基于最小區(qū)域原則的五軸機床輪廓誤差估計算法*

張 靖，丁杰雄，李晴朝，丁啟程，王立平

(1．電子科技大學(xué)機械電氣工程學(xué)院，成都 611731；2．清華大學(xué)精密儀器與機械學(xué)系，北京 100084)

0 引言

在高速高精度的加工需求下，五軸聯(lián)動數(shù)控機床的刀軸輪廓誤差是影響零件加工精度的最直接因素[1]。為了抑制輪廓誤差對工件質(zhì)量的影響，目前主要通過兩種方式來提高輪廓精度：跟蹤誤差控制[2-3]和多軸聯(lián)動輪廓誤差直接控制[4-5]。跟蹤誤差的降低雖然會在一定程度上減少輪廓誤差，但是并不能保證輪廓誤差達到加工要求。因此，輪廓誤差的直接控制一直是國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點。其研究主要包含兩個部分：輪廓誤差的估計和輪廓誤差的控制補償。輪廓誤差的估計是控制和補償?shù)那疤岷突A(chǔ)，因此誤差估計的準(zhǔn)確性是補償誤差與提升精度的關(guān)鍵。

對于加工工件來說，輪廓誤差指的是刀具加工過程中實際形成的包絡(luò)面和期望的工件成型曲面之間的偏差，但是這種偏差是很難計算的。首先其計算較復(fù)雜，很難實現(xiàn)實時的計算，從而影響后續(xù)誤差的控制或補償。另外，刀具包絡(luò)面和期望工件曲面的幾何信息無法在實際的數(shù)控系統(tǒng)中獲取。因此，一般把工件的輪廓誤差問題轉(zhuǎn)化為機床刀位軌跡的輪廓誤差。對于帶有旋轉(zhuǎn)軸的五軸聯(lián)動數(shù)控機床，刀軌的輪廓誤差包括刀尖點的位置輪廓誤差和刀具的方向輪廓誤差。文獻[6]用一階逼近的方式分別計算位置輪廓誤差和方向輪廓誤差。文獻[7]用機床坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)系之間的近似線性變換來估計五軸的位姿輪廓誤差。文獻[8]利用泰勒展開估計刀尖點位置輪廓誤差；用比例系數(shù)估計刀具方向誤差。文獻[9]利用點到離散短線段的距離來近似刀尖點的輪廓誤差，以找到的最短距離的刀尖點所對應(yīng)的刀具姿態(tài)與實際刀具姿態(tài)的角度差作為刀具方向輪廓誤差。文獻[10]基于三點弧近似的方法對其進行了改進，提升了輪廓誤差的估計精度。

隨著眾多研究學(xué)者不斷努力，輪廓誤差估計算法的精度也在不斷的提升。本文在目前學(xué)者們研究的刀尖點輪廓誤差和刀軸方向誤差的基礎(chǔ)上，提出了新的輪廓誤差的定義和計算方法。針對傳統(tǒng)輪廓誤差估計算法的不足，本文綜合考慮了刀具的位置和方向誤差。通過在刀具有效切削范圍內(nèi)均勻選取適量的點，并基于輪廓度誤差的最小區(qū)域原則，確定期望刀軌上距離實際刀位的最近刀位，從而計算刀具的刀尖點輪廓誤差和刀軸方向輪廓誤差。所提方法對不同加工刀軌和機床類型都適用，算法具有普適性，并通過對比實驗，驗證了算法的有效性和優(yōu)勢。

1 問題分析

期望刀尖點位置軌跡上最接近實際刀尖點位置的點稱為位置最近點。刀尖點位置輪廓誤差是實際刀尖點位置到期望刀尖點軌跡上的最短距離，也就是實際位置與位置最近點之間的距離。對于五軸數(shù)控機床來說，零件的加工輪廓不僅與刀尖點位置有關(guān)，還與刀軸方向有關(guān)。目前的五軸機床的輪廓的估計方法根據(jù)對刀軸方向輪廓誤差定義不同可以分為兩類。

第一類方法中，刀軸方向輪廓誤差的定義完全獨立于刀尖點位置。例如，文獻[6]用球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值(i,j,k)表示刀軸方向，將刀軸方向轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)下的一條軌跡，稱為刀具方向軌跡，如圖1所示。刀具方向輪廓誤差是實際刀軸方向坐標(biāo)點到刀具方向軌跡上的最短距離。而刀尖點位置輪廓誤差是實際刀尖點到期望刀尖點軌跡上的最短距離。兩者的計算完全獨立[6]。然而，期望刀位數(shù)據(jù)中的刀尖點位置和刀軸的方向是一一對應(yīng)的。當(dāng)獨立計算這些誤差時，即使刀尖和刀具方向的輪廓誤差非常小，也很難保證刀尖和刀具方向輪廓誤差與理想路徑上的同一刀具位姿同步，這種刀尖位置和刀具方向之間的不匹配就會導(dǎo)致過切或欠切[12]。

(a) 刀尖點輪廓 (b) 刀軸方向輪廓

第二類方法中，刀軸方向輪廓誤差是基于刀尖點位置輪廓誤差計算的。如圖2所示，在找到實際刀尖點位置對應(yīng)的期望軌跡上最近刀尖點位置后，其對應(yīng)的刀軸方向與實際刀軸方向之間的偏差被定為該點的方向輪廓誤差[7-11]。當(dāng)?shù)都恻c位置輪廓誤差確定時，刀軸方向輪廓誤差也就隨即確定。這種方式可以讓刀尖點位置和刀軸方向匹配。但是這種刀具方向輪廓誤差的計算方法并不準(zhǔn)確。例如實際加工中常用的側(cè)銑加工，加工面的形成與刀具有效切削長度范圍內(nèi)所有點有關(guān)。只以刀尖點一個點為依據(jù)找到的最近刀位，并不能準(zhǔn)確代表刀具有效切削長度對應(yīng)的最近刀位。

圖2 傳統(tǒng)輪廓誤差定義方式

圖3 輪廓誤差

2 提出的輪廓誤差算法

本節(jié)基于第1節(jié)中對傳統(tǒng)機床刀軌輪廓誤差計算不足的分析，提出新的 “最近”刀位的定義，并給出輪廓誤差估計算法。由于自由曲面更加具有一般性，因此本文以五軸數(shù)控機床側(cè)銑方式加工自由曲面為例，進行方法的說明。

2.1 提出的刀位輪廓誤差定義

輪廓誤差計算的本質(zhì)是在期望刀軌上找到最接近實際刀位的參考刀位。由前文分析可知，傳統(tǒng)的五軸輪廓誤差估計方法，或分開計算刀尖點和刀軸方向輪廓誤差，或以刀尖點位置為依據(jù)計算刀軸方向誤差，忽略了刀軸上其他位置對成形面的影響。在實際加工中，刀具的刀尖點位置和刀軸方向是同步對應(yīng)的，只以一個點處的誤差來進行衡量，或分開看待這兩種誤差都沒有考慮到刀具的整體狀態(tài)，不能夠全面的反映刀位輪廓誤差。

本文對“最近”的刀位給出新的定義：期望刀軌中基于最小區(qū)域原則計算出的與實際刀位在刀具有效切削范圍內(nèi)輪廓度誤差最小的參考刀位。一個有效切削范圍的刀位可以看作為一條線段。這條線段的長度在點銑時為零，側(cè)銑時為有效切削長度，端銑時為刀具直徑。在確定最近刀位后，刀尖點位置輪廓誤差和刀軸方向輪廓誤差就可以通過計算這個最近刀位與實際刀位之間的偏差。

2.2 五軸機床運動學(xué)模型

五軸機床工件坐標(biāo)系下的刀軌通過逆運動學(xué)模型轉(zhuǎn)化為機床坐標(biāo)系下各驅(qū)動軸的期望運動指令。機床各驅(qū)動軸的實際位置由光柵尺測得。根據(jù)機床的拓撲結(jié)構(gòu)通過多體運動學(xué)建模計算出刀具的實際位姿。本文研究對象為如圖4所示的AB型搖籃轉(zhuǎn)臺式五軸機床。

圖4 搖籃轉(zhuǎn)臺式五軸機床

其拓撲結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 拓撲結(jié)構(gòu)

各個運動體之間的變化矩陣如表1所示。

表1 A搖籃B轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)數(shù)控機床相鄰體間變換矩陣

在工件坐標(biāo)系下的刀具刀尖點位置PW和刀軸方向VW可由下式表示：

(1)

(2)

其中，Pt=[Ptx,Pty,Ptz]T和Vt=[Vtx,Vty,Vtz]T分別為刀具坐標(biāo)系中的刀具刀尖點位置和刀軸方向，為低序體算子。

由表1中的體間變換矩陣和式(1)、式(2)，可推導(dǎo)出刀具刀尖點的位置和刀具方向在工件坐標(biāo)系與機床坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

(3)

其中，L為刀具的長度，下標(biāo)d表示機床坐標(biāo)系下的各驅(qū)動軸的坐標(biāo)，下標(biāo)t表示工件坐標(biāo)系下刀具的坐標(biāo)。

2.3 最近刀位估計

如前所述，在五軸數(shù)控系統(tǒng)中，不存在期望加工曲面的幾何信息。因此本文用插補器插補后的刀具位姿代表工件期望曲面。對于一個有效的插補器，其生成的離散刀具位姿是在各軸運動學(xué)參數(shù)(如速度，加速度，加加速度等)和非線性幾何誤差的約束條件下得到的，能很好的表示既定的工件幾何信息。

圖6 刀位圖

(4)

由此可得到實際刀具和各插補時刻期望刀具上的選取的點的位置坐標(biāo)。根據(jù)ISO/1101標(biāo)準(zhǔn)和行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)ASME_Y14.5.1M-1994中，在評估誤差時，要素的位置應(yīng)該滿足最小區(qū)域原則，即實際要素的最大誤差為最小。本文根據(jù)輪廓度誤差的位置最小區(qū)域原則找到最接近實際刀具位姿的期望刀具位姿Pr(n)。具體步驟如下：

(1)計算出當(dāng)前時刻m的實際刀位Pa(k)和插補后的n時刻的參考刀具位姿Pr(n)對應(yīng)點之間的距離。

(5)

(2)用代表實際刀具的點和各時刻的理想刀具上對應(yīng)的點對的距離最大值代表刀具之間的誤差。

e(m,n)=maxd(m,n)

(6)

(3)計算參考刀位中與m時刻的實際刀位對應(yīng)點距離最大值中最小的參考刀具位姿Φmin(m)=(Xt,c,Yt,c,Zt,c,At,c,Bt,c)。

Φmin(m)=argminn=1,2,3,…,N{e(m,n)}

(7)

2.4 計算刀尖點位置輪廓誤差和刀具方向輪廓誤差

根據(jù)上述方法找到參考軌跡上最接近實際刀具位姿的期望刀具位姿后，這兩個刀具的刀尖點位置的距離即為刀尖點位置輪廓誤差εP，刀具之間的角度差為刀具方向輪廓誤差εO。

εP=[Xt,c,Yt,c,Zt,c]-[Xt,a,Yt,a,Zt,a]

(8)

εO=[At,c,Bt,c]-[At,a,Bt,a]

(9)

3 實驗驗證

為了驗證提出的輪廓誤差估計算法的有效性，本文應(yīng)用S形加工刀軌進行實驗。S形軌跡是如圖7所示S型試件(ISO 10791-7)[13]的加工軌跡。S型試件可以較好地反應(yīng)動態(tài)誤差，如伺服不匹配，非線性誤差和反向誤差等，其通常被用來評價五軸數(shù)控機床的加工性能。

圖7 S型試件

S形軌跡的刀尖點軌跡和在球坐標(biāo)下的刀具方向路徑如圖8所示。

(a) 刀尖點軌跡 (b) 刀軸方向

實驗在搭建的模擬實驗平臺上進行。如圖9所示，實驗平臺由華中8型數(shù)控系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)構(gòu)成，各驅(qū)動軸通過編碼器和光柵尺反饋形成閉環(huán)控制。實驗平臺沒有實際的拓撲結(jié)構(gòu)，這樣就排除了由于機床幾何誤差帶來影響，更加適合輪廓誤差的研究和實驗驗證。

圖9 實驗平臺

3.1 輪廓誤差估計對比

圖10 輪廓誤差圖

同時本文也與傳統(tǒng)的輪廓誤差的估計方法進行對比，即只根據(jù)刀尖點位置在刀尖點期望軌跡上找到距離實際刀尖點最近的點，這個點對應(yīng)的刀位為最近刀位。兩種方法對五軸機床刀具輪廓誤差定義不同，因此基于各自定義在期望刀具軌跡上找到的最近的刀具位姿也不同。圖11所示為基于兩種方法找到的最近位姿所對應(yīng)的插補周期序號的差值。

圖11 最近刀位對應(yīng)周期的差

3.2 輪廓精度控制效果對比

輪廓誤差估計的目的是為誤差的控制或補償提供依據(jù)。本小節(jié)用交叉耦合控制方式基于輪廓誤差的估計值對刀具軌跡誤差進行補償。如圖12所示，交叉耦合控制包含兩個部分：輪廓誤差值的計算和誤差補償分配。

圖12 交叉耦合控制

首先運用刀具位置與方向輪廓誤差估計算法確定各軸的補償值，并依次對旋轉(zhuǎn)軸與平動軸進行誤差補償分配，從而對刀具位姿輪廓誤差進行補償。

對于曲面來說，描述其尺寸精度的主要指標(biāo)是輪廓度誤差。誤差值用圖13中的上下兩個偏差面的距離來表示，反映實際曲面相對于期望曲面的變動情況。本文用補償后的刀具運動所形成的曲面的有基準(zhǔn)的輪廓度誤差來衡量補償效果。為了驗證本文所提出方法的有效性和優(yōu)勢，對三種情況進行對比：①不進行補償；②基于傳統(tǒng)輪廓誤差值補償；③基于本文所提出的輪廓誤差進行補償。對補償后的刀具運動所形成的曲面的輪廓度誤差進行對比。

圖13 輪廓度誤差

對比結(jié)果如圖14所示。

圖14 輪廓度誤差對比圖

可以看出，經(jīng)過補償后輪廓度誤差明顯減少。并且基于本文所提方法得到的輪廓誤差值的補償也比傳統(tǒng)方法效果更好。

4 結(jié)論

本文通過分析傳統(tǒng)輪廓誤差估計算法的不足，提出了一種新的綜合考慮刀尖點位置輪廓誤差和刀軸方向輪廓誤差的誤差估計方法。在最小區(qū)域原則下，利用有效切削刀長上的一系列點去搜索最接近實際刀具位姿的期望刀具位姿。通過交叉耦合控制的輪廓誤差補償實驗和與其它方法的對比，驗證了所提方法的有效性和優(yōu)勢。

本文在輪廓誤差的估計中，應(yīng)用數(shù)控系統(tǒng)插補器在各軸運動學(xué)性能和非線性幾何誤差的約束下生成的線段代表加工曲面，可以適應(yīng)不同加工參數(shù)與工件幾何特征。因此，本文所提的算法不會受到因路徑類別不同而帶來的影響，對任意刀具路徑的魯棒性較強。另外此方法也適用于其他類型的機床，算法具有普適性。

在后續(xù)研究中，需優(yōu)化刀具有效切削長度上的點位選擇，以及最近理想刀位的搜尋方式，以優(yōu)化方法的計算精度與效率。