)室或工廠中由于成本和檢測(cè)條件的限制，設(shè)備上不能安裝較多的傳感器，所以傳感器的數(shù)量小于信號(hào)源數(shù)量的情況非常普遍(欠定情況)。相比于單個(gè)故障的情況，復(fù)合故障的情況更復(fù)雜且更難以處理。而我們通過傳感器測(cè)得的復(fù)合故障信號(hào)是各故障源的混疊信號(hào)，其傳遞過程不明確，且包含強(qiáng)烈的噪聲，這給復(fù)合故障的診斷帶來了很大困難[2]?；旌侠们范ぴ捶蛛x(UBSS)方法,我們可以在傳遞過程不明確的情況下從信號(hào)中提取有用的故障信號(hào)，從而很好地處理復(fù)合故障的診斷問題。

傳統(tǒng)的盲源分離方法，如獨(dú)立成分分析(ICA)等，只適用于平穩(wěn)、非高斯且相互獨(dú)立源的分離，易受噪聲影響。這些方法不能適應(yīng)復(fù)雜非平穩(wěn)的工況，而時(shí)頻分布(TFD)方法能夠得到在故障信號(hào)在時(shí)頻域的信息，可以有效地反映信號(hào)的非平穩(wěn)特征?？臻g-時(shí)頻分布(Spatial Time-Frequency Distribution，STFD)方法由二次時(shí)頻分布(Quadratic time-frequency distribution，QTFD)發(fā)展而來，主要是基于Wigner-Ville分布(WVD)定義的，所以STFD具有不需要嚴(yán)格的獨(dú)立性假設(shè)、先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)噪聲不敏感，適用于非平穩(wěn)信號(hào)等優(yōu)點(diǎn)[3]。許多學(xué)者將STFD方法應(yīng)用于到達(dá)波方向(DOA)估計(jì)，并取得了較好的效果[4-6]，但是目前很少有學(xué)者將STFD方法用于盲源分離來對(duì)機(jī)械復(fù)合故障進(jìn)行診斷。

本文針對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械中存在的滾動(dòng)軸承多故障的問題提出了基于空間-時(shí)頻分布的欠定盲源分離方法，實(shí)現(xiàn)了軸承多故障源信號(hào)的分離，并在時(shí)頻域?qū)Ψ蛛x后的信號(hào)進(jìn)行分析與比較，從而進(jìn)行故障診斷與狀態(tài)檢測(cè)；最后通過仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)測(cè)信號(hào)驗(yàn)證了方法的可行性與有效性。

1 信號(hào)模型

位于三維空間中的源(發(fā)射器)發(fā)出的信號(hào)被傳感器(接收器)陣列接收時(shí)，源信號(hào)的特征信息有兩個(gè)：到達(dá)波方向(DOA)和源信號(hào)的組合方式。前者的特性一般表現(xiàn)為轉(zhuǎn)向矢量，其具體體現(xiàn)在同一個(gè)源信號(hào)在遍歷傳感器陣列時(shí)的相位變化[7]。后者通常稱取決于信號(hào)源的傳播方式，一般有瞬時(shí)混合模型和卷積混合模型兩種[8]。

設(shè)空間中存在源信號(hào)s1,…,sn，它們被傳感器陣列觀測(cè)到，觀測(cè)信號(hào)為x1,…,xm(當(dāng)m

X=AS+N

(1)

式中，S=[s1,…,sn]T是源信號(hào)向量矩陣；X=[x1,…,xm]T是觀測(cè)信號(hào)向量矩陣；N是信號(hào)源的噪聲；A=[a(θ1),…,a(θn)]是信號(hào)傳遞過程中的混合矩陣或轉(zhuǎn)向矩陣，其中a(θi)=[a1i,…,ami]T是θj方向的轉(zhuǎn)向矢量，i=1,2,…,n。那么：

xj=aj1s1+aj2s2+…+ajmsm+ηj

(2)

式中，j=1,2,…,m；ηj為信號(hào)源噪聲。

2 空間-時(shí)頻分布(STFD)原理

2.1 STFD矩陣的計(jì)算

傳感器采集到的觀測(cè)信號(hào)x1,…,xm，經(jīng)過Hilbert變換得到解析的向量為z1,…,zm；那么觀測(cè)信號(hào)的二次時(shí)頻分布(QTFD)可以通過Wigner-Ville分布(WVD)得到：

(3)

其中,i,j=1,2,…,m；(·)*表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

通過計(jì)算各個(gè)觀測(cè)信號(hào)之間以及它們與自身的WVD。將二次時(shí)頻分布擴(kuò)展到三維空間中可以得到空間-時(shí)頻分布(STFD)矩陣，如圖1所示(m=3時(shí))：

圖1 STFD的原理

圖1中，每個(gè)時(shí)頻點(diǎn)(t,f)，都對(duì)應(yīng)一個(gè)STFD塊矩陣，塊矩陣由時(shí)頻點(diǎn)(t,f)在每個(gè)WVD矩陣中對(duì)應(yīng)的位置的值Wzizj(t,f)組成；如STFD(t0,f0)，由Wzizj(t0,f0),i,j=1,2…3組成。所有的時(shí)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的STFD塊矩陣，組成了完整的空間-時(shí)頻分布(STFD)矩陣。

2.2 時(shí)頻點(diǎn)的分類

所有的時(shí)頻(TF)點(diǎn)分為兩類：自動(dòng)項(xiàng)點(diǎn)與交叉項(xiàng)點(diǎn)。時(shí)頻點(diǎn)的判斷規(guī)則如下：

(1)如果WVD矩陣Wzizi在時(shí)頻點(diǎn)(tp,fp)處存在能量集中，那么(tp,fp)是自動(dòng)項(xiàng)點(diǎn)，矩陣STFD(tp,fp)是自動(dòng)項(xiàng)矩陣;

(2)如果WVD矩陣Wzizj(i≠j)在時(shí)頻點(diǎn)(tq,fq)處存在能量集中，那么(tq,fq)是交叉項(xiàng)點(diǎn)，矩陣STFD(tq,fq)是交叉項(xiàng)矩陣。

自動(dòng)項(xiàng)是同一源信號(hào)的分量之間相互作用形成的，是有用成分，而交叉項(xiàng)是不同的源信號(hào)分量之間相互作用形成，屬于干擾成分。

2.3 STFD矩陣的白化

基于第一個(gè)章節(jié)中的信號(hào)模型，STFD矩陣有如下結(jié)構(gòu)：

STFDzz(t,f)=ASTFDss(t,f)AH

(4)

其中，STFDss(t,f) 為源信號(hào)的STFD矩陣，STFDzz(t,f)代表觀測(cè)信號(hào)的STFD矩陣，假設(shè)存在一個(gè)白化矩陣W使得：

(WA)(WA)H=UUH=I

(5)

其中，I是單位矩陣，那么U=WA是酉矩陣。利用式(3) ～式(5),可以得到白化后觀測(cè)信號(hào)的STFD矩陣：

(6)

由式(6)可知，白化步驟使原來的線性混合模型轉(zhuǎn)化為酉混合線性模型。而白化矩陣W可以通過計(jì)算觀測(cè)信號(hào)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的反平方根[9]或者通過STFD矩陣計(jì)算得到[10]。

3 基于STFD的軸承多故障信號(hào)盲源分離

3.1 計(jì)算觀測(cè)信號(hào)的STFD矩陣

盲源分離方法效果的好壞取決于能否正確地篩選出自動(dòng)項(xiàng)點(diǎn)。為了減少和削弱原始的WVD方法產(chǎn)生的交叉項(xiàng)，增大自動(dòng)項(xiàng)選擇的正確性，我們使用改進(jìn)的平滑偽Wigner-Ville方法(SPWVD)來計(jì)算信號(hào)的二次時(shí)頻分布(QTFD)：

(7)

SPWVD的本質(zhì)是在WVD的基礎(chǔ)上增加了窗函數(shù)與平滑函數(shù)，它能有效消除交叉干擾項(xiàng)。并且，由于WVD的特性，SPWVD可以將信號(hào)的噪聲在整個(gè)時(shí)頻域中平均，有較好的抗噪效果。

通過式(7)得到解析信號(hào)向量zi(t)與zj(t)的時(shí)頻矩陣后，根據(jù)圖1所示方法，可以得到空間-時(shí)頻分布(STFD)矩陣：

(8)

3.2 噪聲閾值處理

為了降低計(jì)算的復(fù)雜性和時(shí)間成本，減少噪聲的干擾。在對(duì)自動(dòng)項(xiàng)點(diǎn)和交叉項(xiàng)點(diǎn)進(jìn)行篩選前，我們對(duì)STFD矩陣進(jìn)行噪聲閾值處理，選擇性地保留時(shí)頻域中能量較大的時(shí)頻點(diǎn)[11]：

(9)

3.3 自動(dòng)項(xiàng)點(diǎn)的選取

在假設(shè)給定源信號(hào)時(shí)頻點(diǎn)在時(shí)頻域內(nèi)不重合的條件下，每個(gè)自動(dòng)項(xiàng)TF點(diǎn)對(duì)應(yīng)的STFD矩陣的秩等于1(只存在一個(gè)特征值)；若秩不等于1，則它們對(duì)應(yīng)的STFD矩陣的特征值中，存在一個(gè)明顯較大的特征值[12]。所以秩的多少可以用來區(qū)分TF點(diǎn)，即選擇STFD 矩陣的秩等于1的TF點(diǎn)作為自動(dòng)項(xiàng)點(diǎn)。為了簡(jiǎn)化這一步驟采用如下公式：

(10)

其中，參數(shù)ε2是一個(gè)可以正標(biāo)量(一般情況下，ε2=0.3)，λmax{·}是矩陣的最大特征值，norm{·}表示矩陣的范數(shù)。

3.4 基于向量集群和源TFD估計(jì)

屬于同一源信號(hào)TF點(diǎn)的STFD矩陣具有相同的主特征向量[12]。我們可以根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)對(duì)TF點(diǎn)進(jìn)行聚類：

(1)對(duì)上一節(jié)選取的自動(dòng)項(xiàng)點(diǎn)(ta,fa)的STFD矩陣STFDzz(ta,fa)進(jìn)行特征值分解，得到主特征向量v(ta,fa)及特征值λ(ta,fa)。

(2)使用k-means算法將步驟(1)中得到的v(ta,fa)集群到不同的類；此時(shí)同類時(shí)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)同一個(gè)源。

(3)對(duì)每個(gè)類的自動(dòng)項(xiàng)點(diǎn)在時(shí)頻域內(nèi)進(jìn)行排序，得到估計(jì)源信號(hào)的時(shí)頻分布(TFD)。

3.5 源信號(hào)重建與故障源的定位

根據(jù)WVD的反演特性[13]我們可以從源信號(hào)的TFD中恢復(fù)時(shí)域的源信號(hào)：

(11)

(12)

式中，cov(·)表示方差；i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。距離故障源越近，觀測(cè)信號(hào)與故障源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)ρi,j越大，這樣我們就可以對(duì)故障源的位置進(jìn)行定位。

本方法在時(shí)頻域內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行了降噪與盲源分離。與傳統(tǒng)的基于時(shí)頻分析(如Cohen類時(shí)頻分布、分?jǐn)?shù)Fourier變換等)的盲源分離方法相比較，本方法既適用于處理欠定型盲源分離問題，也適用于處理超定型盲源分離問題。而傳統(tǒng)的基于時(shí)頻域的盲源分離往往具有一定的局限性，只能處理單一的情況。并且與協(xié)方差矩陣法相比本方法能夠有效的提高信噪比，從而提高對(duì)噪聲的魯棒性。

4 仿真實(shí)例

4.1 仿真振動(dòng)故障信號(hào)分離及其效果評(píng)價(jià)

現(xiàn)有3個(gè)模擬滾動(dòng)軸承故障源信號(hào)s1、s2、s3，它們的特征頻率和故障類型在表1中給出，信號(hào)的信噪比為10 dB。故障源信號(hào)經(jīng)過線性混合模型混合后得到2個(gè)觀測(cè)信號(hào)x1、x2(欠定情況)，利用本文提出方法對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行盲源分離，驗(yàn)證方法的可行性。

表1 模擬的軸承故障特征參數(shù)

3個(gè)故障源信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，如圖2所示。圖2b中源信號(hào)s1的故障特征頻率fa與s3的故障特征頻率fc以及它們的倍頻非常明顯;而s2中的滾動(dòng)體故障特征頻率fb及其倍頻則由于故障相對(duì)微弱和噪聲的存在，并不明顯。因此，當(dāng)3個(gè)故障信號(hào)同時(shí)被傳感器采集到時(shí)，s2會(huì)因?yàn)榱硗鈨蓚€(gè)信號(hào)以及噪聲的干擾而很難被觀測(cè)到，這極大的增加了故障診斷的難度。

(a) 3個(gè)故障的時(shí)域信號(hào)

2個(gè)觀測(cè)信號(hào)的Wigner-Ville分布(WVD)與頻譜如圖3所示。圖3a與圖3b中觀測(cè)信號(hào)1的WVD中沒有與故障特征頻率對(duì)應(yīng)的頻帶，通過頻譜圖也不能判斷故障是否存在及故障的類型。圖3c與圖3d中觀測(cè)信號(hào)2的WVD只能看到到較為明顯的特征頻率fc及其倍頻對(duì)應(yīng)的頻帶，頻譜圖中也可以觀察到fc及其倍頻對(duì)應(yīng)的波峰；而另外兩個(gè)故障的特征頻率不能從時(shí)頻圖以及頻譜圖中觀察到。因此，WVD與頻譜分析方法僅能確定軸承外圈裂紋故障的存在，而不能判斷另外兩種故障是否存在。

(a) 觀測(cè)信號(hào)1的WVD (b) 觀測(cè)信號(hào)1的頻譜

利用本文提出的基于STFD的滾動(dòng)軸承多故障欠定盲源分離方法對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行盲源分離，得到了3個(gè)估計(jì)源信號(hào)，結(jié)果如圖4所示。

(a) 估計(jì)源1的時(shí)頻圖 (b) 估計(jì)源1的頻譜

圖4a中存在明顯的故障特征頻率fa及其倍頻的頻帶，且沒有其他頻率的干擾存在；圖4b頻譜圖中存在與故障特征頻率對(duì)應(yīng)的波峰，可以判斷估計(jì)源1是軸承內(nèi)圈裂紋故障的源信號(hào)。同樣地，我們可以判斷估計(jì)源2是軸承滾動(dòng)體故障的源信號(hào)，估計(jì)源3是軸承外圈裂紋故障的源信號(hào)。由圖3與圖4可知，本方法可以很好地處理欠定條件下軸承的多故障信號(hào)進(jìn)行盲源分離問題，并對(duì)軸承的故障類型進(jìn)行判斷。

4.2 實(shí)測(cè)的軸承多故障信號(hào)分離及其效果評(píng)價(jià)

4.1節(jié)中已經(jīng)驗(yàn)證了方法的可行性，但是模擬信號(hào)通常是基于齒輪箱嚙合特性的振動(dòng)模型，是簡(jiǎn)化的模型。實(shí)際采集信號(hào)比模擬信號(hào)復(fù)雜，它不僅包含齒輪、軸承等關(guān)鍵部件的耦合振動(dòng)信息，還包含背景噪聲及其他干擾信息。因此，有必要通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所提出方法的有效性。

本小節(jié)將提出的方法應(yīng)用于軸承多故障信號(hào)分離，并進(jìn)行故障診斷。實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，圖5a為實(shí)驗(yàn)臺(tái)，由變速電機(jī)、行星齒輪箱、斜齒輪箱、磁粉制動(dòng)器和外置軸承座組成；振動(dòng)加速度傳感器分別安裝在斜齒輪箱的兩側(cè)以及外置軸承座上，如圖5b所示。其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖和測(cè)試故障位置如圖6所示。故障軸承在外圈處產(chǎn)生了裂紋故障，如圖7所示。故障同時(shí)位于斜齒輪箱的輸出軸軸承和外置軸承座處。

(a) 實(shí)驗(yàn)臺(tái)

1.磁粉制動(dòng)器 2.圓柱斜齒輪箱 3.聯(lián)軸器 4.加速度傳感器 5.行星齒輪箱 6.軸承座 7.變速電機(jī) 8.外置軸承座

(a) 齒輪箱輸出軸軸承外圈裂紋 (b) 軸承座軸承外圈裂紋

實(shí)驗(yàn)中電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為2000 r/min，傳感器的采樣頻率為10 240 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為8192，磁粉制動(dòng)器施加的扭矩為0。圖5b中振動(dòng)加速度傳感器從右到左，采集到的數(shù)據(jù)依次為源信號(hào)1、源信號(hào)2、源信號(hào)3；行星齒輪箱的減速比為5:1，斜齒輪箱的減速比為1:1.4。表2給出了故障軸承的參數(shù)與故障特征頻率。

表2 故障軸承參數(shù)

3個(gè)源信號(hào)的時(shí)域和頻域分析，如圖8所示。圖8b是3個(gè)源信號(hào)的傅里葉頻譜，源信號(hào)1的采集點(diǎn)緊貼軸承座，源信號(hào)2的采集點(diǎn)在齒輪箱右側(cè)，距離軸承座較近，所以軸承座軸承外圈裂紋故障的信號(hào)更為明顯；且由于背景噪聲和其他干擾的存在，齒輪箱軸承外圈裂紋故障的信號(hào)被淹沒了。因此，在傅里葉譜上只能觀察較明顯的2×f1故障特征頻率，其他頻率并不明顯。源信號(hào)3的采集點(diǎn)位于齒輪箱左側(cè)，距離軸承座較遠(yuǎn)，此時(shí)兩個(gè)軸承的故障特征頻率的幅值都很低，并不明顯。

(a) 時(shí)域信號(hào)

接下來對(duì)傳感器采集到源信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，得到信號(hào)的Wigner-Ville分布(WVD)，結(jié)果如圖9所示。圖9a和圖9b中只能看到較為明顯的2×f1的頻帶，而特征頻率f2幾乎看不到，這是因?yàn)檩S承座軸承外圈裂紋故障信號(hào)能量很強(qiáng)，所以能量較低的齒輪箱軸承外圈裂紋故障信號(hào)被淹沒；圖9c中則只能看到在f1和2×f1的兩倍頻處存在能量集中，但分析效果依舊較差。此外，其他的特征頻率的頻帶不明顯，還存在其他無用頻帶的干擾。因此利用WVD進(jìn)行時(shí)頻分析并不能有效地進(jìn)行故障診斷。

(a) 源信號(hào)1的WVD (b) 源信號(hào)2的WVD

利用本文提出的方法，對(duì)源信號(hào)進(jìn)行盲源分離，得到兩個(gè)估計(jì)的故障信號(hào)，結(jié)果如圖10所示。圖10a和圖10b中我們可以看到非常明顯的故障特征頻率f1與2×f1，且在較低頻率范圍內(nèi)，不存在故障特征頻率f2和它的倍頻以及其他頻帶的干擾，因此我們可以判斷估計(jì)源信號(hào)1是齒輪箱軸承外圈裂紋故障的信號(hào)；圖10c和圖10d中我們可以看到非常明顯的故障特征頻率f2，且在較低頻率范圍內(nèi)，不存在故障特征頻率f1和它的倍頻以及其他頻帶的干擾，因此我們可以判斷估計(jì)源信號(hào)2是軸承座軸承外圈裂紋故障的信號(hào)。

(a) 估計(jì)源1的時(shí)頻圖 (b) 估計(jì)源1的頻譜

同等情況下，利用Fast-ICA算法對(duì)傳感器采集到的信號(hào)進(jìn)行盲源分離，得到的結(jié)果如圖11所示。兩個(gè)分離出的估計(jì)源信號(hào)的時(shí)頻分析與頻譜分析中只存在比較明顯的2×f1頻帶與波峰，沒有故障特征頻率f2的成分。所以Fast-ICA算法并不能對(duì)本實(shí)驗(yàn)測(cè)得的故障信號(hào)進(jìn)行分離與故障診斷。

(a) 估計(jì)源1的時(shí)頻圖 (b) 估計(jì)源1的頻譜

結(jié)合圖9～圖11可知，本文提出的方法可以有效地從實(shí)驗(yàn)測(cè)得的多故障信號(hào)中分離出單個(gè)的故障信號(hào)，并對(duì)故障的類型進(jìn)行判斷。且在同等情況下本方法比Fast-ICA算法的效果要好。

5 結(jié)論

本文研究了基于空間-時(shí)頻分布(STFD)的欠定盲源分離方法，并成功將其應(yīng)用于滾動(dòng)軸承多故障振動(dòng)信號(hào)的分離和故障診斷。在本文的研究基礎(chǔ)上，得出了以下結(jié)論：

(1)本論文提出的方法可以準(zhǔn)確的對(duì)自動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行選擇與聚類，并重建源信號(hào)，能夠很好地對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行分離。

(2)對(duì)模擬的多故障信號(hào)的盲源分離實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的可行性，能夠?qū)Χ喙收闲盘?hào)進(jìn)行分離與故障診斷。

(3)與Fast-ICA算法相比，在對(duì)實(shí)測(cè)多故障信號(hào)進(jìn)行盲源分離與診斷時(shí)，本方法的效果更好。